应用判别式法求值域的常见错误分析

2024.07.29

马瑞宁

[摘???要]求函数值域是学习函数必须掌握的技能，分析学生求值域时常出现的错误，能帮助学生准确、合理地使用判别式法，提高学生的解题能力.

[关键词]函数;值域;错误

[中图分类号]????G633.6????????[文献标识码]????A????????[文章编号]????1674-6058（2019）35-0017-02

对于形如[fx=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2a1，a2不同时为0]的二次分式函数，我们通常使用判别式法来求值域.

判别式法的理论依据是函数的定义.具体来说就是根据函数的定义，任何一个函数的定义域应该是非空数集，故将原函数看成是关于自变量[x]的方程时，该方程应有实数解，据此求出函数值[y]的取值范围，即原函数的值域.使用判别式法要特别注意函数本身的特点及相关条件，否则很容易出现错误.本文通过举例阐述应用判别式法求值域常出现的几类错误.

易错点1：忽略二次项系数为零

[例1]求函数[y=2x2-8x+3x2-4x+5]的值域.

错解：将原函数整理得[yx2-4x+5=2x2-8x+3]，

即[y-2x2-4y-2x+5y-3=0]，????①

由[Δ≥0]得

[-4y-22-4y-25y-3≥0]，????②

即[y-2y+5≤0]，解得[-5≤y≤2]，故值域為[-5，2]?.

显然该解法有误，比如取[y=2]时，原函数化简得10=3，显然不成立.问题出在哪里呢？

这里需注意，方程①不一定是二次方程，因此不一定有②式，即②式存在的前提条件是二次项系数[y-2≠0]，即[y≠2].因此，当二次项系数有可能取到0时，一定要分类讨论.

正解：将原函数整理得[yx2-4x+5=2x2-8x+3]，

即[y-2x2-4y-2x+5y-3=0]?，???①

当[y-2=0]即[y=2]时，得[y=35]，舍去.

当[y-2≠0]即[y≠2]时，由[Δ≥0]得[-4y-22-4y-25y-3≥0]?，????②

即[y-2y+5≤0]，解得[-5≤y<2].

综上所述，值域为[-5，2]?.

易错点2：分子、分母有公因式时，直接约分

[例2]求函数[y=x2-2x-3x2-1]的值域.

错解：由[x2-1≠0]得[x≠±1]，故定义域为[xx≠±1].

因为[y=x2-2x-3x2-1=x+1x-3x+1x-1=]

[x-3x-1=x-1-2x-1=1-2x-1]，

由[2x-1≠0]得[y≠1]，故值域为[yy≠1].

该解法有误的原因是定义域在解题的过程中明显扩大，从而导致结果含有增根.因此，当分式函数分子、分母约分时，一定要等价转化.

正解一：由[x2-1≠0]得[x≠±1]?，

因为[y=x2-2x-3x2-1=x+1x-3x+1x-1]，

当[x≠-1]时，[y=x-3x-1=1-2x-1]，所以[y≠1].

当[x=-1]时，[y=x-3x-1=-1-3-1-1=2]，由函数的定义域为[xx≠±1]得[y≠2].综上，值域为[yy≠1且y≠2].

对于分子、分母可约分化简的函数，有很多文章都是用[Δ=0]来排除增根的，其理论依据可通过以下解法来分析.

正解二：原函数可化为

[x+1x-1y=x+1x-3，x+1x-1≠0，]????③

即[y-1x2+2x+3-y=0?，x≠-1且x≠1，]???????④

当[y=1]时，[x=-1]，不符合题意，舍去.

当[y≠1]时，因为[x=-1]恒为③中方程[x+1x-1y=x+1x-3]的解，而[x=-1]不符合④式.因此，方程[x+1x-1y=x+1x-3]，即[y-1x2+2x+3-y=0]还需要有另外一个不同于-1的根，所以，只需[Δ>0]?.

由[Δ>0]得[4-4y-13-y>0]，整理得[y-22>0]，所以[y≠2]?.综上，值域为[yy≠1且y≠2?].

通过这种解法，我们可发现，方程若出现增根，那增根必定出现在[Δ=0]处.因此，解决这类问题，我们可以先利用[Δ≥0]求出[y]的取值范围，再检验[Δ=0]时的情况，若不符合题意就舍去，以确保不产生增根.

正解三：由[x2-1≠0]得[x≠±1]，原函数可化为[y-1x2+2x+3-y=0]，

当[y=1]时，[x=-1]，不符合题意，舍去.

当[y≠1]时，由[Δ≥0]得[4-4y-13-y≥0]，即[y-22≥0]，解得[y∈R].

经检验，当[Δ=0]时，[y=2]，此时[y-1x2+2x+3-y=0]的根为[x1=x2=-1]，由[x≠-1]可知，[y≠2]，

故值域为[yy≠1且y≠2]?.

易错点3.?忽略定义域有限制

[例3]求函数[y=x2-x+1x2+x+1x>0]的值域.

错解：将原函数整理得[yx2+x+1=x2-x+1]，

即[y-1x2+y+1x+y-1=0]?.

当[y=1]时，得[x=0]，不合题意，舍去.

当[y≠1]时，由[Δ≥0]得[y+12-4y-12≥0]，解得[13≤y≤3且y≠1].所以，值域为[13，1？1，3]?.

该解法错在当[y≠1]时，没有考虑[x>0]的限制，将方程在[x>0]内有解扩大到[x∈R]内有解.

正解：将原函数整理得[yx2+x+1=x2-x+1]，即[y-1x2+y+1x+y-1=0].

当[y=1]时，得[x=0]，不合题意，舍去.

当[y≠1]时，由[Δ≥0?，x1+x2>0?，x1x2>0?，]得[y+12-4y-1≥0?，-y+1y-1>0?，y-1y-1>0?，]

解得[13≤y<1].

总之，要用判别式法求二次分式函数的值域，一定要注意从函数到方程的转化是否是同解变形.在解题的过程中只要注意到本文中的三个易错点，就可以做到准确、合理地使用判别式法求函数的值域.

下面附几道相关的练习：

（1）求函数[y=x2-2x+1x2+x+1]的值域.（答案：[y∈0，4]）

（2）求函数[y=2x2-8x+3x2-4x+5]的值域.[答案：[y∈-5，2]]

（3）求函数[y=x2-2x+1x2+x-2]的值域.（答案：[yy≠0且y≠1]）

（4）求函数[y=x2+x-1x2+x-6]的值域.?[答案：yy>1或y≤18]

（责任编辑黄桂坚）