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从几何角度思考数学问题

范文

曾一凡

引言：对有些数学问题，从几何的角度去分析研究，或许能有新的发现，从而得到更加形象的理解。下面，笔者将从几道椭圆问题出发，谈一谈数形结合对数学问题理解的帮助，看一看数形结合的思想又是如何应用在极限等更广泛数学领域上的。从而进一步剖析思维如何从中得到锻炼，数学素养又是如何提高的。

从以上解法不难看出，一切解题过程都顺理成章，思维难度不大，属于高中生必须掌握的解析几何技巧。然而，这种做法并不形象，学生只是利用固定方法，套用公式，机械的计算罷了，并不能理解这个定理的内涵。

再看下述证明，如果从几何角度来看这道题，思路似乎清晰了不少。

若仔细思考该定理的内容，我们可以把该结论改写为：从椭圆的一个焦点出发射出一束光，打到椭圆的壁上后一定反射到另一个焦点上。

如果这样提问，问题似乎很生动更形象了，随之而来的，是一个非常有趣的解法，其中用到了椭圆的第一定义：

平面内与两定点的距离的和等于常数的动点的轨迹叫做椭圆。

首先有引理

我们可以惊异的看出，第二种方法似乎简单了不少，这种证明只涉及到了椭圆的第一定义，证明过程甚至没有代数数字出现，而且，该证明过程极大的锻炼了逻辑能力，也让学生体会到了数学之趣。

虽说两种方法都解决了这个问题，但它们体现的思维性却是不一样的。但是只用一个例子不能很好说明数形结合在数学问题中的作用。所以，用来论证数形结合的重要性还略显不足，所以需要继续将思维深入，看看在其他问题上会有什么结果。

归纳总结：从这道例题我们可以看出来由事物的几何性状入手，采用数形结合的思考方式，会让我们对二次曲线的问题有着更加深刻的理解。如果熟练运用这种技巧，高考中最难的解析几何问题就迎刃而解了。

结束语：许多题目实质上蕴涵着丰富的科学思想和内涵，而用数形结合的办法解决问题往往可以帮助我们接触到问题的实质。很多代数化的解法只是它的表现形式而已。通过几道简单的小题，可以理解到很多深层次的东西，从二次曲线到极限，从代换到放缩，切入的角度不同，但我们的解题方法相同——也就是数形结合。在数学问题上，其实有很大一部分题目是需要数形结合的，毕竟很多时候我们遇到的问题，会有机会让我们思考其中的几何意义。因此，只有具备了数形结合的思维和足够的数学敏感度，才能够将难问题迎刃而解。

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