高中数学函数的单调性、奇偶性及周期性的研究

    曾诗雨

    【摘 要】函数的单调性、奇偶性和周期性对培养学生的数学思维有不可替代的作用，尤其与不等式证明与三角函数的复合应用，可以培养学生在数学学习中相互渗透的思维习惯，提高数学素养和综合能力，在求极值、不等式证明、综合类题目中广泛应用，本文通过几个实例，阐述了利用函数的单调性、奇偶性和周期性解题的优势。

    【关键词】函数；单调性；奇偶性；周期性

    【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）04-0031-02

    函数的单调性、奇偶性和周期性是初等数学中最基本的知识点，又是其它好多板块题目的基础，深刻的理解和熟知函数的特性，对求解数学题目有极大的帮助，可以简化所求问题的复杂度，节省复习时间。函数的单调性、奇偶性和周期性亦是我们认识世界的一种思维方式，奇偶性可以演化为对称性，周期性则是循环往复的思想，单调性则是趋势。通过详细学习和理解函数的以上性质，在做题中有事半功倍的效果[1-3]。结合笔者的经历，高中数学函数在单调性、奇偶性和周期性方面的题目变化层出不穷，但解题思路和方法相对固定。单调性则为不等式的证明埋下伏笔，不等式证明往往转化为函数做差进行比较，奇偶性和周期性则是反复综合在填空题、确定函数解析式中较为常见[4-7]。此外，该部分内容通过跟三角函数的结合以及函数图像结合中应用更为广泛，通过对该知识点的强化练习，有助于提高学生的解题效率，可以很好的培养学生的数学思维。

    1 函数的单调性

    函数的单调性是指函数在自变量的区间内呈现出向下或者向上的趋势，对于复合函数而言，其单调性遵循“同增异减”的规律，在某个区间内可以求得函数的极值以及可以由此引用与不等式的证明，判断函数的单调性有四种常用方法，定义法、复合函数单调性法、图像法以及导数法；此外函数的单调性往往同不等式的证明、三角函数等知识板块复合命题，增加题目的难度，可将不等式的证明转换为求解函数值在某个区间内的单调性，转换问题角度，为解决问题提供新的思路，而在三角函数中往往跟函数的周期性、奇偶性复合应用，如下题。

    试证明，函数在是增

    函数。

    解：由于该函数不是我们学习中常见的常规函数，故考虑用定义法来证明。

    取任意两个实数，且，

    做差有：

    由于，，所以：

    得出，

    而

    所以在上是单调增函数。

    2 函数的周期性

    函数的周期性的定义可以如此描述：有函数，若有非零常数T，使得任何，，都有，则函数为周期函数，T就是该函数的一个周期，假如在所有的周期中存在一个最小的正数，则称为最小正周期[8-10]。周期性是函数的基本性质之一，尤其在三角函数中，函数的周期性具有充分的应用，往往是求解题目的关键，尤其在无限叠加类题目中周期性往往是命题的切入点，值得仔细揣摩学习，此外还在求函数解析式中具有重要的应用，如下题。

    设是定义在R上的奇函数，取任意实数，均有，当时，；

    （1）试证明是周期函数。

    （2）当时，求的解析式。

    解：（1）由于是奇函数，故有，结合题目中，，故得出是周期为4的周期函数。

    （2）当时，，结合题目中已知条件有，且是奇函数，，推出，当时，，得出，而是周期为4的周期函数，得出。

    3 函数的奇偶性

    函数的奇偶性是函数重要的基本特征之一，也是命题的重点。其定义如下：有函数（A为关于原点对称的区间），若对于任何都有，，则称为偶函数；若对于任何都有，，则称为奇函数；函数的奇偶性往往同函数的单调性、周期性结合在一起综合运用，对于函数的奇偶性的相关题目，结合函数图像，通过数形结合则能快速解题。对于求极值，确定未知数的范围往往是解题的切入点。

    （1）定义在上的奇函数是减函数，求解关于m的不等式：。

    解：首先结合题目中是奇函数，可简化不等式，又在是单调减函数，因此有：

    求解得

    故不等式的解集是

    （2）假设函数对任意都有，且若，则。

    试证在R上市增函数；

    若，求满足的实数a的取值

    范围。

    解：取，且，由此得出，结合题意，有

    所以在R上是增函数。

    由于，所以

    要满足，由于在定义域内为单调递增函数，又，所以当且仅当成立，原不等式成立，求解得出：

    函数的单调性、奇偶性和周期性是函数性质中重要内容之一，也是反复命题的重点。该部分内容往往跟三角函数、不等式证明以及函数的极值求解中复合度较高，单调性是函数在定义域内或者部分区间内函数的变化趋势，往往同复合函数的单调性判断、不等式的证明综合命题，学习中也是通过练习不断加强巩固，函数的奇偶性往往是求解函数类题目的关键，由于奇偶性本身就是一个已知条件，往往对解题能起到至关重要的作用[11-13]。函数的周期性则主要用来确定无限函数的累加求和类题目，该内容的融会贯通对于填空题、选择题具有极大的帮助。看似复杂，但通过周期性可以极大的化简，化繁为简，大大减小计算量，从而使得问题迎刃而解。

    【参考文献】

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