| 标题 | 割补法解立体几何中的技巧 |
| 范文 | 王东 【摘要】割补法是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法.在几何图形教学中，有着广泛的应用.割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导. 【关键词】立体几何；割补法；解决问题的能力 高中立体几何中一些求体积、外接球半径、内切球半径、线线垂直、线面垂直、面面垂直的问题中，常涉及一些高、垂线的作法，但这些高或垂线由于受图形的约束，直接作出有很大的难度，有时采用割补的方法，将所给图形从自己熟悉的立体图形中割裂出来或将所给图形补全为自己熟悉的立体图形，使问题的解决更加直观和明了.下面举几例说明. 例1如图1所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AC1D1的距离为（）. A.12 B.24 C.22 D.34 分析求点到面的距离通常是过点作面的垂线，而由于该图的局限性不太好作垂线，考虑O为A1C1的中点，故将要求的距离与A1到面AC1D1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三棱锥A1-AC1D1而进行解题. 解连接AC1和AD1，可得到三棱锥A1-AC1D1，我们把这个正方体的其他部分都割去就只剩下这个三棱锥，易知所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半.这个三棱锥底面为直角边为1与2的直角三角形.这个三棱锥又可视为三棱锥C1-AA1D1，后者高为1，底面为两边长均为1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为22，故选B. 例2如图3所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1，C1，B，D，求此多面体的体积. 分析在原来立方体（图3）中，割去4个（图4）直三棱锥，剩余部分便是所求几何体，所以所求几何体的体积为a3-4×13×12a2a=13a3. 例3如图5所示，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB，△GCD分别沿AB，CD翻折成△G1AB，△G2CD，并连接G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2 解观察图5和对照已知条件，依题：面ABCD，面ABG1，面EFG2G1，面面互相垂直，可得出图6，通过对图6补全，可知图6是长方体ABCD-A1B1C1D1中的一部分，如图7所示.在图7中，∵G1G2∥AD，AD⊥面G1BA，G1G2面G1ADG2，∴结论成立. 例4已知曲线y=1-x2与x轴的交点为A，B，分别由A，B两点向直线y=3x作垂线，垂足分别为C，D，沿直线y=3x将平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，求四面体ABCD的外接球的表面积. 分析由图8得四面体ABCD如图9所示，欲求其外接球的表面积，先要找出其外接球心所在的位置，将图9补成如图10所示的长方体，易知其外接球心是长方体对角线的中点，问题便可以解决. 解∵y=1-x2，∴x2+y2=1，x≤1，由图8得A（-1，0），B（1，0），∴BD=|3×1-0|（3）2+1=32，同理，AC=32，CD=2OD=2×33BD=1，CB=CD2+BD2=72，AB=AC2+CB2=102，根据长方体外接球的性质知，其球心在AB上，且等于AB的一半，∴S=4πR2=52π. 割法是把复杂的或多余的几何体割取，使剩余几何体变为简单、明了或成为我们熟悉的几何体；补法是把抽象的或不熟悉的几何体补成我们熟悉的几何体，把不完整的图形补成完整的图形.一般的立体几何中我们往往将“斜”几何体补“正”，把“锥体”补成“方体”或将“正”几何体割成“斜”体，将“方体”割成“錐体”，这样逆向做题，使看似复杂问题引回到自己熟悉的立体图形中来，降低问题的难度，使问题的解决更加简单明了. |
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