渗透数学思想提高数学能力

    郝建玲

    

    摘要：数学思想是对数学内容的本质认识提炼升华的数学观点，是数学解决问题的指导思想。数学教学中，通过情境的分析、概念的形成、结论的推导、知识的应用来逐步渗透数学思想，有助于提高学生数学能力，培养可持续发展且具关键能力的高素质人才。

    关键词：初中数学 ?数学思想 ?数学能力 ?教学渗透

    数学教学的任务是发展学生“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），提高学生“四能”（发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力），培养学生素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析），促进学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。

    问题是数学的心脏。作为解题灵魂的数学思想，是对数学内容的本质认识提炼升华的数学观点，是数学解决问题的指导思想。因此数学教学中，培养学生的转化与归纳、数形结合、分类与整合、函数与方程、数学建模等数学思想尤为重要。只有学生具备了这些数学思想，才能有效地发现和提出问题、分析和解决问题。

    数学教学中，教师如何通过数学知识与技能的传授，渗透数学思想，形成学生基本数学活动经验，一直是一线老师思考的问题。下面本人结合多年的教学实践，谈谈自己对几种数学思想渗透的想法与做法，供大家参考。

    一、渗透转化与归纳思想，提高学生数学思维能力

    数学解题教学中，常常会遇到一些常规解法无法解决的问题，这时教师要引导学生用转化的思维看问题，使要解决的问题化难为易，或变未知为已知，或把数学某一分支中的问题转化为另一个分支中的问题，最终获得原题的解决，即不断地变更数学问题的形式或方向，化难为易，化生为熟，化繁为简，这就是转化与归纳的数学思想。

    比如方程问题，我们经常运用转化思想，通过利用多个未知数之间的数量关系，将方程用其中一个未知数来表示，再利用通分、消元或换元等手段将方程转化为简单的一元方程，即多元化一元，从而得到方程的解。

    再如，已知x2=y3=z0.5，求x+3y-z2x-y+z的值。针对这一问题，教学中我让学生先找出x，y，z这三个未知数之间的数量关系。其中一位学生是这样梳理解题思路的：由x2=y3=z0.5可以将x和y转化为与z相关的数量关系，即x=4z，y=6z。由此x+3y-z=4z+18z-z=21z，2x-y+z=8z-6z+z=3z。这样，x+3y-z2x-y+z=21z3z=7。还有学生将x、z转化为y，或将y、z转化为x。我问学生为什么要这样做？学生知其然，不知其所然。我说这类问题的解决本质还是将多元计算问题，通过消元，转化为一元计算问题来解决，这就是数学中转化与归纳的数学思想。

    转化与归纳的思想，可以说无处不在，但在转化的过程中，我们要用到一些手段与方法，如换元法、消元法、数列结合法、构造法、设参法、特殊法，拆分与整合等等，目的就是一个把难以解决的问题变成一个易于解决的问题。

    二、渗透数形结合思想，提高学生数学直观能力

    数缺形时少直观，形缺数时难入微。在初中解题教学中，经常会遇到一些难以解决的问题，需要“以形助数”或“以数辅形”，即要借助于形的生动性和直观性来阐明数与数之间的联系，以形作为手段，数作为目的，或借助于数的精确性来阐明形的某些属性，以数作为手段，形作为目的。

    比如我们可以利用函数的图象来研究函数的最小值等性质问题，通过方程的解来研究函数图象的交点个数问题。这种思想很好地将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的互化，从而解决抽象的或复杂的数学问题。

    利用数形结合思想解决问题，通过分析其代数意义，揭示其几何直观，使数量的精准刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，来寻找解题思路。数形结合常见的方法是转化法、构造法、分离变量法等等。

    三、渗透分类与整合思想，提高学生数学逻辑能力

    分类与整合思想方法就是当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向分别研究的思想方法。它具有层次性和概括性，是让学生根据研究对象的异同进行有效区分，找出研究对象的共同点和差异性，克服思维的片面性。

    比如，在解决含参数函数的图象与性质问题，经常通过对影响函数图象和性质的参数的取值范围的不同进行分类。例如，对二次函数的研究时，若二次函数的二次项系数为参数，一般对二次项系数分正负两类讨论，因为它决定了二次函数图象的开口方向，乃至影响着此函数的最值、单调性等性质。当然，研究的基本途径是“分”，但在分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起。

    利用分类与整合数学思想解决问题的关键是以谁为讨论对象、讨论的标准是什么、分几类讨论。要做到层次分明，不重不漏。分类讨论常用的方法是化整为零、积零为整、构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等。

    四、渗透数学建模思想，提高学生的数学应用能力

    数学建模思想的本质就是将生产生活中的实际问题转化为数学问题，将看似抽象的实际问题“抽丝剥茧”转化为具体可解决的数学模型。为了有效应用这一数学思想，教师可以在教学中以生产、生活中大家普遍关心的焦点问题、热点问题为背景营造建模氛围，创设多元化情境来激发学生探索数学的兴趣，以此来完成知识建构，实现应用能力提升。

    比如，上海市政府为了推动大众创业、万众创新，决定投入资金扶持大学生创业项目。大学生张宏光毕业后，申请了扶持资金开始创业生涯。他的创业项目是进价为200元的“人脸识别打卡机”，在推广与销售期间，每个月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以是近似为函数y=-100x+5000。如果假设张同学每个月的利润是S元，那么你能求出单价设置为多少时，他才能实现月利润的最大值吗？仔细分析这道题，其实是对二次函数的最值求解问题。教师在教学中可以引领学生先阅读理解本题材料，再利用既有的知识经验从这道应用题中找到相应的数学模型：月利润S=（-100x+5000）（x-200），最后在构建数学模型的前提下解答数学问题，从而实现知识的有效转化，解决实际问题。

    数学建模的思想是在理解社会实际和学生的真实生活问题情景的基础上，从数学的视角发现问题、提出问题，建立合适的数学模型，如方程、函数、不等式，然后通过数学问题的解决，从而解决实际问题，这就是学习数学的最终目的，学会用所学的数学知识分析问题、解决问题，进一步为生活、生产实践服务。

    综上所述，数学问题解决的背后蕴含的思想方法具有高度的概括性、深刻性、内隐性、层次性、发展性、迁移性、启发性和广泛性，在数学教学中渗透数学思想能培养和提高学生在面对与学科相关的生活实践或探索问题情境时，有效地发现与提出问题、分析和解决问题所必须具备的关键能力，为支撑学生终身发展和适应时代需求，发展学科素养、培育核心价值建立知识基础和能力保证。

    参考文献：

    [1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：4-5.

    [2]马文杰，徐莉芳.論数学思想方法的基本特征[J].中学数学教学参考（上旬），2017（12）：2-5.