| 标题 | 一种利用太阳影子定位的数学模型 |
| 范文 | 夏师 邓娌莉
摘 要：文章根据物体影子变化的测量数据，建立数学模型求解当地经纬度。根据太阳高度角、杆长，影长之间的关系，建立影子长度与经纬度、时间等参数之间关系的数学模型。对此数学模型，文章给出了方程组求解和函数拟合求解两种方法，具有一定参考价值。 关键词：经纬度；太阳高度角；数学模型；非线性拟合 随着科技的飞速发展，利用智能手机通过卫星定位系统来确定自己的位置，为大家所熟悉。但是，除了卫星定位系统，我们还有什么方法能进行定位呢？其实在卫星定位系统出现以前，航海的船员是用天文导航定位的。 说到天文，就不能不说到太阳了。很早以前，人们就利用太阳的影子来确定时间。那现在我们能不能用太阳的影子来定位呢？2015年的全国大学生数学建模竞赛就提出了这样的问题，非常有意思，对大学生们也是一个不小的挑战。 下面我们就利用太阳影子，建立影子长度变化的数学模型，求得当地可能的经纬度。 1 问题分析与模型建立 对于影子长度变化，我们根据太阳高度角、杆长，影长之间的关系可得影长函数关系为：l=h/tanH。其中太阳高度角H、杆长h，影长l。 而太阳高度角H是由太阳时角、赤纬角、时间来决定。太阳高度角[1]随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬角（与太阳直射点纬度相等）以B表示，观测地地理纬度用w表示，当时的太阳时角以T表示，有太阳高度角的计算公式： 综合以上公式，可得出影长变化的模型如下： 如果知道物体影长变化，求所在地的位置的数学问题，就是已知函数值反推函数中未知参数的问题。我们可以利用解方程组和函数拟合来求出未知参数。 2 模型求解 （一）方程组求解当地经纬度 这里，我们用2015年全国数学建模竞赛A题中附件1的数据来求解。把三个时间与影长的数据代入公式（1）中，得到如下方程组： 由于日期已知，可算出当天太阳赤纬角B。方程组中只有h、W、T1为未知参数。以上方程组是非线性方程组，并不好求解。为此，可利用matable软件的fsolve命令求得： （二）非线性拟合函数 3 结语 根据物体影子变化的测量数据，建立数学模型求解当地经纬度，问题较为直观，学生易于理解。问题的求解用到了空间几何的建模能力和非线性问题求解，对学生综合素质的有较高要求。本文对此问题给出了数学模型，并给出了方程组求解和函数拟合求解两种方法，具有一定参考价值。 但是对这个问题考虑到的影响因素较少，如太阳折射等没有考虑。所以求解结果和实际地点可能有较大偏差。 参考文献： [1]姜启源，谢金星.大学数学实验[M]. 北京：清华大学出版社，2013. |
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