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标题 向量数量积运算的一次旅行
范文

    林如翰

    

    

    平面向量兼备数形特性,融平面几何、三角、代数等内容于一身;数量积是运算的枢纽,运用处理有关长度、角度、平行、垂直等问题显得十分灵活、妙趣横生.在一次布置的作业题中发现许多同学富有创意、独特的解法,并通过整理展示如下,是自己平面向量教学的一次难忘旅程.

    一、原题再现

    如图1所示,设O为△ABC的外接圆的圆心,AB=2,AC=3,且∠BAC=120°,AB = a ,AC = b ,若AO =λ1 a +λ2 b (λ1>0,λ2>0),求λ1+λ2的值.

    二、解法纷呈

    方法1(取模法)? 由AO =λ1 a +λ2 b 得

    |AO |2=(λ1 a +λ2 b )2=4λ21-6λ1λ2+9λ22,

    由余弦定理得

    BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°=19,

    由正弦定理得? BC sin120°? 2=4|AO |2,

    所以4λ21-6λ1λ2+9λ22= 19 3 , (1)

    且O为△ABC的外接圆的圆心,

    则|OC |=|AC -AO| =|AO |,

    即| b -(λ1 a +λ2 b )|2= 19 3 =4λ21+9(1-λ2)2+6λ1(1-λ2),

    所以2λ1-6λ2+3=0. (2)

    由(1)(2)解得λ1= 7 6 ,λ2= 8 9 ,所以λ1+λ2= 37 18 .

    方法2(几何投影)? AO ·AC =|AC ||AO |cos∠OAC=3× 3 2 =(λ1 a +λ2 b )· b =-3λ1+9λ2, (1)

    AO ·AB =|AB ||AO |cos∠OAB=2×1=(λ1 a +λ2 b )· a =4λ1-3λ2. (2)

    由(1)(2)解得λ1= 7 6 ,λ2= 8 9 ,所以λ1+λ2= 37 18 .

    方法3(平行四边形法则)? 如图2所示,过O分别作直线AB,AC的平行线交AC,AB于F,E,AO =AE +AF ;在△AOF中,|AO|=R=? 19 3? ,cos∠OAF= 3 2R ,∠AFO=60°,|AF|=3λ2,|OF|=2λ1,由余弦定理得 R sin60° = 2λ1 sin∠OAF ,所以 3 λ1=? 4R2-9? 2 ,所以λ1= 7 6 ;同理:在△AOE中,? R sin60° = 3λ2 sin∠OAE ,所以 3 3? 2 λ2= R2-1 ,所以λ2= 8 9 ,所以λ1+λ2= 37 18 .

    方法4(坐标法)? 以点A为原点,AC所在直线为x轴,过A垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系,则AC = b =(3,0),AB = a =(-1, 3 ),则AO =λ1 a +λ2 b =(3λ2-λ1, 3 λ1),且|OB|=|OC|=|OA|,由两点间的距离公式可得:

    (3λ2-λ1)2+( 3 λ1)2=(3λ2-λ1-3)2+( 3 λ1)2, (1)

    (3λ2-λ1)2+( 3 λ1)2=(3λ2-λ1+1)2+( 3 λ1- 3 )2. (2)

    由(1)(2)解得λ1= 7 6 ,λ2= 8 9 ,所以λ1+λ2= 37 18 .

    从以上解法可以看出,都需要建立方程组求解,方法2相对简洁、计算量小,但也不容易想到.

    三、变式拓展

    变换原题中的条件或结论,转换原题的内容或形式,使学生更好掌握数学对象的本质属性,激发学习兴趣与探索精神,提高学生数学水平,可将原题进行变式、拓展或延伸.

    变式1? 如图3所示,圆A的半径AB=AC=3,且∠BAC=120°,AB = a ,AC = b ,O在圆弧BC 上运动,若AO =λ1 a +λ2 b ,求λ1+λ2的取值范围.

    解? 设∠OAC=θ且00≤θ≤120°,所以AO ·AC =(λ1 a +λ2 b )· b =9cosθ=9λ2- 9 2 λ1,

    即cosθ=λ2- 1 2 λ1;

    AO ·AB =9cos(120°-θ)=(λ1 a +λ2 b )· a =9λ1- 9 2 λ2,

    即cos(120°-θ)=λ1- 1 2 λ2,

    由以上兩式相加得λ1+λ2=2[cosθ+cos(120°-θ)]= 3 sinθ+cosθ=2sin(θ+30°),

    因为30°≤θ+30°≤150°,所以1≤λ1+λ2≤2.

    变式2? 如图4所示,椭圆A: x2 9 + y2 n2 =1(0<n<3),C为椭圆A的右顶点,B在椭圆上,AB=2且∠BAC=120°,AB = a ,AC = b , O在椭圆弧BC 上运动,若AO =λ1 a +λ2 b ,求λ1+λ2的取值范围.

    解? B的坐标为(-1, 3 )代入椭圆方程得n2= 27 8 ,椭圆A上的任意点的坐标设为 3cosθ, 3 6? 4 sinθ ,

    令3cosθ1=-1,则sinθ1= 2 2? 3 ,cosθ1=- 1 3 ,θ1是点B对应的离心角且90°<θ1<120°,

    由AO =λ1 a +λ2 b 且设O点坐标为 3cosθ, 3 6? 4 sinθ ,则0≤θ≤θ1,且3cosθ=3λ2-λ1, 3 6? 4 sinθ= 3 λ1,解得λ1= 3 2? 4 sinθ,λ2=cosθ+? 2? 4 sinθ,则λ1+λ2= 2 sinθ+cosθ= 3 sin(θ+φ),其中φ为锐角,且sinφ= 1? 3? ,cosφ=? 6? 3 ,所以φ≤θ+φ≤θ1+φ<180°,cos(θ1+φ)=cosθ1cosφ-sinθ1sinφ=-? 6? 3 ,所以θ1+φ与φ互补,所以1≤λ1+λ2≤ 3 .

    四、教学反思

    平面向量数量积是培养学生运算力的好素材,要体现其工具性及应用的广泛性.教学中应注重平面几何、三角、基底、几何意义、坐标等思想方法或意识,努力提高学生思维能力及分析问题和解决问题的能力.学习的主动权还给学生,提供给学生独立思考、自主探究的时空,努力开发学生智力、潜能与兴趣培养为教学目标.努力提高自身素质与教学艺术,理解数学、理解教学、理解学生与掌握技术,开创自己教学的新篇章.

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更新时间:2025/3/14 23:17:33