一次函数和反比例函数综合问题解法研究

     莫贫旺

    

    

    [摘要]探讨一次函数和反比例函数的综合问题的解法，以促进学生提升解决问题能力和数学素养，

    [关键词]一次函数;反比例函数;综合问题

    [中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0022-02

    在中考中，将一次函数与反比例函数结合起来考查屡见不鲜，这样的考题不仅考查一次函数与反比例函数的图像与性质，还考查数学思想方法。

    一、求函数表达式及比较函数值

    一次函数图像与反比例函数图像相交求解析式时，一般以反比例函数作为突破口，先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式，比较两个函数的函数值时，要结合图形，找出分界點，左右两边分别讨论，图像在上方的函数值较大，图像在下方的函数值较小，交点处函数值相等。

    （1）求这两个函数的表达式;

    （2）根据图像直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

    分析：（1）把A的坐标代入反比例函数解析式，可得出反比例函数解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式，可得到B的坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式;（2）结合图像，找一次函数的图像在反比例函数图像上方时对应的x的取值范围。

    点评：反比例函数只有一个待定系数，所以只需图像上一个点的坐标就可求得;一次函数有两个待定系数，所以需要图像上两个点的坐标才可以求得，因此，求两函数解析式时，以反比例函数作为突破口为宜，比较两函数的函数值时，自变量x的值常以图像交点的横坐标和原点O作为分界，把x的值分为四个部分，要结合图像逐段进行分析。

    二、求三角形的面积

    一次函数图像与反比例函数图像可以有0个、1个或2个交点，当两个图像有两个交点时，这两个交点与原点构成一个三角形，直线与双曲线的交点落在两个象限时，构成钝角三角形，此时需要分解为两个三角形，用面积的加法求面积;直线与双曲线的交点在同一象限时，构成锐角三角形，此时需要将所求三角形看成两个三角形的面积差，用面积的减法求面积，在求三角形面积前，应先求出图像的交点坐标。

    点评：同一直线上两点的距离等于它们相应坐标的差的绝对值，这样可以表示出某些线段的长，在去绝对值符号时，注意有两种情况：大于0或小于0.再者，a、b绝对值的积或商等于它们积或商的绝对值，这样可以将两个绝对值化为一个绝对值，使问题得到简化，

    （责任编辑：黄桂坚）