解决函数客观压轴题的良策

    杜言言

    

    

    [摘???要]探讨函数客观压轴题的解题策略，以帮助学生领会函数压轴题的背景、解法、立意等内涵，掌握函数压轴题的思想方法与技巧，从而有效突破难点.

    [关键词]函数;压轴题;性质;结论

    [中图分类号]????G633.6????????[文献标识码]????A????????[文章编号]????1674-6058（2019）35-0023-02

    在高考数学命题中，函数压轴题往往以客观题的形式出现，正因为是压轴题，其难度不言而喻.数学解题，必须讲究方法.方法得当，事半功倍.?那么解决函数客观压轴题有何良策呢？

    一、善用性质，合理转化

    善于利用函数性质合理转化是解决函数问题的关键，例如可将函数的单调性转化为不等关系，函数的奇偶性转化为恒等式，而对于函数的对称性，可从函数f?（x）满足f?（a+x）=?f?（b-x），得到其图像的对称轴x=?[a+b2];而从函数f?（x）满足f?（a+x）+f?（b-x）=c，可得到其图像的对称中心是[a+b2，c2].

    [例1]若函数y=f?（x）的定义域为R，并且满足条件[fx+32=-f（x）]，又知函数[y=fx-34]是奇函数，则给出下面四个命题，其中是真命题的序号为___________.

    ①函数f?（x）是以3为周期的周期函数;?②函数f?（x）的图像的对称中心是[-34，0];③函数f?（x）在定义域R上是偶函数;④函数f?（x）在定义域R上单调.

    解析：因为f?（x+3）=f?[x+32+32]?=-[fx+32]?=f?（x），所以函数f?（x）是周期函数，且它的周期为3，故①正确;因为函数[fx-34]是奇函数，它的图像的对称中心为[0，0]，所以f?（x）图像的对称中心是[-34?，0]，故②正确;由于f?（x）图像的对称中心是[-34，0]，-[34=-x+-32+x2]，故f?[-x=]-f?[-32+x]?，又[f-32+x]=[-f-32+x+32=-fx]，所以f?[-x]=f?[x]，故③正确;因为f?（x）在R上是偶函数，所以它不可能单调，故④错误.于是可得真命题的序号为①②③.

    二、妙用结论，如虎添翼

    给出最值函数的定义：若a，b?[∈R]，则min[a，b]=[a，a≤bb，ba].对于某些最值问题，巧妙运用性质“（1）?min[a，b≤a+b2≤maxa，b]?”和“（2）[mina，b≤]?[ab≤maxa，b]（a>0，b>0）”，可让解题如虎添翼，快速获解.

    [例2]设max?[a，b]?=?[a，a≥bb，b>a]，若向量a，[b]，[c]满足?|[a]|=1，|[b]|=2，[a]·[b]=0，[c]=λ[a]+μ[b]?（λ，μ都是非负数，且[λ]+[μ=1]），则当max?[c·a，c·b]取最小值时，|[c]|=（）.

    A.?[255]??????????????B.??[223]???????????C.?1 ? D.?[52]

    解析：如圖1，设[OA=a]，[OB=b]，?则a=?[1，0?，b=0，2]，[∴λ≥0，μ≥]0，[λ+μ=1，∴0≤λ≤1].又[c=λa+μb]，[∴c·a=（λa+b-λb）·a=λ];[c·b=（λa+b-λb）·b=4-4λ].由[λ=4-4λ]，得[λ=45]?.

    [∴maxc·a，c·b]=[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45.]令[fλ]?=[λ，45≤λ≤1，4-4λ，0≤λ<45?，]则?[fλ]?[∈?][45，4?].?∴[fλ][min]=?[45]，此时?[λ=45]，[μ]=?[15]，?[∴]c?=[45]a+[15]b=[45，25]，∴|?c?|=[452+252]=[255].??选A.

    三、合理拆分，参变分离

    若一个方程或不等式由几个基本初等函数组成，当整体处理有困难或难度较大时，可尝试采用拆分函数的方法去解决.实际上，参变分离是拆分函数的一种特殊情况，参变分离较多运用在带参数的二次方程或不等式中，而拆分函数则有更大的运用范围.

    [例3]已知函数f?[x]=xlnx?-?ae[x]?（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是?????????????.

    解析：由题易知?f?[′][x]=1+lnx?-?ae[x]，令f?[′][x]?=0，得a=[1+lnxex]，函数f?（x）有两个极值点，则需f′（x）=0有两个实数根，等价于a=[1+lnxex]有两个实数根，等价于直线y=a与y=[1+lnxex]的图像有两个交点.令g（x）=[1+lnxex]，则g′（x）=[1x-1-lnxex]，令h（x）=[1x]-1-ln?x（x>0），得h（x）在（0，+∞）上为减函数，且h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，h（x）>0，故g′（x）>0，g（x）为增函数;当x∈（1，+∞）时，h（x）<0，故g′（x）<0，g（x）为减函数，所以????g（x）max=g（1）=?[1e]，又当x?→?+∞时，???g（x）→0，所以g（x）的图像如图2所示，故0?

    评注：将原函数拆分为两个函数，一静一動，在动态变化中，可找到参数的取值范围，这种解法离不开函数图像.

    四、构造函数，修桥筑路

    构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想.构造函数的主要步骤：

    （1）分析：分析已知条件，联想函数模型;（2）构造：构造辅助函数，转化问题本质;（3）回归：解析所构函数，回归所求问题.在客观题中，主要用于比较两式大小和解不等式.

    [例4]已知定义在R上的可导函数f?[x]的导函数为[f???′x]，满足[f???′x]?

    解析：∵f?（x+2）为偶函数，∴f?（x+2）的图像关于x=0对称，∴[fx]的图像关于x=2对称，∴f?（4）=?f?（0）=1.

    设g?[x]?=?[fxex]（x∈R），则[g′x]?=?[f?′xex-fxexex2=f?′x-fxex]，又∵[f?′x<][fx]，∴[g′x]?

    ∵[fx<][ex][？]?g?[x]?=?[fxex]?<1，而g[0]?=?[f0e0]?=1，

    ∴[fx<][ex][？]g?[x]0.

    所以原不等式的解集是[x|x>0].

    评注：在解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，可设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，从而找到科学的解题途径.

    [??参???考???文???献??]

    [1]??顾德成，徐小琴.一道高考函数压轴题的多角度分析[J].数学教学通讯，2019（9）：80-82.

    [2]??石礼标.一类高考压轴题的本质探源：高观点探究函数不等式问题[J].高中数学教与学，2018（9）：36-38.

    （特约编辑???安???平）