借助绕定点旋转分析巧解题

    周桂群

    

    

    [摘? ?要]将静态问题放置到旋转运动中加以分析，有利于从运动的角度对问题进行全方位的探究.灵活运用这种将静态问题动态化的分析思想，有助于迅速解决问题.

    [关键词]定点;旋转;解题

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2019）35-0013-02

    求解某些数学问题时，可灵活运用“绕定点旋转分析”的技巧.该技巧是指将静态问题放置到涉及动直线绕定点旋转的动态中进行分析.这样处理的优点是有利于从运动变换的角度对问题进行全方位的认识、探究.借助这种将静态问题动态化的分析思想，可帮助我们迅速分析、解决问题.

    类型一：求参数的取值范围问题

    处理简单线性规划中“根据含有参数的线性目标函数的最优解唯一，求参数的取值范围”这类问题时，可灵活借助动直线绕定点旋转分析技巧，构建不等式，迅速求解.

    [例1]已知实数[x，y]满足不等式组[x-y-2≤0 ，x+2y-5≥0 ，y-2≤0 ，]若目标函数[x=mx+y]当且仅当[x=3]，[y=1]时取得最小值，则实数[m]的取值范围是 .

    分析：将[z]看作“常量”，则由于动直线[y=-mx+z]的斜率是一个变量，所以需要结合图形，根据动直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系，构建关于实数[m]的不等式，从而顺利求解目标问题.

    解：如图1所示，先画出不等式组表示的可行域，由于可求得图中点[A]的坐标为[（3，1）]，所以根据题意需要让动直线[y=-mx+z]（将[z]看作常量）绕着定点[A]旋转，易知实数[m]应满足不等式[kAC<-m

    又可求得[kAC=-12，kAB=1]，所以有[-12<-m<1]，化简得[-1

    评注：求解此类问题的关键是画可行区域，旋转动直线，准确构建不等式.构建不等式时，一定要注意不等式的表示形式（是二者之间，还是两旁）以及不等式中有无等号.

    类型二：求“斜率型”最值问题

    根据[x，y]满足的二元一次不等式组，求“斜率型”目标函数[z=y-bx-a]的最值的关键点是：①画可行域——根据题设二元一次不等式组，可画出两个变量[x，y]满足的可行域;②明确意义——[z=y-bx-a]表示定点[（a，b）]与可行域内的动点[（x，y）]所在直线的斜率.

    [例2]若[x，y]满足约束条件[y≤2x+1 ，x≤2 ，y≥-3x+2 ，]则[z=x+2y+11x+1]的最大值是____________.

    分析：本题需要先对目标式做分离常数变形，转化为具体的“斜率型”最值问题;然后画可行域，根据相关解析几何知识加以求解.

    解：因为[z=x+2y+11x+1=1+2×y+5x+1]，所以令[z'=y+5x+1]，则有[z=1+2z'].

    根据约束条件，可行域为如图2所示的阴影部分的[△ABC]， 由[y=2x+1 ，y=-3x+2 ，]解得[x=15 ，y=75 ，]所以点B的坐标为[15 ，75] .因为[z'=y+5x+1]表示可行域内的动点[（x，y）]与定点[P（-1，-5）]所在直线的斜率，所以让动直线绕着定点[P]旋转，易知点[B]与定点[P（-1，-5）]连线的斜率最大.

    于是，[z']的最大值为[75+515+1=163] .故所求[zmax=1+2×163=353].

    评注：求解本题需要关注三点.一是对目标式[z=x+2y+11x+1]实施分离常数变形;二是充分利用代数式[y+5x+1]的几何意义;三是灵活运用动直线绕定点旋转分析技巧.

    类型三：求直线与圆的综合问题

    处理直线与圆的综合问题时，如果直线经过一个定点，那么可以让该直线绕着定点进行旋转，有利于结合图形的动态变化去把握变化规律，以便顺利求解目标问题.

    [例3]已知边长为2的正方形[ABCD]的对角线[AC，BD]相交于点[O]，动点[P]满足[OP=1]，且[AP=mAB+nAD]，其中[m，n∈R]，则[2n+22m+1]的最小值为? ? ? ? ?.

    分析：本题需要先画出图形，并建立平面直角坐标系，以便根据题设条件明确代数式[2n+22m+1]的几何意义.运用数形结合思想，具体分析最小值情境，利用相关解析几何知识进行适当计算，即可获解.

    解：由于本题涉及特殊图形（正方形），所以可建立如图3所示的平面直角坐标系[xAy]，则可知点[B（2，0）]，[D（0，2）]，从而根据[AP=mAB+nAD]，可求得点[P]的坐标为[（2m，2n）]，设点[M（-1，-2）]，则[2n+22m+1=kPM].又根据[OP=1]，可知点[P]的轨迹是以点[O（1，1）]为圆心且以1为半径的圆.

    于是，让经过点[M]的且与圆[O]有公共点的直线绕着定点[M]进行旋转，当该直线与圆[O]的右下方相切时（此时[P]为切点），直线[PM]的斜率取得最小值.

    利用直线方程的点斜式，可设經过点[M（-1，-2）]的直线方程为[y+2=k（x+1）]，则由直线与圆相切可得[2k-3k2+1=1]，解得[k=6-233]或[k=6+233]（舍去），所以[kPM]的最小值为[6-233].故所求[2n+22m+1]的最小值为[6-233]，即[2-233].

    评注：本题具有一定的综合性，解题切入点是目标式的几何意义，求解关键在于数形结合思想和“绕定点旋转分析”技巧在处理相关最值问题中的灵活运用.

    灵活运用绕定点旋转分析技巧，可顺利求解两大类数学问题.一类是给定含参线性目标函数的最优解唯一问题;另一类是以图形为载体，涉及直线斜率的最值问题.静态问题“旋转分析”，有利于结合动态变化，充分利用数形结合思想，巧思妙解.

    [? 参? ?考? ?文? ?献? ]

    [1]? 王红娟，邹生书.含有参数的线性规划问题及其解法[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（5）：12-14.

    [2]? 华文娜.2018年上海数学高考试题浅析[J].中学数学，2019（1）：35-36.

    [3]? 鲁和平.对高中数学“一题多解”教学的辩证思考[J].中学教研（数学），2019（5）：29-31.

    （责任编辑 黄桂坚）