抛物线中平行四边形存在性问题的求解策略

2024.07.27

宋盼盼

[摘? ?要]结合两个典型例题研究抛物线中平行四边形存在性问题的求解策略，以提高学生的探索能力与创新能力.

[关键词]抛物线;平行四边形;存在性问题;策略

[中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2019）35-0005-02

存在性问题，考查知识点较多，成为中考数学的拉分题目.抛物线中的平行四边形存在性问题是中考的常考题型之一.其解决问题的关键：一是恰当地分类，分类适合，结果的个数找得又快又准确;二是通过画图，利用平行四边形的性质，通过计算加以解决.

类型一：已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点，探究其存在性

已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点时，先以这三个点为顶点构造三角形，然后过每个顶点画对边的平行线，三条平行线两两相交，形成三个交点，这三个交点都是符合题意的平行四边形的第四个顶点.

[例1]如图1，抛物线y = ax2+bx-3过A（1，0），B（-3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为-2，点P（m，n）是线段AD上的动点.

（1）求直线AD及抛物线的解析式;

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标;若不存在，说明理由.

解析：（1）将A（1，0），B（-3，0）代入y=ax2+bx-3得 [a+b-3=0，9a-3b-3=0，]解得[a=1，b=2，]∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.当x=-2时，y=（-2）2-4-3=-3，∴D（-2，-3）.设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（-2，-3）代入得：[k+b=0，-2k+b=-3，]解得[k=1，b=-1，]∴直线AD的解析式为y=x-1.因此直线AD的解析式为y=x-1，抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

（2）∵点P在直线AD上，Q在抛物线上，P（m，n），∴n=m-1，Q（m，m2+2m-3），∴PQ的长l=（m-1）-（m2+2m-3）=-m2-m+2（-2≤m≤1），∴当m=[--1-1×2] =[-12]时，PQ的长l最大=-[-122]-[-12]+2=[94].

[∴]线段PQ的长度l与m的关系式为l=-m2-m+2（-2≤m≤1）. 当m=[-12]时，PQ最长，最大值为[94].

（3）∵PQ的长为0[<]PQ≤[94]的整数，∴PQ=1或PQ=2.

①如图2，当PQ=1时，分别过点D、Q、P作PQ、DP、DQ的平行线，平行线两两相交于点R1、R2、R3，∵PQ⊥x轴，∴R1R2⊥x轴，根据平行四边形的性质，得D R1=D R2=1，∵D（-2，-3），∴点R1（-2，-2），点R2（-2，-4），∵PQ= -m2-m+2（-2≤m≤1），当-m2-m+2=1时，m= [-1±52]，∴m-1= [-3±52]，∴点P [-1±52，-3±52]，PQ中点的坐标为[-1±52，-4±52]，∵点D（-2，-3），根据平行四边形对角线互相平分，可得点R3的坐标一定为无理数，不符合题意，故舍去.

②如图3，当PQ=2时，分别过点D、Q、P作PQ、DP、DQ的平行线，平行线两两相交于点R4、R5、R6， ∵PQ⊥x轴，∴R4R5⊥x轴，根据平行四边形的性质得DR4=DR5=2，∵D（-2，-3），∴点R4（-2，-5），点R5（-2，-1）， ∵PQ= -m2-m+2（-2≤m≤1），当-m2-m+2=2时，m=0或-1，m-1=-1或-2，点P（0，-1）或（-1，-2），此时PQ中点的坐标为（0，-2）或（-1，-3），设点R6的坐标为（a，b），根据中点坐标公式得[-2+a2=0 ，-3+b2=-2 ，]或[-2+a2=-1，-3+b2=-3，]解得[a=2，b=-1，]或[a=0，b=-3.]所以R6的坐标为（2，-1）或（0，-3）.

[∴]符合条件的点R共有6个，即R1（-2，-2），R2（-2，-4），R5（-2，-1），R4（-2，-5），R6（0，-3），R7（2，-1）.

评注：本题利用作平行线的方法不重不漏地找出了所有符合题意的点.其中在求点的坐标时，利用了平行四边形对边平行且相等的性质，利用了平行四边形对角线互相平分的性质，其实质相当于先假设存在这样的平行四边形，然后利用它的性质去求解.

类型二：已知平行四边形的两个顶点，求另两个顶点，探究其存在性

已知平行四边形两个顶点，求另外两个顶点，通常以这两个顶点确定的线段，分别作为平行四边形的边或对角线构造平行四边形，作为边时通过平移得到另两个顶点，作为对角线时通过中点坐标公式得到另两个顶点.

[例2]如图4，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D，

（1）求抛物线的函数关系式;

（2）判断△BCD的形状，并说明理由;

（3）点P在抛物线上，点Q在直线y=x上，是否存在点P、Q以使点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式得[1+b+c=0，c=-3，]解得[b=2，c=-3.]抛物线的表达式为y=x2+2x-3，顶点D的坐标为（-1，-4）;

（2）y=x2+2x-3，令y=0，则x=1或-3，故点B（-3，0），而C、D的坐标分别为（0，-3）、（-1，-4），则BD=[20]，CD=[2]，BC=[18]，∴BD2=CD2+BC2，故△BCD为直角三角形;

（3）存在.理由：①当OC是平行四边形的一条边时，设点P（m，m2+2m-3），点Q（m，m），则PQ=OC=3，PQ=[m2+2m-3-m=3]，解得m = -1或2或0或-3（舍去0），故m=-1或2或-3;②当CO是平行四边形的对角线时，设点P（m，m2+2m-3），点Q（n，n），∵线段OC的中点的坐标为（0，-1.5），由中点坐标公式得[m+n=0，m2+2m-3+n=-3，]解得m=0或-1（舍去0）;故m=? -1或2.则点P（-1，4），（2，5）或（-3，0）.

评注：在抛物线中探究平行四边形存在性問题，一方面，使用中点坐标公式，可以快速地求出第三个点的坐标.中点坐标公式是已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则线段AB中点的坐标为[x1+x22 ，y1+y22] .利用这个公式可以由线段两端点及中点任意两个点的坐标，求出第三个点的坐标;另一方面，使用函数解析式来表示其图像点的坐标，便于对函数图像上的动点进行控制，如点P在抛物线y=ax2+bx+c上，则点P的坐标可表示为（m，am2+bm+c）.

总之，新课程背景下，在常态化教学中，要不断渗透数形结合思想，图形变换思想，培养学生从多个角度思考问题意识，不断挖掘课本中常见试题的价值.如此，才能提高学生的探索能力与创新能力.

（责任编辑黄桂坚）