| 标题 | 带根号Riemann边值逆问题关于边界曲线解的误差估计 |
| 范文 | 摘 要：最早对解析函数边值问题的稳定性讨论应追随到1937年M.V.Keldysh等人对关于调和函数的Dirichlet问题在边界曲线发生摄动时的的稳定性研究。文献[1]讨论了带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性，本文在此基础上进一步讨论带根号Riemann边值逆问题关于边界曲线解的误差估计。 关键词：带根号Riemann边值逆问题；摄动；稳定性 中图分类号：O175.8 文献标识码：A 1 边界曲线摄动后Riemann边值逆问题的提出与求解 文献[2]提出了以下一类带根号Riemann边值逆问题： 设L为复平面中一条封闭光滑曲线，求一对函数Ψz，wt，其中Ψz是以L为跳跃曲线的全纯函数，wt为L上的H类函数，满足以下边值条件： Ψ+t=G1tΨ-t+g1twt，t∈L， Ψ+t=G2tΨ-t+g2twt，t∈L. 其中Gjt，gjt∈HLj=1，2，Ψz在z= SymboleB@ 处有有限阶，要求Ψ+t，Ψ-t在L上单值、连续. 在R-1中的解的状态。 这里记 gt=1 g1t 1 g2t，G0t=G1t g1t G2t g2t， D1t=1gtG1t1 G2t1 且Gt=G0tgt.定义指标κ=12π[argG（t）]Γ，并记c=κ+k-m-n. 当边界曲线L发生极小的摄动时，则有以下的带根号Riemann边值逆问题： Ψ+（ω，ε）ξ=G1ξΨ-（ω，ε）ξ+g1ξw（ω，ε）ξ，ξ∈Lω， Ψ+（ω，ε）ξ=G2ξΨ-（ω，ε）ξ+g2ξw（ω，ε）ξξ∈Lω. 其中 gξ=1 g1ξ 1 g2ξ，G0ξ=G1ξ g1ξ G2ξ g2ξ， D1ξ=1gξG1ξ1 G2ξ1 且Gξ=G0ξgξ.显然D1ξ∈HLω定义指标κω=12π[argG（t）]Lω，并记cω=κω+k-m-n。 文献[2]给出了带根号Riemann边值逆问题的解，即当κω+km+n时，问题的一般解如下，这里t∈L。 Ψz，wt =PczXz∏z，PctX-tD1t∏t（1） 那么相应的问题的解如下，这里ξ∈Lω Ψ（ω，ε）z，w（ω，ε）ξ =PczXωz∏εz，PξX-ωξD1ξ∏εξ。（2） 其中Xω（z）=eΓω （z-z0）-κeΓω 2 摄动后Riemann边值逆问题解的误差估计 这里取曲线L为单位圆周，则有 定理1 当ω=0时，Xω=X，这时则有 ‖X-ωξ-X-t‖L SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1 證明：由Xω（z）=eΓω（z-z0）-κeΓω可知， X-ωξ=ξ-z0-κX+ωξ， 那么X-t=t-z0-κX+ωt。 由文献[3]的定义1的证明过程可得 ‖X+ω-X+‖L SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）‖ω‖μ（1-υ）1， 且t-z0∈H（L），那么由数学归纳法可得 t-z0-κ∈H（L）， 即ξ-z0-κ-t-z0-κ SymbolcB@ C·‖ω‖1. 则由文献[4]引理3可得 ‖X-ωξ-X-t‖L SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1 定理2 任给ω∈B（ρ0），G，g∈Hμ（E）.当κ+km+n时，摄动后的带根号Riemann逆边值问题在R-1中的一般解为（1）式所示，此解与带根号Riemann边值问题的解（2）式满足： ‖w（ω，ε）ξ-wt‖L SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ） ‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ） 证明：由定理1，文献[5]推论2及文献[4]引理3和Pc-1的Hlder连续性可得 ‖w（ω，ε）ξ-wt‖L SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）。 再则由文献[1]中定理2的证明过程可得，当t∈Ω+ Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t） SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1] ‖ω‖1+εμ（1-υ）则 ‖Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）‖Ω+ =maxt∈Ω+Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t） SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ） 由最大模原理可得 ‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω+ SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]（‖ω‖1+ε）μ（1-υ）。 再由Ψ+（ω，ε），Ψ+的有界性可得 ‖Ψ+（ω，ε）（z）-Ψ+（z）‖Ω+ SymbolcB@ ‖Ψ+（ω，ε）-Ψ+‖Ω+‖Ψ+（ω，ε）+Ψ+‖Ω+ SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1）]‖ω‖1+εμ（1-υ） 同理可得 ‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω- SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。 综上所述 ‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。 参考文献： [1]曾乔.带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性[J].科技经济导刊，2016（20）：107109. [2]吴凤敏，刘豪.一类带平方根的Riemann边值逆问题[J].南阳师范学院学报，2009（6）：2022. [3]章红梅，王传荣.Riemann边值问题关于边界曲线的稳定性[J].福州大学学报：自然科学版，2001，29（1）：14. [4]Wang Chuanrong，Zhang Hongmei，Zhu Yuchan.The Riemann boundary value problem with respect the perturbation of boundary curve[J].complex Variables and Elliptic Equations.2006，51（8）：631645. [5]曾乔，林峰.一类奇异积分关于曲线摄动的误差估计[J].四川师范大学学报：自然科学版，2015，38（1）. 作者简介：曾乔（1990），女，海南海口人，硕士，助教，研究方向：函数论。 |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。