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标题 巧用反比例函数中的12|k|求图形面积
范文

    孟祥玲

    【摘要】反比例函数中的k的几何意义是历年中考的重要考点之一,它常与三角形、矩形、平行四边形等图形的面积结合,以选择题和填空题的形式来考查学生对这一知识点的掌握,需要引起同学们的重视.现在就以几个中考题为例向大家详细讲解,希望能帮助到同学们.

    【关键词】反比例函数;12|k|;面积

    一、推导反比例函数中的一个重要结论

    如图1所示,已知反比例函数y=kx(k≠0)的图像经过点A,过A点作AB⊥x轴,垂足为B.则S△AOB=.

    解∵点A在反比例函数y=kx(k≠0)的图像上,∴可设A(x,y),

    ∴S△AOB=12OB·AB=12|xy|=12|k|.

    由此可以得到,过反比例函数y=kx(k≠0)的图像上任意一点向坐标轴作垂线,以这一点和垂足及坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于12|k|,且保持不变.这是反比例函数的一个非常重要的性质,可以帮我们快速地解决与反比例函数相关的面积问题.

    二、反比例函数中与面积相关的典型例题

    例1反比例函数y=-3x(x<0)的图像,如图2所示,则矩形OAPB的面积是().

    A.3B.-3C.32D.-32

    解S矩形OAPB=2S△AOP=2×12|k|=|k|=|-3|=3.故A正确.

    点评:在反比例函数y=kx(k≠0)的图像中任取一点,过这个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

    例2如图3所示,双曲线y=-32x(x<0)经过ABCO的对角线交点D,已知边OC在y轴上,且AC⊥OC于点C,则OABC的面积是().

    A.32

    B.94

    C.3D.6

    解∵點D为ABCO的对角线交点,双曲线y=-32x(x<0)经过点D,AC⊥y轴,

    ∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4×12|k|=4×12-32=3.故选C.

    点评:由于平行四边形的两条对角线把图形分成了四个面积相等的三角形,所以S平行四边形ABCO=4S△COD,从而借助前面的重要结论解决问题.

    例3如图4所示,点A是反比例函数y1=1x(x>0)图像上一点,过点A作x轴的平行线,交反比例函数y2=kx(x>0)的图像于点B,连接OA,OB,若△OAB的面积为2,则k的值为.

    解延长BA,与y轴交于点C,

    ∵AB∥x轴,∴BC⊥y轴,

    ∵A是反比例函数y1=1x(x>0)图像上一点,B为反比例函数y2=kx(x>0)的图像上的点,

    ∴S△AOC=12,S△BOC=k2,

    ∵S△AOB=2,即k2-12=2,

    解得k=5,故答案为5.

    点评:本题是一道把反比例函数和三角形面积结合的题目,在解决时充分借助重要结论,把△OAB的面积与k值结合起来,从而求解问题.

    例4如图5所示,直线y=mx与双曲线y=kx交于A,B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,连接BM,若S△ABM=2,则k的值为().

    A.-2B.2C.4D.-4

    解∵直线y=mx与双曲线y=kx交于A,B两点,

    ∴点A与点B关于原点中心对称,

    ∴S△OAM=S△OBM,

    而S△ABM=2,∴S△OAM=1,∴12|k|=1,

    ∵反比例函数图像在第二、四象限,

    ∴k<0,∴k=-2.故选A.

    点评:本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)的图像关于原点的中心对称性和系数k的几何意义:从反比例函数y=kx(k≠0)图像上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

    通过以上例题,同学们应该可以感受到利用k值求图形的面积的题目比较灵活多变,但百变不离其宗,需要同学们在平时的学习中及时总结和发现规律,提高分析和解决问题的能力.

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更新时间:2025/3/13 19:32:39