多面体外接球的求解策略

    陈文旭

    

    

    [摘要]多面体外接球的问题，逐渐成为近几年高考的热门考点为了强化多面体外接球问题的教学效果，需要对这类问题做一个详细的分析，总结求解策略并推广应用

    [关键词]多面体;外接球;求解策略

    [中图分类号]

    G633.6

    [文献标识码] A

    [文章编号] 1674-6058（2020）17-0010-02

    多面体外接球的问题比较抽象，空间想象能力一般的学生往往都找不到球心位置，无法建立必要的数量关系等式.高中数学人教版必修2教材，只是涉及球的概念、球表面积公式和体积公式，对多面体外接球的几何性质涉及的内容很少.笔者对此类问题做一个补充，以让学生会求解此类问题，并学会举一反三.

    一、公式法

    对于规则的多面体，运用公式直接求多面体外接球的半径.例如：

    正方体外接球半径： （a为正方体棱长）.

    长方体外接球半径： 别为长方体的长、宽、高）. 直棱柱外接球半径： c底面多边形外接网的半径r，直棱柱的高h）.

    [例1]-个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9/8，底面周长为3，则这个球的体积为

    二、补形法

    一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直（题目条件可能隐含，需要加以证明两两垂直），且其长度分别为a、b、c，则可将这个三棱锥补全为一个长方体.于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有 （注意：当a=b=c时，补成正方体）.

    [例2]已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（

    ）.

    分析：本题考查学生的空间想象力，用补形法解决外接球问题.通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，进而补体成正方体解决.

    三、确定球心位置法

    若几何体无法补形，可考虑根据多面体几何性质，找出球心的位置，构造直角三角形，利用勾股定理求解.

    [例3]设A、B、C、D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥D- ABC體积的最大值为（

    ）.

    分析：本题确定了球心的位置后，可判断出当DM上平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大.由M为三角形ABC的重心，计算得到 ，再由前面所提到的公式 得到OM，进而解决问题.

    [例4]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（

    ）.

    解：如图3，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=4，oo1=4-R，

    在Rt△AOO1中， 由勾股定理R2=2+（4-R）2得R=9/4，

    球的表面积 .

    四、寻求轴截面圆法

    寻找外接球的一个轴截面网，该网的半径就是所求的外接球半径，从而把立体几何问题转化成平面几何问题.

    [例5]中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖儒，如图4为一个阳马与一个鳖儒的组合体，已知PA上平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=2，ED=1，若鳖儒P-ADE的外接球的体积为9/2π，则阳马P- ABCD的外接球的表面积等于

    分析：由鳖儒定义可知，四个面都为直角三角形，轴截面网的直径PE所对的网周角∠PDE、∠PAE都是直角，PE是鳖膈P-ADE外接球的轴截面网的直径.同理，圆周角∠PDC、∠PBC、∠PAC都是直角，PC为阳马P-ABCD外接球的直径.

    综上所述，解决多面体与球的内接问题的关键是紧扣球心的位置，球心到多面体各顶点的距离等于球的半径，或者寻找两个不同的球截面，过截面的网心分别作面的垂线，这两条垂线的交点即是球心.具体先看多面体是否可以补为长方体，若可以，则长方体的体对角线长即为外接球的直径;若不可以，找球心的大致位置，构造直角三角形，利用勾股定理来求解.

    [参考文献]

    [1]黄喜滨，江泽基于核心素养的空间几何体外接球之探究[J]福建中学数学，2017（8）：15 -18

    [2]武增明确定多面体外接球的球心的策略[J]中学数学杂志.2013（1）：36-37.

    （责任编辑 黄桂坚）