概念复习PK实战演练

2024.08.12

谢立平

摘 ?要：作为我国高等教育组成部分。自学考试倡导自学，鼓励自学，推动自学，为每一个自学者铺就成才之路。文章在此背景下研究概念复习PK实战演练，希望对后续研究有所帮助。

关键词：概念;复习;PK;实战演练

复习巩固是整个教学环节中最重要的一环。从一题多解中更能培养学生将所学知识进行系统归纳，从而清晰地了解各知识点的相互渗透与联系，将解决问题的方案进行比较归纳，选出最优方案，从而培养学习者多途径解决问题的能力，善于从中进行分析、归纳、总结出最优解，进而将解决数学问题的这种能力转为解决其生活、工作问题的能力。体会到：

①学会从不同角度出发，运用不同的解决方案;

②知识多了，方案多了，就可以进行比较选择，从而得到最好方案。

例如：解矩阵方程：2 11 2X=1 ?2-1 1，其中X为二阶方阵。

解法一：设矩阵X=x ? x x ? x ?，

由题设条件可得矩阵等式：2 11 2x ? x x ? x =1 ?2-1 1

即：2x +x ?2x +x x +2x ?x12+2x =1 ?2-1 1

由矩阵相等定义得2x +x =1x +2x =-1;2x +x =2x +2x =1

解这两个方程组可得x =1;x =-1;x =1;x =0

所以矩阵X= 1 ?1-1 0

解题时所涉及到的知识点（1）矩阵乘法;（2）矩阵相等。

对各种方法进行评点，将解题中所涉及的知识点进行罗列。这样可使学生所学的知识点渐渐清晰起来，就能正确选择方法解决问题。随着继续学习矩阵，当学过求矩阵的可逆矩阵后，又有两种方法解决此题。

分析：矩阵方程有两类：

第一类：矩阵方程AX=B的解为X=A-1B;

第二类：矩阵方程XA=B的解为X=BA-1

通过分析可知，先求出矩阵A的逆矩阵A-1，然后求得方程的解。

解法二：用伴随矩阵法求逆矩阵A-1

A=2 11 2=4-1=3

A =2;A =-1;A =-1;A =2

所以矩阵A的伴随矩阵A =A ?A A ?A =2 -1-1 2

矩阵A的逆矩阵A-1= = = ?- -

所以方程的解为X=A B= ?- - ? ?1 ?2-1 1=1 ?1-1 0

此解法所涉及的知识点：

（1）求矩阵A的伴随矩阵A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A

（2）矩阵A的逆矩阵A =

解法三：用初等行变换求逆矩阵A

分析：先回顾矩阵的初等交换：

（1）交换矩阵A的某两行（列）;

（2）用一个非零数k乘矩阵A的某一行（列）;

（3）把矩阵A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。

解：设A=2 11 2;B=1 ?2-1 1

（A，E2）=2 1 1 01 2 0 1 1 2 0 12 1 1 0

→1 2 0 11 2 0 1→1 2 ?0 ?10 1 -

→1 0 ? - 0 1 - ? =E，A

所以A = ?- -

验证：A A= ?- - ? 2 ?11 ?2=1 ?00 ?1

所以方程的解为X=A B= ?- - ? 1 ?2-1 1=1 ?1-1 0

[点评]解法二，解法三，都是先求出可逆矩阵A ，然后求出方程AX=B的解为X=A B。特别是解法三，它是另一种常用的求解方法。不过，此时，它们都必须做复杂的矩阵乘法运算。

为了简化求解过程，介绍解法四：对分块矩阵（A，B）作初等行变换来求解。

解法四：（A，B）=2 1 ?1 21 2 -1 1 1 2 -1 12 1 ?1 2

→1 2 -1 10 -3 3 0→1 2 -1 10 1 -1 0

→1 0 ?1 10 1 -1 0=E，X

所以X=1 ?1-1 0

[点评]最常见的矩阵方程有以下两类：

（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n*m矩阵，求出矩阵X，使X满足矩阵方程AX=B;通过解法四，用初等行变换把分块矩阵（A，B）化成（E，A-1B），即（A，B）（E，X），这种方法更便捷，且正确率更高。

（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m*n矩阵，求出矩阵X，使X满足矩阵方程XA=B，用初等行变换把分块矩阵A ，B ?E ，BA ?化成，即A ，B ?E ，BA ?，从而得到x =BA ?，这种方法更便捷，且正确率更高。

通过此题引导学生去思考，及时归纳这题中涉及到哪些知识点，站在一个出题者的角度，他想让你掌握的知识点有：①矩阵乘法;②矩阵相等;③求矩阵A的逆矩阵。其中求矩阵A的逆矩阵的方法又有：

a.A = ，A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A 简称伴随矩阵法;

b.分块法（A，E）（E，A ）简称初等变换法;

通过解法一，复习了知识点：

（1）矩阵乘法;

（2）矩阵相乘的条件;

（3）用克拉默法则求线性方程组的解;

（4）行列式的计算（展开法，对角法）。

通过解法二，求可逆矩阵A ，复习了知识点：

（1）行列式中元素的代数余子式;

（2）矩阵A的伴随矩阵A =A ?A ?… A A ?A ?… A A ?A ?… A ;

（3）A 与A 的关系式，即A = ?;

参考文献：

[1]陈荣基.浅谈线性代数复习课的教学策略[J].南方论刊，2004.