论数学证明的教育价值
赵思林??
【摘要】数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去断定另一命题的真实性的推理过程.数学证明的教育价值体现在：数学证明是理解数学知识特别是公式（定理）不可缺少的基本方法，是开发大脑的有效途径，可以激发许多人的学习兴趣，有利于培养中国国民的理性精神.
【关键词】数学；数学证明；教育价值
1引言
人类认识从低级到高级的形式依次是：感觉、知觉、表象；概念、判断、推理[1].前三种被称为感性认识，即认识的初级阶段；后三种被称为理性认识，即认识的高级阶段.依此推论，推理位于人类认识的最高层次.从数学的角度看，概念、判断、推理是数学逻辑思维的基本形式.因此，概念、判断、推理是数学的核心内容.数学逻辑推理一般分为三类，即归纳推理（从特殊到一般的推理）、类比推理（从特殊到特殊的推理）和演绎推理（从一般到特殊的推理）.数学证明属于演绎推理的范畴.从数学学习的角度看，数学证明的学习难度一般是比较大的，学生在解答一些数学证明题时更是感到困难重重.如，2010年高考数学四川卷文理科（19）题第（Ⅰ）问，直接考查教材中两角和的余弦公式的证明，全省考生完全答对的不到千分之一[2].又如，很多学生对平面几何证明感到困难，不知为什么要证明，也不知怎样去证明，对几何证明中的辅助线的添加（构造）更是感到无所是从.中国的中小学在全面实施新课改以后，由于初中数学明显降低了对证明的要求，从而导致学生到高中和大学对数学证明感到畏惧甚至是恐惧，正如单墫教授所说：“最糟糕的是很多学生初中毕业竟不知道什么是数学证明.”[3]黄秦安教授在分析“初中数学新课程标准存在结构性缺陷”时指出：“数学证明和推理是数学的灵魂之一.推理和证明的要求降低，具有显性和潜在的不良后果.”[4]这些现象应该引起大家对数学证明教学的反思和研究.
2数学证明的意义
最早的数学证明出现在欧几里德的《几何原本》.欧几里德的《几何原本》自诞生以来一直被公认为是演绎逻辑系统和公理化思想的典范，一直作为最经典的数学教科书，在西方国家的发行量仅次于《圣经》而排在第二位，它培育了一代又一代的思想家、哲学家、科学家、数学家等.数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去断定另一命题的真实性的推理过程.数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定义、定理、公式、性质等数学命题来论证某一命题的推理过程.数学证明的方法多种多样.按推理的形式不同可分为演绎证法（最典型的是三段论推理）与归纳证法（主要指完全归纳法）；按是否直接证明原命题可分为直接证法与间接证法（包括反证法、同一法）；按论证的思维形式不同可分为分析法与综合法；此外，还有数学归纳法、反驳法（说明某个命题不成立）等.数学证明的过程一般表现为一系列的推理.
数学证明处于数学理性思维的最高层次.如果说数学是追求理性精神的，那么数学就离不开数学证明.大家知道，古希腊数学家非常强调严密的逻辑推理，他们甚至在自己的门上写着“不懂几何者不得入内”，但他们并不关心经过数学逻辑推理而获得研究成果的实用性，而是教育人们学习和掌握严密的逻辑推理方法，从而，激发了人们对理想的追求和美的热爱，并创造了优美的文学、深邃的哲学、丰富的几何、精美的雕塑以及神奇的建筑.反观中国古代的数学，数学家们崇尚和追求数学的实用价值，其最大的缺点是缺少严格论证（数学证明）的思想.由于数学模型、数学思想、数学推理、数学方法等是建构近代科学宏伟大厦的脊梁，而中国人又长期保持了缺乏数学理性思维的惯性.因此，必然导致近代自然科学不会在中国产生.正如杨玉良院士所说：“严密的逻辑推理和论证是精密科学所必不可少的，没有演绎逻辑学就不可能诞生以牛顿力学为代表的精密的近代科学.”[5]“缺乏以严密的逻辑推理和论证为特征的数学哲学精神，是无法催生现代科学的.”[5]由此易知，严密的逻辑推理和论证对现代科学的建立和发展是极其重要的.
3数学证明的教育价值
数学证明是人类文明进程中产生的科学、简明的“说理”方式，同时也是数学中最为重要的一种思想方法，是数学教育独特思维训练价值的具体体现[6].关于数学证明的教育价值，一些学者已有不少研究.王申怀教授认为，“数学证明的教育价值在于：通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；通过证明，训练和培养学生的思维能力（包括逻辑的和非逻辑的思维）以及数学交流能力；通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识”[7].熊惠民等认为：“数学证明的教育价值应该体现在：从文化上，让学生体会数学的理性精神，懂得理性地思考问题；从知识上，证明能加深对概念和定理的理解，并能导致发现；从思维上，证明能训练和培养逻辑和非逻辑的思维能力.”[8]G·Polya也说：“如果他没有学会几何证明，他就没学到真实论据的最好和最简单的例子，也错过了获得严格推理概念的最好机会.”[8]罗增儒教授指出：“数学证明有3个主要作用：核实、理解和发现”、“证明是数学的特征，我们的数学教学要全面关注数学证明的3个作用.”[9]
研究者认为，数学证明的教育价值体现在：数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法，是开发大脑的有效途径，可以激发许多人学习数学的兴趣，有利于培养中国国民的理性精神.
3.1数学证明是理解数学知识特别是定理（公式、性质等）不可缺少的基本方法
理解数学是数学教学的核心目标.《辞海》对“理解”的定义是“了解、领会”，是通过解释事物之间的联系而认识新事物的过程.理解数学就是让学生明白“数学对象之间的联系是基于逻辑的联结”，理解数学是一个认知内化的过程.数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法.认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征.知识的理解与知识的表征密切相关.对数学公式（定理）的理解就是对这个数学公式（定理）的正确、完整、合理的表征.当学生对数学定理（公式）达到理性认识时才能说对这个公式（定理、性质等）理解了，也可以说，当学生弄懂弄清了公式（定理）的条件、结论、推论以及证明过程的每一步之后，才能说对此公式（定理）理解了.毛泽东在《实践论》中指出：“感觉到了的东西，我们不能立刻理解它，只有理解了的东西才更深刻地感觉它.感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题.”数学学习既需要对数学对象的感性认识，更需要对诸多数学对象（如定义、命题）之间的内在逻辑关系达到理性认识.比如，对于数学定义之间的逻辑关系，应弄清哪个定义是上位定义，哪个定义是下位定义，哪些定义具有等价关系；对于数学命题之间的逻辑关系，应弄清哪个结论是某个定理的推论或特例，哪些定理在逻辑上是等价的等，这些都离不开证明.数学证明是数学理论的重要组成部分，是数学严谨逻辑性的根本特征.学生对数学理论的学习，理所当然应理解数学基本公式和重要定理的证明过程，应掌握数学证明的基本方法，如综合法、分析法、反证法等，应认识数学证明的必要性，体会数学证明的理性价值.但非常遗憾的是，作为“数学中最精良的武器——反证法”（阿达玛语），在教学中形同虚设，中考是不考的，甚至据高考命题专家讲高考也不敢理直气壮的考，这可能是这轮课程改革的一大笑话和历史悲剧.
3.2数学证明是开发大脑的有效途径
高效的数学教学重视大脑的开发.着眼于大脑的开发，可着手于适当时机以及合适难度的演绎推理（数学证明）的训练.心理学研究发现，演绎推理中存在的各种认知偏向足以表明人类的推理的确具有非逻辑特性的一面[10].数学证明作为演绎推理的核心内容与基本方法，如果不通过长期的有效训练，“人类推理具有的非逻辑特性一面”恐怕是难以克服的.
皮亚杰关于人的智力发展阶段的理论认为，人的最高级的思维形式是形式运算，所谓形式运算，就是命题运算思维.皮亚杰通过大量的实验观察发现，12至15岁的人的智力已达到“形式运算阶段”的水平，这是和成人思维接近的、达到成熟的思维形式.Kwon和Lawson（2000）的一项研究发现，在青少年早期前额叶的成熟和科学推理能力相关，并且在15岁时表现出明显的飞跃[11].Kwon等认为，这种推理能力要求青少年具有抑制与任务无关信息的能力和显示与任务相关信息的能力[11].在青春期进行数学理性思维的教育、完善大脑与理性思维以及控制执行功能相关的皮层区域不仅是可能的，也是必要的，这为中学阶段的数学推理证明教学提供了脑科学依据[12].脑科学的研究成果表明，青少年在15岁（相当于中国初中二、三年级学生的年龄）时前额叶的成熟接近成人，因此，15岁左右是进行逻辑推理训练的良好时机（也可能是最佳时机）.心理学关于演绎推理的“双加工理论”表明，个体在完成演绎推理任务（规范三段论，条件推理）时，激活了包括左半球和右半球的广泛脑区，涉及枕叶、颞叶、顶叶和前额叶皮层[10].可见，演绎推理的训练可以激活“全脑思维”.脑科学研究发现，大脑皮层具有可塑性.大脑发育与认知发展是相互影响、相互促进的[12].这些理论表明，初中学生的思维已达到命题运算（形式运算）的水平，初中二、三年级学生和高中学生学习和掌握命题之间的关系、比较简单的逻辑推理规则、数学证明方法等是有脑科学研究成果作保障的.通过演绎推理的训练促进学生认知的发展，学生认知的发展又促进或加快大脑的发育和成熟，大脑的发育和成熟又为学生认知的发展提供了强大的硬件基础.因此，初中学生处于学习和训练数学证明的最佳时期.农民都知道播种季节的重要性，如果农作物错过了播种的黄金季节，那么无论怎么施肥补救，都难以改变减产甚至绝收的结果.学习和训练数学证明也是这个道理，错过初中阶段这一最佳学习时期，就会错失逻辑思维训练良机，降低思维发展水平，并对大脑的开发不利.
3.3数学证明可以激发许多人学习数学的兴趣
数学证明可以激发许多人学习数学的兴趣.这里只是说“许多人”而不是所有人（学生）.研究者认为，不可能也不需要激发所有人（学生）对数学证明的学习兴趣.关于数学证明可以激发学习兴趣有许多实例可以证明，下面介绍爱因斯坦、罗素、牛顿、菲尔兹奖获得者丘成桐等对几何证明感兴趣的故事.（1）爱因斯坦对几何证明的兴趣.爱因斯坦说：“在12岁时，……当我得到一本关于欧几里德平面几何的小书时所经历的，这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以至任何怀疑似乎都不可能，这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以想象的印象……如果我能依据一些其有效性在我看来是无容置疑的命题来加以证明，那么我就完全心满意足了……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就象希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了.”[13]爱因斯坦在12岁就接触和学习平面几何了，他认为他是在感受到逻辑体系的奇迹和逻辑推理的胜利后，才获得了为取得以后的成就所必需的信心的.（2）数学家、哲学家罗素学习欧氏几何到了入迷的程度.他说：“我在11岁的时候，开始学习欧几里德几何，并请我的哥哥教我、这是我一生中的大事，他使我像初恋一样入迷.我当时没有想到世界上还会有这样迷人的东西.”[14]（3）牛顿对欧氏几何的兴趣.年轻时的牛顿原本是一个厌学的学生，是从读了《原本》之后开始了他天才的思维，两年后他发明了微积分[15].（4）世界数学大师丘成桐教授在读小学时，数学常常考不好，对千篇一律的练习，感到枯燥乏味，直到13岁接触到平面几何，发现能用简单的公理来推导漂亮复杂的定理时，情况才有所改变，他随即尝试自己找出有趣的命题，利用公理加以证明，沉迷当中，其乐无穷[16].这些事例清楚地表明，爱因斯坦、罗素、牛顿、丘成桐等许多大数学家、大科学家，正是由于平面几何中的数学证明使他们感受到了逻辑的魅力与力量，激发了他们的好奇心和求知欲，才使他们一步步走上了数学研究或科学研究之路的.需要说明的是，数学证明不是平面几何的专利，而且也广泛地包含在中学代数（如多项式的恒等变换等）的内容中.
需要说明的是，数学证明由于本身具有能力要求高、学习难度大、证题费时多等问题，不少初中学生甚至连大学数学系的学生望数学证明题而生畏，这就造成数学证明因学习困难、题目难做，导致学生对数学学习的挫败感.可见，数学证明既有激发学习兴趣的一面，也有抑制学习兴趣的一面.这一事实是进行数学课程改革和数学教学改革必须正视的.研究者认为，数学证明的教学要求不能搞平均主义，对全体学生提出过高要求或过低要求都是不可取的.可以借用分层教学的理念，对数学证明的教学提出如下建议：让喜欢数学证明的学生多学一些数学证明，让不喜欢甚至讨厌数学证明的学生少学一些甚至学很少一点.
3.4数学证明有利于培养中国国民的理性精神
中国传统文化历来有重经验而轻理论的特点，其直接的结果是中国国民缺乏理性精神.突出量化和恪守逻辑是数学最根本的特点.数学是理性思维的有效方式，数学是培育理性精神的沃土，理性精神是数学贡献给人类极为宝贵的精神财富.所谓理性精神，就是用理性的思维方法去分析事物的特点、揭示现象的本质、证明命题的真假、探索问题的规律，其表现形式是反对愚昧与迷信、反对神秘论与不可知论，不迷信权威但坚信真理，不是人云亦云而是言必有据.理性精神的精髓是信奉真理、敢于批评、质疑反思，这也恰是创新人才应具备的品质.张乃达认为，理性精神的缺失是我国文化的痼疾，这对社会的发展已经造成了巨大的伤害[14].数学理性是一种对周围的事物客观的、定量的看法，一种人们有理有据地推理、论证的思维，一种不迷信权威，坚持真理的精神[17].1995年，Gila Hanna认为，证明是一种透明的辩论，其中所用到的论据、论证及推理过程，都清楚地展示给读者，任由人们公开批评.证明给学生发出了信号，他们能凭自己进行推理，不必向权威低头.因此，证明是反权威的[18].数学计算和证明并不是一系列简单的运算程序或逻辑程序，而是要受到运算法则和数学逻辑的严格控制，对就是对，错就是错.数学计算、演绎证明都不能靠主观愿望的想当然，而只能靠一步一步地推理与计算.通过数学证明的学习或训练，可以培养学生实事求是的科学态度、一丝不苟的严谨学风、言必有据的说理方式、崇尚真理的优秀品格、质疑反思的良好习惯.数学科学是一门老老实实的学问，也可以说，数学证明是一门求“真”的学问，这里的“真”包括逻辑规则的“真”、证明方法的“真”、证明过程的“真”、证明结果的“真”等.数学证明过程中的一切结论都必须有理有据，数学证明必须遵守逻辑、言必有据，数学只崇尚真理而不迷信权威等，数学证明的这些特点，可以促使学生养成诚实正直、思维严谨、敢于批判的优良作风.因此，从中国的传统文化特点和国情来看，适当加强数学证明的教育有利于培养中国国民的理性精神.
参考文献
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[2]赵思林.一道公式推导试题引发的争论与思考[J].数学通报，2011，50（9）：16-18.
[3]单墫.评2011年全国高中数学联赛试题[J].中等数学，2011，（12）：10-13.
[4]黄秦安.数学课程改革向何处去——关于基础教育数学课程与教学改革的调查报告[J].数学教育学报，2011，20（3）：12-16.
[5]杨玉良.也谈李约瑟之谜[J].（人大复印）科学技术哲学，2008，（12）：71-79.
[6]徐兆洋，宋乃庆.检视新一轮数学课程改革的论争[J].数学教育学报，2010，19（5）：17-20.
[7]王申怀.数学证明的教育价值[J].课程·教材·教法，2000，20（5）：24-26.
[8]熊惠民，虞莉娟.从数学证明的二重性看其教育价值[J].数学教育学报，2007，16（1）：17-20.
[9]罗增儒.数学证明的作用[J].中学数学教学参考，2001，（5）：25-27.
[10]张庆林，邱江.思维心理学[M].重庆：西南师范大学出版社，2007∶98，108.
[11]Kwon，Y.，﹠Lawson.A.E.Linking brain growth with the development of scientific reasoning ability and conceptual change during adolescence. Journal of Research in Science Teaching，2000，37（1）：44–62.
[12] 吴增生.3B教育理念下的数学高效课堂教学策略初探[J].数学教育学报，2011，20（1）：17–22.
[13]爱因斯坦.爱因斯坦文集（第1卷）[M].许良英，编译，北京：商务印书馆，1977∶570-578.
[14]张乃达.数学证明和理性精神——也谈数学证明的教育价值[J].中学数学，2003，（2）：1-4.
[15]史宁中，郭民.中学数学证明的教育价值——数学教育热点问题系列访谈之四[J].课程·教材·教法，2007，27（7）：23-27.
[16]邵红能.国际著名数学家丘成桐[J].中学数学教学参考（上旬），2010，（6）：66-67，71.
[17]赖晓丹.数学理性及其对现代数学教育的启示[J].（人大复印）初中数学教与学，2011，（3）：3-7.
[18]王林全.数学证明教学观念的现代发展[J].数学教育学报，1998，7，（1）：94-97.
【摘要】数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去断定另一命题的真实性的推理过程.数学证明的教育价值体现在：数学证明是理解数学知识特别是公式（定理）不可缺少的基本方法，是开发大脑的有效途径，可以激发许多人的学习兴趣，有利于培养中国国民的理性精神.
【关键词】数学；数学证明；教育价值
1引言
人类认识从低级到高级的形式依次是：感觉、知觉、表象；概念、判断、推理[1].前三种被称为感性认识，即认识的初级阶段；后三种被称为理性认识，即认识的高级阶段.依此推论，推理位于人类认识的最高层次.从数学的角度看，概念、判断、推理是数学逻辑思维的基本形式.因此，概念、判断、推理是数学的核心内容.数学逻辑推理一般分为三类，即归纳推理（从特殊到一般的推理）、类比推理（从特殊到特殊的推理）和演绎推理（从一般到特殊的推理）.数学证明属于演绎推理的范畴.从数学学习的角度看，数学证明的学习难度一般是比较大的，学生在解答一些数学证明题时更是感到困难重重.如，2010年高考数学四川卷文理科（19）题第（Ⅰ）问，直接考查教材中两角和的余弦公式的证明，全省考生完全答对的不到千分之一[2].又如，很多学生对平面几何证明感到困难，不知为什么要证明，也不知怎样去证明，对几何证明中的辅助线的添加（构造）更是感到无所是从.中国的中小学在全面实施新课改以后，由于初中数学明显降低了对证明的要求，从而导致学生到高中和大学对数学证明感到畏惧甚至是恐惧，正如单墫教授所说：“最糟糕的是很多学生初中毕业竟不知道什么是数学证明.”[3]黄秦安教授在分析“初中数学新课程标准存在结构性缺陷”时指出：“数学证明和推理是数学的灵魂之一.推理和证明的要求降低，具有显性和潜在的不良后果.”[4]这些现象应该引起大家对数学证明教学的反思和研究.
2数学证明的意义
最早的数学证明出现在欧几里德的《几何原本》.欧几里德的《几何原本》自诞生以来一直被公认为是演绎逻辑系统和公理化思想的典范，一直作为最经典的数学教科书，在西方国家的发行量仅次于《圣经》而排在第二位，它培育了一代又一代的思想家、哲学家、科学家、数学家等.数学证明是指根据某个或某些真实命题和概念去断定另一命题的真实性的推理过程.数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定义、定理、公式、性质等数学命题来论证某一命题的推理过程.数学证明的方法多种多样.按推理的形式不同可分为演绎证法（最典型的是三段论推理）与归纳证法（主要指完全归纳法）；按是否直接证明原命题可分为直接证法与间接证法（包括反证法、同一法）；按论证的思维形式不同可分为分析法与综合法；此外，还有数学归纳法、反驳法（说明某个命题不成立）等.数学证明的过程一般表现为一系列的推理.
数学证明处于数学理性思维的最高层次.如果说数学是追求理性精神的，那么数学就离不开数学证明.大家知道，古希腊数学家非常强调严密的逻辑推理，他们甚至在自己的门上写着“不懂几何者不得入内”，但他们并不关心经过数学逻辑推理而获得研究成果的实用性，而是教育人们学习和掌握严密的逻辑推理方法，从而，激发了人们对理想的追求和美的热爱，并创造了优美的文学、深邃的哲学、丰富的几何、精美的雕塑以及神奇的建筑.反观中国古代的数学，数学家们崇尚和追求数学的实用价值，其最大的缺点是缺少严格论证（数学证明）的思想.由于数学模型、数学思想、数学推理、数学方法等是建构近代科学宏伟大厦的脊梁，而中国人又长期保持了缺乏数学理性思维的惯性.因此，必然导致近代自然科学不会在中国产生.正如杨玉良院士所说：“严密的逻辑推理和论证是精密科学所必不可少的，没有演绎逻辑学就不可能诞生以牛顿力学为代表的精密的近代科学.”[5]“缺乏以严密的逻辑推理和论证为特征的数学哲学精神，是无法催生现代科学的.”[5]由此易知，严密的逻辑推理和论证对现代科学的建立和发展是极其重要的.
3数学证明的教育价值
数学证明是人类文明进程中产生的科学、简明的“说理”方式，同时也是数学中最为重要的一种思想方法，是数学教育独特思维训练价值的具体体现[6].关于数学证明的教育价值，一些学者已有不少研究.王申怀教授认为，“数学证明的教育价值在于：通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；通过证明，训练和培养学生的思维能力（包括逻辑的和非逻辑的思维）以及数学交流能力；通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识”[7].熊惠民等认为：“数学证明的教育价值应该体现在：从文化上，让学生体会数学的理性精神，懂得理性地思考问题；从知识上，证明能加深对概念和定理的理解，并能导致发现；从思维上，证明能训练和培养逻辑和非逻辑的思维能力.”[8]G·Polya也说：“如果他没有学会几何证明，他就没学到真实论据的最好和最简单的例子，也错过了获得严格推理概念的最好机会.”[8]罗增儒教授指出：“数学证明有3个主要作用：核实、理解和发现”、“证明是数学的特征，我们的数学教学要全面关注数学证明的3个作用.”[9]
研究者认为，数学证明的教育价值体现在：数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法，是开发大脑的有效途径，可以激发许多人学习数学的兴趣，有利于培养中国国民的理性精神.
3.1数学证明是理解数学知识特别是定理（公式、性质等）不可缺少的基本方法
理解数学是数学教学的核心目标.《辞海》对“理解”的定义是“了解、领会”，是通过解释事物之间的联系而认识新事物的过程.理解数学就是让学生明白“数学对象之间的联系是基于逻辑的联结”，理解数学是一个认知内化的过程.数学证明是理解数学知识特别是公式（定理、性质等）不可缺少的基本方法.认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征.知识的理解与知识的表征密切相关.对数学公式（定理）的理解就是对这个数学公式（定理）的正确、完整、合理的表征.当学生对数学定理（公式）达到理性认识时才能说对这个公式（定理、性质等）理解了，也可以说，当学生弄懂弄清了公式（定理）的条件、结论、推论以及证明过程的每一步之后，才能说对此公式（定理）理解了.毛泽东在《实践论》中指出：“感觉到了的东西，我们不能立刻理解它，只有理解了的东西才更深刻地感觉它.感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题.”数学学习既需要对数学对象的感性认识，更需要对诸多数学对象（如定义、命题）之间的内在逻辑关系达到理性认识.比如，对于数学定义之间的逻辑关系，应弄清哪个定义是上位定义，哪个定义是下位定义，哪些定义具有等价关系；对于数学命题之间的逻辑关系，应弄清哪个结论是某个定理的推论或特例，哪些定理在逻辑上是等价的等，这些都离不开证明.数学证明是数学理论的重要组成部分，是数学严谨逻辑性的根本特征.学生对数学理论的学习，理所当然应理解数学基本公式和重要定理的证明过程，应掌握数学证明的基本方法，如综合法、分析法、反证法等，应认识数学证明的必要性，体会数学证明的理性价值.但非常遗憾的是，作为“数学中最精良的武器——反证法”（阿达玛语），在教学中形同虚设，中考是不考的，甚至据高考命题专家讲高考也不敢理直气壮的考，这可能是这轮课程改革的一大笑话和历史悲剧.
3.2数学证明是开发大脑的有效途径
高效的数学教学重视大脑的开发.着眼于大脑的开发，可着手于适当时机以及合适难度的演绎推理（数学证明）的训练.心理学研究发现，演绎推理中存在的各种认知偏向足以表明人类的推理的确具有非逻辑特性的一面[10].数学证明作为演绎推理的核心内容与基本方法，如果不通过长期的有效训练，“人类推理具有的非逻辑特性一面”恐怕是难以克服的.
皮亚杰关于人的智力发展阶段的理论认为，人的最高级的思维形式是形式运算，所谓形式运算，就是命题运算思维.皮亚杰通过大量的实验观察发现，12至15岁的人的智力已达到“形式运算阶段”的水平，这是和成人思维接近的、达到成熟的思维形式.Kwon和Lawson（2000）的一项研究发现，在青少年早期前额叶的成熟和科学推理能力相关，并且在15岁时表现出明显的飞跃[11].Kwon等认为，这种推理能力要求青少年具有抑制与任务无关信息的能力和显示与任务相关信息的能力[11].在青春期进行数学理性思维的教育、完善大脑与理性思维以及控制执行功能相关的皮层区域不仅是可能的，也是必要的，这为中学阶段的数学推理证明教学提供了脑科学依据[12].脑科学的研究成果表明，青少年在15岁（相当于中国初中二、三年级学生的年龄）时前额叶的成熟接近成人，因此，15岁左右是进行逻辑推理训练的良好时机（也可能是最佳时机）.心理学关于演绎推理的“双加工理论”表明，个体在完成演绎推理任务（规范三段论，条件推理）时，激活了包括左半球和右半球的广泛脑区，涉及枕叶、颞叶、顶叶和前额叶皮层[10].可见，演绎推理的训练可以激活“全脑思维”.脑科学研究发现，大脑皮层具有可塑性.大脑发育与认知发展是相互影响、相互促进的[12].这些理论表明，初中学生的思维已达到命题运算（形式运算）的水平，初中二、三年级学生和高中学生学习和掌握命题之间的关系、比较简单的逻辑推理规则、数学证明方法等是有脑科学研究成果作保障的.通过演绎推理的训练促进学生认知的发展，学生认知的发展又促进或加快大脑的发育和成熟，大脑的发育和成熟又为学生认知的发展提供了强大的硬件基础.因此，初中学生处于学习和训练数学证明的最佳时期.农民都知道播种季节的重要性，如果农作物错过了播种的黄金季节，那么无论怎么施肥补救，都难以改变减产甚至绝收的结果.学习和训练数学证明也是这个道理，错过初中阶段这一最佳学习时期，就会错失逻辑思维训练良机，降低思维发展水平，并对大脑的开发不利.
3.3数学证明可以激发许多人学习数学的兴趣
数学证明可以激发许多人学习数学的兴趣.这里只是说“许多人”而不是所有人（学生）.研究者认为，不可能也不需要激发所有人（学生）对数学证明的学习兴趣.关于数学证明可以激发学习兴趣有许多实例可以证明，下面介绍爱因斯坦、罗素、牛顿、菲尔兹奖获得者丘成桐等对几何证明感兴趣的故事.（1）爱因斯坦对几何证明的兴趣.爱因斯坦说：“在12岁时，……当我得到一本关于欧几里德平面几何的小书时所经历的，这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以至任何怀疑似乎都不可能，这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以想象的印象……如果我能依据一些其有效性在我看来是无容置疑的命题来加以证明，那么我就完全心满意足了……对于第一次经验到它的人来说，在纯粹思维中竟能达到如此可靠而又纯粹的程度，就象希腊人在几何学中第一次告诉我们的那样，是足够令人惊讶的了.”[13]爱因斯坦在12岁就接触和学习平面几何了，他认为他是在感受到逻辑体系的奇迹和逻辑推理的胜利后，才获得了为取得以后的成就所必需的信心的.（2）数学家、哲学家罗素学习欧氏几何到了入迷的程度.他说：“我在11岁的时候，开始学习欧几里德几何，并请我的哥哥教我、这是我一生中的大事，他使我像初恋一样入迷.我当时没有想到世界上还会有这样迷人的东西.”[14]（3）牛顿对欧氏几何的兴趣.年轻时的牛顿原本是一个厌学的学生，是从读了《原本》之后开始了他天才的思维，两年后他发明了微积分[15].（4）世界数学大师丘成桐教授在读小学时，数学常常考不好，对千篇一律的练习，感到枯燥乏味，直到13岁接触到平面几何，发现能用简单的公理来推导漂亮复杂的定理时，情况才有所改变，他随即尝试自己找出有趣的命题，利用公理加以证明，沉迷当中，其乐无穷[16].这些事例清楚地表明，爱因斯坦、罗素、牛顿、丘成桐等许多大数学家、大科学家，正是由于平面几何中的数学证明使他们感受到了逻辑的魅力与力量，激发了他们的好奇心和求知欲，才使他们一步步走上了数学研究或科学研究之路的.需要说明的是，数学证明不是平面几何的专利，而且也广泛地包含在中学代数（如多项式的恒等变换等）的内容中.
需要说明的是，数学证明由于本身具有能力要求高、学习难度大、证题费时多等问题，不少初中学生甚至连大学数学系的学生望数学证明题而生畏，这就造成数学证明因学习困难、题目难做，导致学生对数学学习的挫败感.可见，数学证明既有激发学习兴趣的一面，也有抑制学习兴趣的一面.这一事实是进行数学课程改革和数学教学改革必须正视的.研究者认为，数学证明的教学要求不能搞平均主义，对全体学生提出过高要求或过低要求都是不可取的.可以借用分层教学的理念，对数学证明的教学提出如下建议：让喜欢数学证明的学生多学一些数学证明，让不喜欢甚至讨厌数学证明的学生少学一些甚至学很少一点.
3.4数学证明有利于培养中国国民的理性精神
中国传统文化历来有重经验而轻理论的特点，其直接的结果是中国国民缺乏理性精神.突出量化和恪守逻辑是数学最根本的特点.数学是理性思维的有效方式，数学是培育理性精神的沃土，理性精神是数学贡献给人类极为宝贵的精神财富.所谓理性精神，就是用理性的思维方法去分析事物的特点、揭示现象的本质、证明命题的真假、探索问题的规律，其表现形式是反对愚昧与迷信、反对神秘论与不可知论，不迷信权威但坚信真理，不是人云亦云而是言必有据.理性精神的精髓是信奉真理、敢于批评、质疑反思，这也恰是创新人才应具备的品质.张乃达认为，理性精神的缺失是我国文化的痼疾，这对社会的发展已经造成了巨大的伤害[14].数学理性是一种对周围的事物客观的、定量的看法，一种人们有理有据地推理、论证的思维，一种不迷信权威，坚持真理的精神[17].1995年，Gila Hanna认为，证明是一种透明的辩论，其中所用到的论据、论证及推理过程，都清楚地展示给读者，任由人们公开批评.证明给学生发出了信号，他们能凭自己进行推理，不必向权威低头.因此，证明是反权威的[18].数学计算和证明并不是一系列简单的运算程序或逻辑程序，而是要受到运算法则和数学逻辑的严格控制，对就是对，错就是错.数学计算、演绎证明都不能靠主观愿望的想当然，而只能靠一步一步地推理与计算.通过数学证明的学习或训练，可以培养学生实事求是的科学态度、一丝不苟的严谨学风、言必有据的说理方式、崇尚真理的优秀品格、质疑反思的良好习惯.数学科学是一门老老实实的学问，也可以说，数学证明是一门求“真”的学问，这里的“真”包括逻辑规则的“真”、证明方法的“真”、证明过程的“真”、证明结果的“真”等.数学证明过程中的一切结论都必须有理有据，数学证明必须遵守逻辑、言必有据，数学只崇尚真理而不迷信权威等，数学证明的这些特点，可以促使学生养成诚实正直、思维严谨、敢于批判的优良作风.因此，从中国的传统文化特点和国情来看，适当加强数学证明的教育有利于培养中国国民的理性精神.
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