抛物线中平行四边形存在性问题的求解策略

    宋盼盼

    

    

    [摘? ?要]结合两个典型例题研究抛物线中平行四边形存在性问题的求解策略,以提高学生的探索能力与创新能力.

    [关键词]抛物线;平行四边形;存在性问题;策略

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058(2019)35-0005-02

    存在性问题,考查知识点较多,成为中考数学的拉分题目.抛物线中的平行四边形存在性问题是中考的常考题型之一.其解决问题的关键:一是恰当地分类,分类适合,结果的个数找得又快又准确;二是通过画图,利用平行四边形的性质,通过计算加以解决.

    类型一:已知平行四边形的三个顶点,求第四个顶点,探究其存在性

    已知平行四边形的三个顶点,求第四个顶点时,先以这三个点为顶点构造三角形,然后过每个顶点画对边的平行线,三条平行线两两相交,形成三个交点,这三个交点都是符合题意的平行四边形的第四个顶点.

    [例1]如图1,抛物线y = ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点.

    (1)求直线AD及抛物线的解析式;

    (2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.

    解析:(1)将A(1,0),B(-3,0)代入y=ax2+bx-3得 [a+b-3=0,9a-3b-3=0,]解得[a=1,b=2,]∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.当x=-2时,y=(-2)2-4-3=-3,∴D(-2,-3).设直线AD的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(-2,-3)代入得:[k+b=0,-2k+b=-3,]解得[k=1,b=-1,]∴直线AD的解析式为y=x-1.因此直线AD的解析式为y=x-1,抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

    (2)∵点P在直线AD上,Q在抛物线上,P(m,n),∴n=m-1,Q(m,m2+2m-3),∴PQ的长l=(m-1)-(m2+2m-3)=-m2-m+2(-2≤m≤1),∴当m=[--1-1×2] =[-12]时,PQ的长l最大=-[-122]-[-12]+2=[94].

    [∴]线段PQ的长度l与m的关系式为l=-m2-m+2(-2≤m≤1). 当m=[-12]时,PQ最长,最大值为[94].

    (3)∵PQ的长为0[<]PQ≤[94]的整数,∴PQ=1或PQ=2.

    ①如图2,当PQ=1时,分别过点D、Q、P作PQ、DP、DQ的平行线,平行线两两相交于点R1、R2、R3,∵PQ⊥x轴,∴R1R2⊥x轴,根据平行四边形的性质,得D R1=D R2=1,∵D(-2,-3),∴点R1(-2,-2),点R2(-2,-4),∵PQ= -m2-m+2(-2≤m≤1),当-m2-m+2=1时,m= [-1±52],∴m-1= [-3±52],∴点P [-1±52,-3±52],PQ中点的坐标为[-1±52,-4±52],∵点D(-2,-3),根据平行四边形对角线互相平分,可得点R3的坐标一定为无理数,不符合题意,故舍去.

    ②如图3,当PQ=2时,分别过点D、Q、P作PQ、DP、DQ的平行线,平行线两两相交于点R4、R5、R6, ∵PQ⊥x轴,∴R4R5⊥x轴,根据平行四边形的性质得DR4=DR5=2,∵D(-2,-3),∴点R4(-2,-5),点R5(-2,-1), ∵PQ= -m2-m+2(-2≤m≤1),当-m2-m+2=2时,m=0或-1,m-1=-1或-2,点P(0,-1)或(-1,-2),此时PQ中点的坐标为(0,-2)或(-1,-3),设点R6的坐标为(a,b),根据中点坐标公式得[-2+a2=0 ,-3+b2=-2 ,]或[-2+a2=-1,-3+b2=-3,]解得[a=2,b=-1,]或[a=0,b=-3.]所以R6的坐标为(2,-1)或(0,-3).

    [∴]符合条件的点R共有6个,即R1(-2,-2),R2(-2,-4),R5(-2,-1),R4(-2,-5),R6(0,-3),R7(2,-1).

    评注:本题利用作平行线的方法不重不漏地找出了所有符合题意的点.其中在求点的坐标时,利用了平行四边形对边平行且相等的性质,利用了平行四边形对角线互相平分的性质,其实质相当于先假设存在这样的平行四边形,然后利用它的性质去求解.

    类型二:已知平行四边形的两个顶点,求另两个顶点,探究其存在性

    已知平行四边形两个顶点,求另外两个顶点,通常以这两个顶点确定的线段,分别作为平行四边形的边或对角线构造平行四边形,作为边时通过平移得到另两个顶点,作为对角线时通过中点坐标公式得到另两个顶点.

    [例2]如图4,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3),顶点为D,

    (1)求抛物线的函数关系式;

    (2)判断△BCD的形状,并说明理由;

    (3)点P在抛物线上,点Q在直线y=x上,是否存在点P、Q以使点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    解析:(1)把点A、C坐标代入抛物线表达式得[1+b+c=0,c=-3,]解得[b=2,c=-3.]抛物线的表达式为y=x2+2x-3,顶点D的坐标为(-1,-4);

    (2)y=x2+2x-3,令y=0,则x=1或-3,故点B(-3,0),而C、D的坐标分别为(0,-3)、(-1,-4),则BD=[20],CD=[2],BC=[18],∴BD2=CD2+BC2,故△BCD为直角三角形;

    (3)存在.理由:①当OC是平行四边形的一条边时,设点P(m,m2+2m-3),点Q(m,m),则PQ=OC=3,PQ=[m2+2m-3-m=3],解得m = -1或2或0或-3(舍去0),故m=-1或2或-3;②当CO是平行四边形的对角线时,设点P(m,m2+2m-3),点Q(n,n),∵线段OC的中点的坐标为(0,-1.5),由中点坐标公式 得[m+n=0,m2+2m-3+n=-3,]解得m=0或-1(舍去0);故m=? -1或2.则点P(-1,4),(2,5)或(-3,0).

    评注:在抛物线中探究平行四边形存在性問题,一方面,使用中点坐标公式,可以快速地求出第三个点的坐标.中点坐标公式是已知点A(x1,y1),点B(x2,y2),则线段AB中点的坐标为[x1+x22 ,y1+y22] .利用这个公式可以由线段两端点及中点任意两个点的坐标,求出第三个点的坐标;另一方面,使用函数解析式来表示其图像点的坐标,便于对函数图像上的动点进行控制,如点P在抛物线y=ax2+bx+c上,则点P的坐标可表示为(m,am2+bm+c).

    总之,新课程背景下,在常态化教学中,要不断渗透数形结合思想,图形变换思想,培养学生从多个角度思考问题意识,不断挖掘课本中常见试题的价值.如此,才能提高学生的探索能力与创新能力.

    (责任编辑 黄桂坚)

相关文章!