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级数求和的常见方法

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由悦

【摘要】本文对数项级数求和问题，根据不同类型的一般项，介绍级数收敛定义求和法和构造关系式法;对函数项级数求和问题，介绍逐项微分或积分法和构造关系式法;最后介绍幂级数求和可直接用幂级数展开式法.

【关键词】级数收敛定义;构造关系式;逐项微分;逐项积分

级数是数学分析中的一个重要组成部分，其理论是在生产实践和科学实验的推动下形成和发展起来的.因级数是无限多个数累加，不能按照有限项加法规律逐项相加，故提出了下述的解题方法.

一、数项级数求和

（一）级数收敛定义求和法[1]

例1 12+13+122+132+…+12n+13n+….

解级数的第n个部分和

Sn=12+122+…+12n+13+132+…+13n

=12-12n1-12+13-13n1-13

=1-12n-1+121-13n-1.

由 limn→∞Sn=limn→∞1-12n-1+limn→∞121-13n-1=32，故级数收敛于32.

（二）构造关系式法

构造关系式法的关键在于运用一些技巧构造出另外一个关于Sn的方程式，再将Sn与Sn的方程式联立，解出Sn的具体的表达式，从而求出 limn→∞Sn=S.[2]

二、函数项级数求和

（一）逐项微分、积分法

在函数项级数一致收敛的条件下，先对其进行逐项微分或积分，然后再反过来进行一次积分或微分，便可得到原级数的和函数;或者把想要求和的级数看作是另一个容易求和级数的逐项微分或积分，最终求得函数项级数的和.[3]

（二）构造关系式法

1.转化为代数方程求解法

利用四则运算将所给级数转化为Sn代数方程的形式，然后再求解.

例1 计算∑∞n=013ncosnα.

解记Sn=∑nk=013kcoskα.（1）

Sn两边同时乘23cosα得

23cosα·Sn=∑nk=1213kcos（k+1）αcosα

=13n+1cos（n+1）α+Sn-13cosα+19

+19Sn-13n+2.（2）

（1）-（2）再移项得

Sn=13n+2cosnα-13n+1cos（n+1）α+13cosα-191+19-23cosα.

故 limn→∞Sn

=limn→∞13n+2cosnα-13n+1cos（n+1）α+13cosα-191+19-23cosα

=3cosα-110-6cosα.

2.組合法

组合法主要在于能够发现某两项之间的关系式，使得它们组合后的新级数与原级数的形式相似.[4]

三、幂级数求和

直接利用幂级数展开式求和.

例3 求11·4-12·42+13·43-14·44+….

11·4-12·42+13·43-14·44+…

=∑∞n=0（-1）nn+114n+1

=ln1+14=ln54.

三、结论

本文由三部分组成.首先，介绍数项级数求和问题;然后，介绍函数项级数求和问题;最后，介绍幂级数求和问题.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法[J].武汉工业学院学报，2006（2）：101-102.

[3]吴媚.无穷级数求和的几种常见方法[J].科技信息职校论坛，2008（19）：586-589.

[4]和珍珍，王超.无穷级数求和的方法与技巧[J].科教文汇，2010（10）：98-99.

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