三角“搭台”导数“唱戏”
蔡勇全
三角函数是高中数学中一类重要的基本初等函数，其性质特殊而繁多，不少题目对运算技能的要求较高，利用传统方法求解往往技巧性强或难以作答，这时若及时考虑借助导数这一解决函数问题的“利器”，则可能会避开“高超”的解答技巧，呈现清晰的解题思路和简捷明了的解题过程.本文结合实例略谈导数在解答三角函数问题时的几种“活用”，旨在探索题型规律，揭示解题策略，供大家参考.
1利用导数解决三角恒等式或不等式的证明问题
1.1证明三角恒等式
例1求证：sin22x+2cos2xcos2x=2cos2x.
证明令f（x）=sin22x+2cos2xcos2x-2cos2x，则有f′（x）=4sin2xcos2x+2（-2cosxsinxcos2x-2sin2xcos2x）+4sinxcosx=4sin2xcos2x-2sin2x·cos2x-2sin2x（1+cos2x）+2sin2x=0，所以f（x）为常数函数.又易知f（0）=0，所以f（x）=sin22x+2cos2xcos2x-2cos2x=f（0）=0，从而sin22x+2cos2x·cos2x=2cos2x.
变式求证：sin2x+cos2x=1.
评注事实上，对于上述解答过程，在获得“f（x）为常数函数”这一结论后，不仅可以去计算f（0），而且可以去计算任意的f（α）（α∈R），并且能够发现“f（α）=0（α∈R）恒成立”，比如，利用计算得到的fπ6=0、fπ4=0、fπ3=0等去阐述，都是可行的.
例2求证：
sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4=124.
证明令f（x）=sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4，f′（x）=sin7xcosx+cos7xsinx-2sin5xcosx-cos5xsinx+sin3xcosx=sinxcosx（-2sin4x-cos4x+sin6x+cos6x+sin2x）=sinxcosx[-2sin4x-cos4x+（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）+sin2x]=sinxcosx（-sin4x-sin2xcos2x+sin2x）=sinx·cosx[-sin4x+sin2x（1-cos2x）]=sinxcosx-sin4x+sin4x=0，所以f（x）为常数函数.又易知f（0）=-18+16=124，所以f（x）=sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4=124.
变式1求证：sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β=12.
提示：把α视为主元，β视为常数.
变式2求证：sin3xsin3x+cos3xcos3x=cos32x.
评注通过上述实例可以看出，利用导数证明三角恒等式的思路主要有两个方面：（1）若采用恒等式移项的策略，不论待证恒等式右边是三角代数式还是常数，只需要把等式右边完全移向等式左边，使等式的右边变为“0”，然后把移项得到的代数式作为一个函数，首先证明其导数恒等于0，即证明该函数是一个常数函数，再在该函数定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的函数值为0，则原恒等式得证，这方面的案例有例1及其变式；（2）若采用恒等式不移项的策略，这里面又有两种情况，若待证恒等式右边是一个常数a，则只需把等式左边当成一个函数，首先证明其导数恒等于0，即证明该函数是一个常数函数，再在该函数定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的函数值为a，则原恒等式得证，这方面的案例有例2及其变式1；若待证恒等式两边都是三角代数式，则可以把两个三角代数式各自作为一个函数（定义域相同），首先证得两个函数的导数相等，则其中一个函数必等于另一个函数与一个常数之和，接下来证明该常数等于0，只需要在定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的两个函数值相等，则该常数等于0，故原恒等式得证，这方面的案例有例2的变式2.
1.2证明三角不等式
例3求证：对任意正角α<180°，有不等式sinα+12sin2α+13sin3α>0成立.
证明令f（α）=sinα+12sin2α+13sin3α，则f′（α）=cosα+cos2α+cos3α=cosα+2cos2α-1+4cos3α-3cosα=（2cosα+1）（2cos2α-1），
由f′（α）>0，
-10，易知f45°=42+36>0，f（135°）=42-36>0，所以对任意正角α<180°，有不等式sinα+12sin2α+13sin3α>0成立.
变式1若0
变式2设0
提示：把x视为主元，y视为常数.
评注利用导数证明三角不等式时，首先得考虑构造相关的函数，再在研究该函数的单调性的基础之上证得结论.顺便提一提，例3的变式2的常见证法是利用函数的凹凸性：若函数g（x）在区间a，b（a
此处，因为函数g（x）=sinx在（0，π）上具有上凸的特点，且0
2利用导数解决三角函数的周期性问题
例4函数f（x）=sin4x+cos2x的最小正周期是（）
A.π4B.π2C.πD.2π
解析f′（x）=4sin3xcosx-2cosxsinx=2sinxcosx（2sin2x-1），令f′（x）=0，解得sinx=0或cosx=0或sin2x=12.当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，f（x）=1；当cosx=0，即x=kπ+π2（k∈Z）时，f（x）=1；当sin2x=12，即x=π4+kπ2（k∈Z）时，f（x）=34，所以函数f（x）的最大值为1，由于相邻两个最高点之间的距离正好是一个最小正周期，因此函数f（x）的最小正周期T=π2，故应选B.
变式函数f（x）=sin6x+cos6x的最小正周期为.
（答案π2）
评注例4的变式的求解实际上涉及到如下结论：（1）若f（x）是定义在R上的非常值可导函数，其导函数f′（x）是以T为周期的连续函数，且f（T）=f（0），则f（x）也是以T为周期的函数；（2）若非常值周期函数f（x）在R上有定义且f′（x）是R上的连续函数，则f′（x）也为周期函数且与f（x）具有相同的周期.利用结论（1），可解决例4：f′（x）=2sinxcosx（2sin2x-1）=sin2x（-cos2x）=-12sin4x，所以f′（x）是以π2为周期的连续函数，又fπ2=f（0）=1，所以f（x）也是以π2为周期的函数.
3利用导数解决三角函数中的求值问题
例5若2sinα+cosα=-5，则tanα=.
解析根据asinα+bcosα=a2+b2sinα+β（a、b为常数，且ab≠0，tanβ=ba）可知，asinα+bcosα的最大值为a2+b2，最小值为-a2+b2，又注意到cosα+2sinα=-5中的系数特征，令f（x）=2sinx+cosx=5sinx+β，其中tanβ=12，则f（x）的最大值为5，最小值为-5.由2sinα+cosα=-5可知，f（α）=-5，f（x）在x=α处取得最小值，所以f′（α）=0.又因f′（x）=2cosx-sinx，故f′（α）=2cosα-sinα=0，所以tanα=sinαcosα=2，故应填2.
变式已知函数f（x）=3sinx+5cosx的定义域为0，π2，当x=α时，f（x）取得最大值34，则tanα的值为.
（答案35）.
评注本题是一道看似平凡但解法新颖别致的小题，利用导数求解的深刻思想方法值得推崇，但关键还是深切体会所学数学知识并融会贯通、善于联想.变式脱胎于例5，但更进一步的是把函数局限于一小段区间上，这需要解题者联想函数f（x）的图象特征，借助利用导数方法求函数在闭区间上最值的思路予以解决.
4利用导数解决三角函数的奇偶性问题
例6设函数f（x）=sin（ωx+），其中>0，则f（x）是偶函数的充分必要条件是（）
A.f（0）=0B.f（0）=1
C.f′（0）=1D.f′（0）=0
解析显然，f（x）的定义域为R.若函数f（x）是偶函数，则其导函数f′（x）为奇函数，必有f′（0）=0；反之，若f′（0）=0，因为f′（x）=ωcos（ωx+），所以f′（0）=ωcos=0，即cos=0，=kπ+π2（k∈Z），代入f（x）=sin（ωx+）可得f（x）=cosωx或f（x）=-cosωx，所以f（x）是偶函数.故应选D.
变式1若
f（x）=asinx+π4+bsinx-π4（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是.（写出你认为正确的一组数即可）
（答案a+b=0）
变式2已知函数f（x）=asin2x+bcos2x的图象关于直线x=-π8对称，则直线ax-by=0的倾斜角为.
（答案135°）
评注本题的解答涉及到的结论是：若函数y=f（x）是可导偶函数，则其导函数y=f′（x）是奇函数；若函数y=f（x）是可导奇函数，则其导函数y=f′（x）是偶函数.与之相应的结论还有：设f（x）为可导函数，若f′（x）为奇函数，则f（x）为偶函数；若f′（x）为偶函数，则当f（0）=0时，f（x）为奇函数，当f（0）≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
5利用导数解决三角函数的值域或最值问题
例7求函数f（x）=asinnx+bcosnx（a，b>0，x∈0，π2，n∈N*）的值域.
解析由题意，f′（x）=-nacosxsinn+1x+nbsinxcosn+1x=nbsinn+2x-nacosn+2xsinn+1xcosn+1x，令f′（x）=0，可得bsinn+2x-acosn+2x=0，所以tann+2x=ab，tanx=ab1n+2，记此方程的解为x0，由函数y=sinx和y=cosx在0，π2上的单调性可知，x0为函数f（x）唯一的极小值点，从而为最小值点.
由tanx0=ab1n+2，解得
sinx0=tanx01+tan2x0=ab1n+21+ab2n+212
=a1n+2a2n+2+b2n+212，cosx0=11+tan2x0
=11+ab2n+212=b1n+2a2n+2+b2n+212，则f（x）min=fx0=asinnx0+bcosnx0=a·a2n+2+b2n+2n2ann+2+b·a2n+2+b2n+2n2bnn+2=a2n+2+b2n+2n+22，故函数f（x）的值域为a2n+2+b2n+2n+22，+∞.
变式1当0<α<π2时，函数f（α）=（sinα-tanα）（cosα-cotα）的值域为.
（答案0，32-2）
变式2函数y=cosx+cosx+π3的最大值为.
（答案3）
评注利用导数解决三角函数的值域或最值问题时需注意两点：一是利用导数求三角函数的单调区间时不需要先对函数解析式进行三角恒等变形，而只要对函数直接求导，依据“在某区间上f′（x）>0（或f′（x）<0）恒成立，则f（x）在该区间上一定是增（或减）函数”这一结论；二是利用导数求三角函数的最值时，应利用“导数等于0时函数有可能取得极值，最大值一定在区间的端点或有可能取得极值处产生”这一结论.另外，本题亦可利用纯三角方法依如下步骤求解：①对于cosx+π3，按照和角余弦公式展开；②合并同类项；③对asinθ+bcosθ型式子进行化简；④写出函数值域.相比之下，导数方法对运算能力和化简变形技巧要求要低得多.
6利用导数解决与三角函数有关的参数范围求解问题
例8使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负实数a的取值范围是.
解析设f（x）=sin2x+acosx-cosx+a2-1，则f′（x）=2sinxcosx-asinx+sinx=sinx（2cosx-a+1），令f′（x）=0，得sinx=0或cosx=12（a-1）.
将sinx=0代入f（x）≥0，有a2+a-2≥0或a2-a≥0，注意到a<0，解之得a≤-2.又cosx=12（a-1）∈[-1，1]，即-1≤a≤3，
将cosx=12（a-1）代入f（x）≥0，有5a2-2a+1≥0，此式恒成立，故负实数a的取值范围为（-∞，-2].
评注本题亦可利用二次函数的相关知识来求解：因为sin2x+acosx+a2≥1+cosx，所以cos2x+（1-a）cosx-a2≤0，令t=cosx，则t∈[-1，1]，所以t2+（1-a）t-a2≤0对任意t∈[-1，1]恒成立.令g（t）=t2+（1-a）t-a2，由g（-1）≤0，
g（1）≤0，
a<0，解得a≤-2.
变式1若不等式
（x2+1）cosθ-x（cosθ-5）+3x2-x+1>sinθ-1对任意负实数x恒成立，求实数θ的取值范围.
（答案θ∈-3π4+2kπ，π4+2kπ（k∈Z））
变式2设x∈[0，π]，若方程cos2x+4asinx+a-2=0有两个不同的解，求实数a的取值范围.
（答案a的取值范围为aa=12或35
评注求解不等式或等式中参数的取值范围，常常是先分离变量，把原问题转化为求函数最值的问题，而导数在求函数最值时的工具性作用十分突出，这在例8及其变式中体现得尤为明显.
7利用导数解决三角函数中比较大小的问题
例9若0
C.2x=3sinx D.与x的取值有关
解析设f（x）=2x-3sinx，则f′（x）=2-3cosx，设x0∈0，π2是方程f′（x）=0的根，则由f′（x）=2-3cosx>0，
00，f（x）的取值中有正数也有负数，因此2x与3sinx的大小关系与x的取值有关.
变式1若0
C.sinx<4π2x2 D.sinx>4π2x2
（答案D）
变式2已知函数f（x）=xsinx+cosx，x∈-π，π，试比较f-3与f2的大小.
（答案f（-3）
变式2与变式1都体现了用导函数的正负来反映函数在某区间上的单调性的重要作用，变式2还可以应用函数的奇偶性来实现比较大小的过渡.
8利用导数解决三角函数中的对称问题
例10已知函数y=sin2x+acos2x（a∈R）的图象的一条对称轴为x=-π8，求a的值.
解析因为x=-π8是函数y=sin2x+acos2x（a∈R）的图象的一条对称轴，所以该函数在x=-π8处取到最值，根据y=sin2x+acos2x的图象的光滑性可知，该函数也在x=-π8处取得极值，故函数在x=-π8处的导数值为0，因为y′=2cos2x-2asin2x，所以y′|x=-π8=2cos-π4-2asin-π4=0，解得a=-1.
变式1同例6的变式2
变式2设向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，23cosωx），函数f（x）=a·b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1，则ω的值为.
（答案56）
变式3若函数f（x）=3cos2x+的图象关于点4π3，0中心对称，那么的最小值为（ ）
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
（答案A）
评注变式2的求解涉及到如下结论：（1）函数y=sinωx+的对称轴是其导函数y′=ωcosωx+=0即cosωx+=0的根；（2）函数y=cosωx+的对称轴是其导函数y′=-ωsinωx+=0即sinωx+=0的根.
变式3的求解涉及到如下结论：（1）函数f（x）=sinωx+的对称中心的横坐标是函数f′（x）=ωcosωx+的极值点，也就是函数f′（x）=ωcosωx+的导函数f′（x）′=-ω2sinωx+=0即sinωx+=0的根，换句话说，函数f（x）=sinωx+的对称中心的横坐标是方程f′（x）′=0的根；（2）函数f（x）=cosωx+的对称中心的横坐标是函数f′（x）=-ωsinωx+的极值点，也就是函数f′（x）=-ωsinωx+的导函数f′（x）′=-ω2cosωx+=0即cos（ωx+）=0的根，换句话说，函数f（x）=cosωx+的对称中心的横坐标是方程[f′（x）]′=0的根.
9利用导数解决三角方程的根（或三角函数与x轴的交点或三角函数的零点）的个数问题
例11求证：方程x=12sinx只有一个根x=0.
解析令f（x）=x-12sinx（x∈R），则f′（x）=1-12cosx，因为-1≤cosx≤1，所以12≤f′（x）≤32，f（x）在R上单调递增，又f（0）=0，所以方程x-12sinx=0.即x=12sinx只有一个根x=0.
变式1函数f（x）=3x-2sinx在区间[-1，1]上的图象与x轴的交点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
（答案B）
变式2函数f（x）=xsinx-32在区间（0，π）内的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（答案B）
评注解答例11及其变式这类题，常常会用到零点存在性定理，并结合函数的单调性，即可求出三角方程的根、三角函数与x轴的交点或三角函数的零点的个数.
三角函数是高中数学中一类重要的基本初等函数，其性质特殊而繁多，不少题目对运算技能的要求较高，利用传统方法求解往往技巧性强或难以作答，这时若及时考虑借助导数这一解决函数问题的“利器”，则可能会避开“高超”的解答技巧，呈现清晰的解题思路和简捷明了的解题过程.本文结合实例略谈导数在解答三角函数问题时的几种“活用”，旨在探索题型规律，揭示解题策略，供大家参考.
1利用导数解决三角恒等式或不等式的证明问题
1.1证明三角恒等式
例1求证：sin22x+2cos2xcos2x=2cos2x.
证明令f（x）=sin22x+2cos2xcos2x-2cos2x，则有f′（x）=4sin2xcos2x+2（-2cosxsinxcos2x-2sin2xcos2x）+4sinxcosx=4sin2xcos2x-2sin2x·cos2x-2sin2x（1+cos2x）+2sin2x=0，所以f（x）为常数函数.又易知f（0）=0，所以f（x）=sin22x+2cos2xcos2x-2cos2x=f（0）=0，从而sin22x+2cos2x·cos2x=2cos2x.
变式求证：sin2x+cos2x=1.
评注事实上，对于上述解答过程，在获得“f（x）为常数函数”这一结论后，不仅可以去计算f（0），而且可以去计算任意的f（α）（α∈R），并且能够发现“f（α）=0（α∈R）恒成立”，比如，利用计算得到的fπ6=0、fπ4=0、fπ3=0等去阐述，都是可行的.
例2求证：
sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4=124.
证明令f（x）=sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4，f′（x）=sin7xcosx+cos7xsinx-2sin5xcosx-cos5xsinx+sin3xcosx=sinxcosx（-2sin4x-cos4x+sin6x+cos6x+sin2x）=sinxcosx[-2sin4x-cos4x+（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+cos4x）+sin2x]=sinxcosx（-sin4x-sin2xcos2x+sin2x）=sinx·cosx[-sin4x+sin2x（1-cos2x）]=sinxcosx-sin4x+sin4x=0，所以f（x）为常数函数.又易知f（0）=-18+16=124，所以f（x）=sin8x8-cos8x8-sin6x3+cos6x6+sin4x4=124.
变式1求证：sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β=12.
提示：把α视为主元，β视为常数.
变式2求证：sin3xsin3x+cos3xcos3x=cos32x.
评注通过上述实例可以看出，利用导数证明三角恒等式的思路主要有两个方面：（1）若采用恒等式移项的策略，不论待证恒等式右边是三角代数式还是常数，只需要把等式右边完全移向等式左边，使等式的右边变为“0”，然后把移项得到的代数式作为一个函数，首先证明其导数恒等于0，即证明该函数是一个常数函数，再在该函数定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的函数值为0，则原恒等式得证，这方面的案例有例1及其变式；（2）若采用恒等式不移项的策略，这里面又有两种情况，若待证恒等式右边是一个常数a，则只需把等式左边当成一个函数，首先证明其导数恒等于0，即证明该函数是一个常数函数，再在该函数定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的函数值为a，则原恒等式得证，这方面的案例有例2及其变式1；若待证恒等式两边都是三角代数式，则可以把两个三角代数式各自作为一个函数（定义域相同），首先证得两个函数的导数相等，则其中一个函数必等于另一个函数与一个常数之和，接下来证明该常数等于0，只需要在定义域内任取一个值（一般取特殊值），证明此处的两个函数值相等，则该常数等于0，故原恒等式得证，这方面的案例有例2的变式2.
1.2证明三角不等式
例3求证：对任意正角α<180°，有不等式sinα+12sin2α+13sin3α>0成立.
证明令f（α）=sinα+12sin2α+13sin3α，则f′（α）=cosα+cos2α+cos3α=cosα+2cos2α-1+4cos3α-3cosα=（2cosα+1）（2cos2α-1），
由f′（α）>0，
-1
变式1若0
变式2设0
提示：把x视为主元，y视为常数.
评注利用导数证明三角不等式时，首先得考虑构造相关的函数，再在研究该函数的单调性的基础之上证得结论.顺便提一提，例3的变式2的常见证法是利用函数的凹凸性：若函数g（x）在区间a，b（a
此处，因为函数g（x）=sinx在（0，π）上具有上凸的特点，且0
2利用导数解决三角函数的周期性问题
例4函数f（x）=sin4x+cos2x的最小正周期是（）
A.π4B.π2C.πD.2π
解析f′（x）=4sin3xcosx-2cosxsinx=2sinxcosx（2sin2x-1），令f′（x）=0，解得sinx=0或cosx=0或sin2x=12.当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，f（x）=1；当cosx=0，即x=kπ+π2（k∈Z）时，f（x）=1；当sin2x=12，即x=π4+kπ2（k∈Z）时，f（x）=34，所以函数f（x）的最大值为1，由于相邻两个最高点之间的距离正好是一个最小正周期，因此函数f（x）的最小正周期T=π2，故应选B.
变式函数f（x）=sin6x+cos6x的最小正周期为.
（答案π2）
评注例4的变式的求解实际上涉及到如下结论：（1）若f（x）是定义在R上的非常值可导函数，其导函数f′（x）是以T为周期的连续函数，且f（T）=f（0），则f（x）也是以T为周期的函数；（2）若非常值周期函数f（x）在R上有定义且f′（x）是R上的连续函数，则f′（x）也为周期函数且与f（x）具有相同的周期.利用结论（1），可解决例4：f′（x）=2sinxcosx（2sin2x-1）=sin2x（-cos2x）=-12sin4x，所以f′（x）是以π2为周期的连续函数，又fπ2=f（0）=1，所以f（x）也是以π2为周期的函数.
3利用导数解决三角函数中的求值问题
例5若2sinα+cosα=-5，则tanα=.
解析根据asinα+bcosα=a2+b2sinα+β（a、b为常数，且ab≠0，tanβ=ba）可知，asinα+bcosα的最大值为a2+b2，最小值为-a2+b2，又注意到cosα+2sinα=-5中的系数特征，令f（x）=2sinx+cosx=5sinx+β，其中tanβ=12，则f（x）的最大值为5，最小值为-5.由2sinα+cosα=-5可知，f（α）=-5，f（x）在x=α处取得最小值，所以f′（α）=0.又因f′（x）=2cosx-sinx，故f′（α）=2cosα-sinα=0，所以tanα=sinαcosα=2，故应填2.
变式已知函数f（x）=3sinx+5cosx的定义域为0，π2，当x=α时，f（x）取得最大值34，则tanα的值为.
（答案35）.
评注本题是一道看似平凡但解法新颖别致的小题，利用导数求解的深刻思想方法值得推崇，但关键还是深切体会所学数学知识并融会贯通、善于联想.变式脱胎于例5，但更进一步的是把函数局限于一小段区间上，这需要解题者联想函数f（x）的图象特征，借助利用导数方法求函数在闭区间上最值的思路予以解决.
4利用导数解决三角函数的奇偶性问题
例6设函数f（x）=sin（ωx+），其中>0，则f（x）是偶函数的充分必要条件是（）
A.f（0）=0B.f（0）=1
C.f′（0）=1D.f′（0）=0
解析显然，f（x）的定义域为R.若函数f（x）是偶函数，则其导函数f′（x）为奇函数，必有f′（0）=0；反之，若f′（0）=0，因为f′（x）=ωcos（ωx+），所以f′（0）=ωcos=0，即cos=0，=kπ+π2（k∈Z），代入f（x）=sin（ωx+）可得f（x）=cosωx或f（x）=-cosωx，所以f（x）是偶函数.故应选D.
变式1若
f（x）=asinx+π4+bsinx-π4（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是.（写出你认为正确的一组数即可）
（答案a+b=0）
变式2已知函数f（x）=asin2x+bcos2x的图象关于直线x=-π8对称，则直线ax-by=0的倾斜角为.
（答案135°）
评注本题的解答涉及到的结论是：若函数y=f（x）是可导偶函数，则其导函数y=f′（x）是奇函数；若函数y=f（x）是可导奇函数，则其导函数y=f′（x）是偶函数.与之相应的结论还有：设f（x）为可导函数，若f′（x）为奇函数，则f（x）为偶函数；若f′（x）为偶函数，则当f（0）=0时，f（x）为奇函数，当f（0）≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
5利用导数解决三角函数的值域或最值问题
例7求函数f（x）=asinnx+bcosnx（a，b>0，x∈0，π2，n∈N*）的值域.
解析由题意，f′（x）=-nacosxsinn+1x+nbsinxcosn+1x=nbsinn+2x-nacosn+2xsinn+1xcosn+1x，令f′（x）=0，可得bsinn+2x-acosn+2x=0，所以tann+2x=ab，tanx=ab1n+2，记此方程的解为x0，由函数y=sinx和y=cosx在0，π2上的单调性可知，x0为函数f（x）唯一的极小值点，从而为最小值点.
由tanx0=ab1n+2，解得
sinx0=tanx01+tan2x0=ab1n+21+ab2n+212
=a1n+2a2n+2+b2n+212，cosx0=11+tan2x0
=11+ab2n+212=b1n+2a2n+2+b2n+212，则f（x）min=fx0=asinnx0+bcosnx0=a·a2n+2+b2n+2n2ann+2+b·a2n+2+b2n+2n2bnn+2=a2n+2+b2n+2n+22，故函数f（x）的值域为a2n+2+b2n+2n+22，+∞.
变式1当0<α<π2时，函数f（α）=（sinα-tanα）（cosα-cotα）的值域为.
（答案0，32-2）
变式2函数y=cosx+cosx+π3的最大值为.
（答案3）
评注利用导数解决三角函数的值域或最值问题时需注意两点：一是利用导数求三角函数的单调区间时不需要先对函数解析式进行三角恒等变形，而只要对函数直接求导，依据“在某区间上f′（x）>0（或f′（x）<0）恒成立，则f（x）在该区间上一定是增（或减）函数”这一结论；二是利用导数求三角函数的最值时，应利用“导数等于0时函数有可能取得极值，最大值一定在区间的端点或有可能取得极值处产生”这一结论.另外，本题亦可利用纯三角方法依如下步骤求解：①对于cosx+π3，按照和角余弦公式展开；②合并同类项；③对asinθ+bcosθ型式子进行化简；④写出函数值域.相比之下，导数方法对运算能力和化简变形技巧要求要低得多.
6利用导数解决与三角函数有关的参数范围求解问题
例8使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负实数a的取值范围是.
解析设f（x）=sin2x+acosx-cosx+a2-1，则f′（x）=2sinxcosx-asinx+sinx=sinx（2cosx-a+1），令f′（x）=0，得sinx=0或cosx=12（a-1）.
将sinx=0代入f（x）≥0，有a2+a-2≥0或a2-a≥0，注意到a<0，解之得a≤-2.又cosx=12（a-1）∈[-1，1]，即-1≤a≤3，
将cosx=12（a-1）代入f（x）≥0，有5a2-2a+1≥0，此式恒成立，故负实数a的取值范围为（-∞，-2].
评注本题亦可利用二次函数的相关知识来求解：因为sin2x+acosx+a2≥1+cosx，所以cos2x+（1-a）cosx-a2≤0，令t=cosx，则t∈[-1，1]，所以t2+（1-a）t-a2≤0对任意t∈[-1，1]恒成立.令g（t）=t2+（1-a）t-a2，由g（-1）≤0，
g（1）≤0，
a<0，解得a≤-2.
变式1若不等式
（x2+1）cosθ-x（cosθ-5）+3x2-x+1>sinθ-1对任意负实数x恒成立，求实数θ的取值范围.
（答案θ∈-3π4+2kπ，π4+2kπ（k∈Z））
变式2设x∈[0，π]，若方程cos2x+4asinx+a-2=0有两个不同的解，求实数a的取值范围.
（答案a的取值范围为aa=12或35
评注求解不等式或等式中参数的取值范围，常常是先分离变量，把原问题转化为求函数最值的问题，而导数在求函数最值时的工具性作用十分突出，这在例8及其变式中体现得尤为明显.
7利用导数解决三角函数中比较大小的问题
例9若0
C.2x=3sinx D.与x的取值有关
解析设f（x）=2x-3sinx，则f′（x）=2-3cosx，设x0∈0，π2是方程f′（x）=0的根，则由f′（x）=2-3cosx>0，
0
变式1若0
C.sinx<4π2x2 D.sinx>4π2x2
（答案D）
变式2已知函数f（x）=xsinx+cosx，x∈-π，π，试比较f-3与f2的大小.
（答案f（-3）
变式2与变式1都体现了用导函数的正负来反映函数在某区间上的单调性的重要作用，变式2还可以应用函数的奇偶性来实现比较大小的过渡.
8利用导数解决三角函数中的对称问题
例10已知函数y=sin2x+acos2x（a∈R）的图象的一条对称轴为x=-π8，求a的值.
解析因为x=-π8是函数y=sin2x+acos2x（a∈R）的图象的一条对称轴，所以该函数在x=-π8处取到最值，根据y=sin2x+acos2x的图象的光滑性可知，该函数也在x=-π8处取得极值，故函数在x=-π8处的导数值为0，因为y′=2cos2x-2asin2x，所以y′|x=-π8=2cos-π4-2asin-π4=0，解得a=-1.
变式1同例6的变式2
变式2设向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，23cosωx），函数f（x）=a·b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1，则ω的值为.
（答案56）
变式3若函数f（x）=3cos2x+的图象关于点4π3，0中心对称，那么的最小值为（ ）
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
（答案A）
评注变式2的求解涉及到如下结论：（1）函数y=sinωx+的对称轴是其导函数y′=ωcosωx+=0即cosωx+=0的根；（2）函数y=cosωx+的对称轴是其导函数y′=-ωsinωx+=0即sinωx+=0的根.
变式3的求解涉及到如下结论：（1）函数f（x）=sinωx+的对称中心的横坐标是函数f′（x）=ωcosωx+的极值点，也就是函数f′（x）=ωcosωx+的导函数f′（x）′=-ω2sinωx+=0即sinωx+=0的根，换句话说，函数f（x）=sinωx+的对称中心的横坐标是方程f′（x）′=0的根；（2）函数f（x）=cosωx+的对称中心的横坐标是函数f′（x）=-ωsinωx+的极值点，也就是函数f′（x）=-ωsinωx+的导函数f′（x）′=-ω2cosωx+=0即cos（ωx+）=0的根，换句话说，函数f（x）=cosωx+的对称中心的横坐标是方程[f′（x）]′=0的根.
9利用导数解决三角方程的根（或三角函数与x轴的交点或三角函数的零点）的个数问题
例11求证：方程x=12sinx只有一个根x=0.
解析令f（x）=x-12sinx（x∈R），则f′（x）=1-12cosx，因为-1≤cosx≤1，所以12≤f′（x）≤32，f（x）在R上单调递增，又f（0）=0，所以方程x-12sinx=0.即x=12sinx只有一个根x=0.
变式1函数f（x）=3x-2sinx在区间[-1，1]上的图象与x轴的交点的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
（答案B）
变式2函数f（x）=xsinx-32在区间（0，π）内的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（答案B）
评注解答例11及其变式这类题，常常会用到零点存在性定理，并结合函数的单调性，即可求出三角方程的根、三角函数与x轴的交点或三角函数的零点的个数.
