中考应用题解题策略研究

    于艳芹

    

    

    [摘要]探讨数学应用问题的解题策略具有重要的现实意义不仅能让学生学会分析问题，还能提高学生的解题能力

    [关键词]中考;应用题;解决策略

    [中图分类号]

    G633. 6

    [文献标识码] A

    [文章编号] 1674-6058（2020）17-0012-02

    在近几年的中考数学中，增加了应用题，这些应用题具有鲜明的特色，它的背景素材取白现实生活，并与热点链接，且涉及面广.题日通常文字叙述比较冗长，有诸多干扰因素.如果学生不能抓住要害，找出解答的关键信息，就不能正确解题.在解答这类题时，要学会“抽丝剥茧”，联系学过的知识，通过观察、分析、概括，将实际问题转化为数学模型，利用学过的数学知识加以解决.

    一、应用方程或方程组解决二氧化碳排放问题

    中考数学常把方程作为命题的重点，这就要求学生要关注现实生活，了解现代社会的日常事务，能够用方程思想审视和解决一些实际问题.运用方程或方程组解决问题的一般步骤为：一认真审清题意，分清题中的已知量与未知量;二根据所求量设出未知数，要注意统一单位;三是找出等量关系，使它能够反映应用题的全部意义;四构造方程或者列方程组;五解方程（组）;六检验并写出答案.

    [例1]近几年某地在全面推进“两型社会”建设方面成效显著，低碳环保、生态节能的生活方式已成为社会共识.杨先生要从某地到长沙，若乘飞机需要3h，乘汽车需要9h这两种交通工具每小时排放的二氧化碳总量为70kg，已知飞机每小时二氧化碳的排放量比汽车多44kg.问：

    （1）汽车、飞机每小时二氧化碳的排放量各是多少千克？

    （2）杨先生若乘汽车来长沙，那么他此行与乘飞机相比将减少二氧化碳排放量多少千克？

    解析：（1）设汽车每小时二氧化碳的排放量是x千克，飞机每小时二氧化碳的排放量是y千克，根据题意列出方程组.即

    故汽车每小时二氧化碳的排放量是57千克，飞机每小时二氧化碳的排放量是13千克.

    （2）利用“减少二氧化碳排放量=飞机每小时二氧化碳的排放量×乘飞机所需时间-汽车每小时二氧化碳的排放量×乘汽车所需时间”计算，即57x3-13x9=54（千克）.

    评注：本题关注的热点是“低碳生活”，通过问题向学生普及了乘飞机比乘汽车排放的二氧化碳要多得多，鼓励人们在飞机与汽车之间选择时，应选择乘汽车.在解决问题的过程中，关注其中的数量关系，是解决问题的关键。

    二、应用不等式或不等式组解决方案设计问题

    在现实世界里，不仅存在相等的数量关系，也存在不相等的数量关系.如大于、小于、不等于、至少、至多等.这是因为诸多现实问题有时不容易确定其具体数值，有时也不需要确定其具体数值，但是要想对所关注的问题有一个比较清晰的认识，需要确定这些量的波动范圍，这就是不等式或不等式组所解决的问题.建立不等式或不等式组时，从题意出发，只设一个未知数，弄清问题所描述的实际情况，找出能反映应用题全部含义的不等关系.

    [例2]为了改善我市职工生活环境，完善小区生活配套设施，市政府决定在“综合整治”规划中将200吨水泥和120吨外墙涂料运往我市的A镇，现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水泥和外墙涂料全部运出，已知一辆甲种货车可装水泥和外墙涂料各20吨，一辆乙种货车可装水泥40吨和外墙涂料10吨.

    （l）如果同时使用这两种货车，一次性送到A镇，请设计一下运输方案.

    （2）如果甲货车使用一次需要960元，乙货车使用一次需要1200元，如何运输费用最少？

    解析：（1）设安排甲货车x辆，乙货车（8-x）辆，根据题意列出不等式组

    解得4≤x≤6.又x为整数，所以x为4，5，6，有三种方案.

    方案一：甲货车4辆，乙货车4辆.

    方案二：甲货车5辆，乙货车3辆.

    方案三：甲货车6辆，乙货车2辆.

    （2）根据（1）得出三种方案的费用，进而比较即可.

    方案-：4x960+4x1200=8640（元）.

    方案二：5x960+3x1200=8400（元）.

    方案三：6x960+2x1200=8160（元）.

    8640>8400>8160

    评注：本题考查了方案设计问题.有时解决问题的方案可能不止一种，那么到底有哪几种方案可供选择？在这几种方案中，哪一种是合适的？这里的“合适”需要根据实际情况而定，有时优先考虑时间，有时优先考虑费用，有时优先考虑事情的方便，等等.此题优先考虑费用问题，把它作为方案的首选因素.

    三、应用二次函数解决最大利润问题

    函数及其图像是初中数学的重要内容，也是初中数学与高中数学衔接最好的部分.中考数学一方面考查函数的图像与性质，另一方面考查函数在实际生活中的应用，函数的应用题常作为中考数学的压轴题，难度相对较大，所以应把函数的应用作为数学复习的重点.解决这类问题首先要审清题意，辨析出问题对应的函数类型，尝试用一个变量的代数式表示另一个变量，实际上就是建立函数关系式，同时，应根据题意明确自变量的取值范围，在实际问题里，白变量的取值范围都有一定的局限性，必须使实际问题有意义.

    [例3]母亲节人们常为母亲送花，星星鲜花超市采购了一批鲜花，经分析上一年的销售情况，发现该鲜花礼盒的周销售量y（盒）是销售单价x（元）的一次函数，已知销售单价为70元/盒时，销售量为160盒;销售单价为80元/盒时，销售量为140盒.

    （1）求该周销售量y（盒）关于销售单价x（元）的一次函数解析式;

    （2）若按去年方式销售，已知今年该鲜花礼盒的进价是每盒50元，商家要求该周至少要卖110盒，请你帮店长算一算，要完成商家的销售任务，销售单价不能超过多少元？

    （3）在（2）的条件下，销售单价x为何值时，花店该周销售鲜花礼盒获得的利润最大？并求出获得的最大利润.

    解析：（l）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，把x=70、y=160和x=80、y=140代入求出k、b的值即可.设y关于x的函数解析式为y=kX+b，

    （2）由y≥ll0列出关于x的不等式，解之可得.由题意可得v≥ll0， -2x+300≥110，解得x≤95， 销售单价不能超过95元.

    （3）设销售利润为w元，根据“总利润=单价利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得.即设销售利润为w元，

    则w=（x-50）（-2x+300）=-2x2+400x-15000=-2（x-100）2+5000.

    ∵-2<0，对称轴为x=100，∴当50≤x≤95时，w随x的增大而增大，

    ∴当x=95时，w取得最大值，最大值为4950.

    评注：本题的销售量与销售单价成一次函数，销售利润与销售单价成二次函数.确定一次函数关系式时采用待定系数法，确定二次函数关系式时采用列代数式的方法.二次函数中自变量的取值范围来自一次函数，两个函数紧密联系在一起.一般地，求最值的实际问题，常需要建立二次函数关系式，利用二次函数最值的性质去求.

    四、应用统计了解中学生的课余生活

    统计数学模型比其他数学模型有着更丰富的生活背景，它的应用价值也更强，也是中考数学的热点问题，它主要考查学生的统计思想、用样本估计总体的思想等，另一方面也考查了学生的数学应用意识、分析处理数据的能力.

    [例4]为了解某中学学生课余生活情况，包括看课外书、体育锻炼、观看视频、参与社会活动，调查时抽取几名学生，并将得到的数据进行了收集整理，并制成了条形统计图和扇形统计图（如图1），根据统计图中的数据，解答：

    （1）n=____，扇形统计图中看课外书的扇形网心角为

    ;

    （2）请把条形统计图补充完整;

    （3）已知这所中学有學生1200个，那么这所中学喜欢看电视的有多少人？

    解析：（1）根据社会实践的学生数和所占的百分比可以求得本次调查的人数和扇形统计图中看课外书的扇形网心角的度数.即n=5÷10%=50，扇形统计图中看课外书的扇形网心角为360°×15/50=108°，故答案为50，108.

    （2）根据（1）中n的值可以得到看电视的学生数，从而可以将条形统计图补充完整.即：选择看电视的学生有：50-15-20-5=10，补全的条形统计图如图2所示.

    （3）根据统计图中的数据可以计算出该校喜爱看电视的学生人数1200×10/50= 240（人）.

    数学知识来自于生活，又高于生活，是对客观现实的提炼与概括，是实际问题的一般形式，揭示了事物的本质特征.我们掌握了数学知识后，反过来可以应用数学知识分析现实问题，指导我们的生活，这就是数学与生活的相互联系.在解决实际问题时，首先要分析出它对应的数学模型，是方程、不等式、函数、统计还是几何图形，然后应用数学模型的相关知识解答，也就将实际问题转化为数学问题，通过数学问题的解决，从而解决实际问题.