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基于极端损失约束的均值-方差投资组合选择研究

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郭晨霞

摘要：将极端损失约束引入投资组合选择问题研究，构建了极端损失约束的均值一方差投资组合模型，通过拉格朗日乘数法，得到了最优投资组合策略及有效边界的解析解，并就投资策略运用方面进行了实证分析结果表明：在方差一均值坐标中有效边界与经典的均值一方差模型的有效边界形状是一致的，但极端损失约束越紧，有效前沿越向方差一均值坐标的右侧移动;在传统均值-方差模型中加入极端损失约束可以改善投资组合的业绩表现，相对于等权组合策略和最小方差策略而言，适当的极端损失约束可以给投资者带来最好的投资业绩。

关键词：极端损失约束均值-方差投资组合有效边界

一、引言

极端损失是指极端不利事件的发生给投资者的带来的损失，是压力测试的一个方面。极极端损失约束就是要控制极端事件发生情况下资产组合的最大损失，如果极端事件有多种情形，对应的极端损失约束也可以有多个。极端风险事件的出现给投资者带来的损失程度之大、范围之广早为投资者所熟知。尤其是在2015年下半年到2016年初中国股市几轮暴跌更是让投资者记忆犹新。此外，股权分置改革、供给侧改革、融资融券、资管新规等政策的出台与调整，市场流动性必然会遭受不可避免的冲击，从而造成资本市场的剧烈波动，加剧投资者的风险。

首次对金融风险量化分析的理论模型是Markowitz在1952年提出的均值-方差投资组合理论。该理论使用均值和方差来描述证券的收益和风险，使得投资者对投资组合的业绩表现有更直观的感受。在此之后学者们就风险度量进行了广泛且深入的研究，提出了许多风险测度方法，如半方差风险测度、绝对离差测度风险、下半绝对利差风险指标。但是实际投资过程中投资者们更倾向于关注资金的损失数量的心理催生了并促进了VaR和CVaR的发展，如带有VaR、CVaR以及MD（Maximum Drawdown）约束的资产组合模型（Agarwal and Nail，2004），或者直接用VaR、CVaR作为风险测量工具提出的均值-VaR、均值-CVaR的资产组合模型。然而，通过VaR和CVaR等工具对资产组合下方风险进行控制，仍不足以规避极端风险事件给投资者带来的损失（Akexander and Baptista，2009），这使得现有的基于下行风险控制的资产组合选择理论无法满足投资者应对极端事件发生的需求。在这种背景下，不论是个人投资者还是机构投资者，从风险防范的角度考虑，将压力测试（极端风险控制）纳入到资产组合选择中是十分必要的。

基于以上考虑，本文将极端损失约束纳入投资者的投资决策过程，以现代投资理论和方法为基础，系统深入地研究极端损失约束下投资者证券组合选择机理及背后所反映的应对极端市场风险的投资行为，并运用中国资本市场的数据进行实证分析，检验基于不同极端损失约束的投资决策的有效性。

二、极端损失约束下的投资决策模型

（一）极端损失约束的模型化

假设市场上共有N种风险资产和一种无风险资产，记风险资产的收益率向量为，协方差矩阵为V，V可逆。无风险资产收益率为rf。

基于以上假设构建投资组合。假设投资者投资于n种风险资产的投资比例向量为q，则投资于无风险资产的投资比例为，其中1为n维元素全为1的向量，。基于以上的说明，则组合的期望收益率和方差可以分别表示为，

式（1）中为n种风险资产的期望超额收益率向量。

进一步假设，在期末S个可能的市场状态中，有个极端不利的市场状态，假设在市场状态出现的情况下，投资者要求的组合的损失不要超过（）的绝对值，则投资者的极端损失约束可以表示为，

式（3）就是极端损失约束的模型化。

则将基于极端损失约束的组合选择问题表述如下：

（二）模型求解

本部分以一個极端损失约束为例进行模型的求解。在（4）式的基础上，构造含有约束条件的拉格朗日函数：

是存在无风险证券时仅期望收益率约束下的切点组合;是存在无风险证券时仅极端损失约束下的切点组合。

（三）有效边界的性质

性质1：当存在无风险证券时，有效边界上任意一个有效组合是传统均值方差模型的切点组合，极端损失约束下的切点组合以及无风险资产的一个组合。

证明：对于任意最小方差组合，

因此它在风险资产中的总权重不等于1。也就是说，任意最小方差组合是传统均值方差模型的切点组合、极端损失约束下的切点组合以及无风险资产的一个组合。

性质2：有效边界上的任意有效组合满足三基金分离定理，这三基金分别为无风险资产、qT1、qT2。

三、极端损失模型对资产组合选择的影响

为了更好地说明极端损失约束对投资组合选择的影响，本文选取中国股票市场的行业指数月度收益率进行实证分析。按照申银万国行业分类一级行业分类28个，除去数据缺失以及分类时间较晚的6个行业，采用剩下的22个数据可获得的行业指数作为本文数据样本。样本包含22个行业，样本区间为2008年1月到2017年12月，共120月。数据处理工具为MATLAB软件，数据来源于锐思数据库。

（一）构建基准组合

在进行具体分析之前，构造一个等权组合，该组合由同一时期各行业指数组成，每个行业指数在该组合中所占比重相等。我们将这个等权组合作为基准组合。同时将等权组合按升顺排列，用排在前面的组合的平均收益率来模拟市场极端状况发生时的基准组合收益率，为了下文方便表达，不妨将这一行向量称之为极端损失收益率。当只使用一个极端损失收益率来刻画极端损失约束条件时，称之为单一约束数量。

（二）对有效边界的影响

在图1中，单一数量、不同约束值是指约束数量只有1个，对应的约束值分别为-10%、-5%、0%、5%以及无极端损失约束的情况。不等式的极端约束是指在极端情况下损失不能高于某个数值，即在极端情况下投资组合的损失不能超过某个损失率。在图1中，无极端损失约束是指传统的马科维茨MV模型，这个模型中没有加入极端损失约束条件。5%极端损失约束是表示即便在极端情况下投资组合不仅不损失还要求5%的正收益;0%、-5%和-10%极端损失约束分别表示极端情况下投资组合的损失率不要超过0%、5%和10%，其中0%的极端损失约束要求投资组合在极端情况下不遭受损失也不要求获得正的收益。

从图1中可以看出，与传统MV模型的有效边界相比，加入极端损失约束使投资组合的有效边界整体向图形右侧移动了，且随着约束条件的不断加强，模型的有效边界向右侧移动的幅度越大。

另外，由图1可见加入极端损失约束后，有效边界下方的移动幅度要明显地大于上方的移动幅度，而且在较高的期望收益率下，极端损失约束对有效边界的上方几乎无影响。这表明极端损失约束对有效边界的下方影响要大于上方的影响，在市场出现极端不利情况时，极端损失约束多投资组合的下方风险有着显著地控制效果，且在市场行情向好，投资者对未来收益率有较高预期时，极端损失约束对投资组合选择几乎没有影响。

图2考察的是极端情况下投资组合的损失等于某个特定收益率时有效边界的变化情况。等式的极端损失约束就是表示在极端情况下损失等于某个数值。通过比较图1和图2发现，等式的极端损失约束与不等式的极端损失约束对有效边界的下方影响方向和程度相同，都是使有效边界向图形右侧移动且移动幅度相同，说明模型的最优解在极端损失约束取等号时取得。但是，在期望收益率较高时，与图1的不等式约束对有效边界的无影响的表现不同，等式约束则对有效边界上方有小幅度地紧收效果。考虑到在市场行情向好，投资者对未来投资组合期望收益率较高的情况下，再对投资组合有一个确定的数值较小的收益率约束，会导致投资者为了达到这个较低收益率的目标而不得不放弃相同风险但收益率更高的组合，从而导致有效边界向右下方移动。

通过对图1和图2的分析，在期望收益率较低时，投资组合的最优解在极端损失约束取等号时得到。极端损失约束对组合有效边界下方有着显著的控制效果，且约束越强有效边界的移动幅度越大，而极端损失约束对有效边界的上方影响不大。因此，极端损失约束模型在保留现有风险度量方法优点的同时，弥补了现有风险度量方法对投资组合下方风险控制不足的缺陷。

以上考虑的是单一数量极端损失约束对投资组合有效边界的影响，图3和图4增加极端损失约束条件的数量，分别观察相同约束数量不同约束值和相同约束值不同约束数量对投资组合有效边界的影响。

在图3中，考虑的是在约束数量相同约束数量不同约束值对组合有效边界的影响。约束数量一共有五个，这五个约束数量是市场组合升序排列下对应的前五个各行业指数的月度收益率序列。研究相同约束数量不同约束值对投资组合有效边界的影响，可以看出组合有效边界随着约束值的变大而向右侧移动，其移动幅度随着约束值的变大而增加，对有效边界的下方影响较上方的更大。具体来说：首先，与传统MV模型相比，在其基础上增加极端损失约束使得组合有效边界向右移动，而且约束值越大移动幅度越大，即约束越紧对组合有效边界的影响越大;其次，与单一约束数量不同约束值的情况相比，多个约束数量对有效边界上方的影响更明显，控制效果更显著，但整体来说对下边界的影响程度更大。

在图4中，研究的是在约束值为-5%时，不同极端损失约束条件数量对有效边界的影响。约束条件的数量设置为0个（即传统的均方差模型）、2个、4个、6个、8个、10个和12个。从图中可以看出在相同约束值的前提下，约束数量在10个之前，随着约束数量的增加，极端损失约束对有效边界的影响越来越大，有效边界向右移动的幅度也越大，当数量为12个时，极端损失约束对有效边界的上边界几乎与10个时的重合，下边界的移动幅度也不大，说明极端损失约束存在一个最优的数量来使得对组合风险控制达到最有效果。

（三）对有效组合收益率偏度的影响

1.相同约束数量不同约束值。在图5中，一共考虑了极端损失约束条件数量为5个时，不同极端损失约束数值的情况。研究极端损失约束对资产组合收益率分布的影响。

由图5可以看出，随着期望收益率的增大，传统的均方差模型的偏度逐渐收敛于-0.25，收益率分布呈现左偏分布特征且偏离程度较大;在加入约束条件之后，偏度整体向上移动，即偏度值较传统均方差模型的偏度大，随着极端损失约束值的增大，偏度又不断向上移动，偏度值收敛于-0.1到0之間，而且极端损失约束值越大，偏度值越接近0。说明极端损失约束模型可以有效改善资产收益率左偏分布特征，随着极端损失约束条件的收紧，收益率偏度越趋于0，资产收益率的分布接近于对称分布。

2.相同约束值不同约束数量。在图6中，假定极端损失约束值为-5%，极端损失约束条件的数量分别为0、2、4、6、8、10、12。研究在极端损失约束值给定的情况下，极端损失约束条件的数量的变化对资产组合收益率分布的影响。从图6可以看出，与传统均方差模型相比，极端损失约束模型对资产组合收益率的左偏分布有较大地改善作用，在约束数量小于等于8时，随着约束条件数量的增加改善效果不断加当约束条件增加为6个和8个，收益率的偏度基本上趋于-0.1，说明极端损失约束数量的增加可以使资产组合收益率的分布向对称分布靠近。但是当约束数量达到10个时，资产组合有效收益率的偏度由约-0.25变为0.3，从左偏态变为右偏态，偏离程度比传统的MV模型更高。表明要改善有效收益率的分布偏度，极端损失约束条件的数量要控制在一个适当的范围才能取得最优的改善效果。

四、结论

为了弥补现有风险管理工具对下方风险控制不足，本文在传统均值-方差的基础上引入极端损失约束，构建了极端损失约束模型。为了更好地说明极端损失约束模型对投资组合选择的影响，本文选取中国股票市场的行业指数月度收益率进行实证分析，实证结果表明;在方差一均值坐标中有效边界与经典的均值一方差模型的有效边界形状是一致的，但极端损失约束越紧，有效前沿越向方差一均值坐标的右侧移动;极端损失约束模型有利于提高投资组合收益率的偏度，进而可以改善投资组合收益率的分布特征，提高组合的业绩;在传统均值-方差模型中加入极端损失约束可以改善投资组合的业绩表现，相对于等权组合策略和最小方差策略而言，适当的极端损失约束可以给投资者带来最好的投资业绩。

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（作者单位：江西财经大学）

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