在图形创作与题组设计中领略变式的魔力
梁艳云 涂爱玲
1思维的起点，灵感的源头
如图1、图2是反比例函数教学中非常重要的两个基本图形，它刻画了反比例函数图像与几何图形面积之间的内在联系，在解题过程中应用非常广泛.为方便表述，不妨给这两个基本图形分别命名为面积矩形和面积三角形.
受这两个标准化图形的启迪，我们创造了一系列非标准化图形与反比例函数图形有关的面积问题.
2图形的创作，题组的设计
2.1图形创作
图形的创作一：函数与图形运动类变式
“函数与图形运动类变式”是指几何图形与函数图像结合，进行运动类问题研究的一种变式设计方法.常见的类型有几何图形的顶点、边长、图形在平面直角坐标系中的坐标轴或函数图像上运动.其目的是从运动的角度揭示知识的发生、发展和形成的过程，进而发现其中所蕴含的规律.下面是以反比例函数为例的图形运动类变式网络图.
图形运动类变式
1.面积矩形的一边在数轴上运动.
（1）一个面积矩形的一个顶点在一个反比例函数图形上（图3）：
（2）两个面积矩形的两个顶点分别在两个反比例函数图形上（图4）：
2.面积三角形的一个顶点在数轴上运动.
（1）一个面积三角形的一个顶点在一个反比例函数图形上（图5）：
（2）两个面积三角形的两个顶点分别在两个反比例函数图形上（图6）：
图形的创作二：函数与图形变换类变式
初中几何中的图形变换主要有平移、翻折和旋转三种，这三种变换的共同特点变换前后图形的形状、大小相同.“函数与图形变换类变式”是指几何图形与函数图像结合，进行图形平移、翻折和旋转等图形变换类问题研究的一种变式设计的方法.常见的类型有在平面直角坐标系中，①将几何图形沿坐标轴或几何图形边长所在的直线或一些特殊直线进行翻折；②将几何图形绕原点或一些特殊点进行旋转；③将几何图形沿某一方向进行平移.可以把一些看起来不相关的条件联系起来，达到解决问题的目的.下面是以反比例函数为例的图形变换类变式网络图.
图形变换类变式
1.以面积三角形的各边所在直线为轴对称进行翻折.
2.将面积三角形绕某一点进行旋转.
图形的创作三：函数与图形割补类变式.
“函数与图形割补类变式”是指在平面直角坐标系中结合函数图像的性质，运用割补思想进行问题研究的一种变式设计的方法.主要是运用化整为零或化零为整的转化思想将不规则图形化为规则图形，有了这一规则化思想，我们就能迅速正确的解答问题.下面是以反比例函数为例的图形割补类变式网络图.
图形割补类变式
1.沿着割补思想中的“割”进行图形创作.
将一个面积矩形割去一个面积三角形或面积矩形或两个面积三角形等.
2.沿着割补思想中的“割与补”进行图形创作.
将一个面积矩形割去一部分补成一个新图形：
2.2题组设计
前面我们是站在数学思想方法的高度，分别从“图形运动”、“图形变换”以及
“图形割补”等角度进行了图形创作.接下来根据创作的图形，进行具体问题的题组设计.在题组编写时，为了灵活运用反比例函数中的面积矩形和面积三角形解决问题，首先可以选择以图形变式作为问题设计的主线，其次考虑低起点、宽入口作为问题的切入点，顺应图形的发展设计问题串.下面以图形运动类为例，进行题组设计.
设计说明本组变式题的设计思路：从一个基本图形即面积矩形切入，分别从三个角度进行变式，1.将面积矩形的一条边沿x轴或y轴运动；2.由一个反比例函数发展为两个反比例函数；3.由一个面积矩形变为两个面积矩形.问题由浅入深，层层推进.目的是通过这组变式题的训练，运用同底等高思想，达到解决反比例函数的面积问题.对于“图形变换”和“图形割补”创作的图形，我们可以采用类似的方法设计变式题组.
3创作的思考，经验的升华
我们教师不但要教给学生知识和方法，更主要的是使学生学习到数学的思维，数学的思想，这是最重要的，也是我们数学教学的精髓.本文的图形创作，以平面坐标系为载体，以两个基本图形即面积矩形和面积三角形为起点，尊重知识的发展规律和图形的变化规律，从一个简单的问题出发，逐步演绎深化，变式拓展形成问题链.通过研究题组设计，不仅能提高教师的教学水平和解题视野，而且能从不断的“找题—解题—讲题”的题海战术中解脱出来.我们知道，只有对问题进行适当剖析，深入研究，充分演变，透过问题的表象看到问题的本质，才能设计出一些科学合理、新颖别致、富于创造性的数学问题，真正达到举一反三、触类旁通的教学效果.
本文变式题组创作的主要目的是理解、巩固反比例函数y=kx（k≠0）中k的几何意义，即也就是我们所说两个基本图形——面积矩形和面积三角形，并灵活运用这两个基本图形解决函数图像与几何图形相结合的面积问题.纵观近几年的中考试题，可以发现这类问题出现的频率比较高，且题型灵活多样.命题者为了考查反比例函数的综合应用，从不同角度、不同层次、不同方向进行问题设计，但不论问题怎样变化，都脱离不了反比例函数与“图形运动、图形变换、图形分割”三种类型的问题设计方式.不管问题设计的角度如何巧妙，图形如何复杂，只需要抓住两个基本图形即面积三角形和面积矩形，寻找问题设计的路径，一定能发现解决此类问题的规律.
1思维的起点，灵感的源头
如图1、图2是反比例函数教学中非常重要的两个基本图形，它刻画了反比例函数图像与几何图形面积之间的内在联系，在解题过程中应用非常广泛.为方便表述，不妨给这两个基本图形分别命名为面积矩形和面积三角形.
受这两个标准化图形的启迪，我们创造了一系列非标准化图形与反比例函数图形有关的面积问题.
2图形的创作，题组的设计
2.1图形创作
图形的创作一：函数与图形运动类变式
“函数与图形运动类变式”是指几何图形与函数图像结合，进行运动类问题研究的一种变式设计方法.常见的类型有几何图形的顶点、边长、图形在平面直角坐标系中的坐标轴或函数图像上运动.其目的是从运动的角度揭示知识的发生、发展和形成的过程，进而发现其中所蕴含的规律.下面是以反比例函数为例的图形运动类变式网络图.
图形运动类变式
1.面积矩形的一边在数轴上运动.
（1）一个面积矩形的一个顶点在一个反比例函数图形上（图3）：
（2）两个面积矩形的两个顶点分别在两个反比例函数图形上（图4）：
2.面积三角形的一个顶点在数轴上运动.
（1）一个面积三角形的一个顶点在一个反比例函数图形上（图5）：
（2）两个面积三角形的两个顶点分别在两个反比例函数图形上（图6）：
图形的创作二：函数与图形变换类变式
初中几何中的图形变换主要有平移、翻折和旋转三种，这三种变换的共同特点变换前后图形的形状、大小相同.“函数与图形变换类变式”是指几何图形与函数图像结合，进行图形平移、翻折和旋转等图形变换类问题研究的一种变式设计的方法.常见的类型有在平面直角坐标系中，①将几何图形沿坐标轴或几何图形边长所在的直线或一些特殊直线进行翻折；②将几何图形绕原点或一些特殊点进行旋转；③将几何图形沿某一方向进行平移.可以把一些看起来不相关的条件联系起来，达到解决问题的目的.下面是以反比例函数为例的图形变换类变式网络图.
图形变换类变式
1.以面积三角形的各边所在直线为轴对称进行翻折.
2.将面积三角形绕某一点进行旋转.
图形的创作三：函数与图形割补类变式.
“函数与图形割补类变式”是指在平面直角坐标系中结合函数图像的性质，运用割补思想进行问题研究的一种变式设计的方法.主要是运用化整为零或化零为整的转化思想将不规则图形化为规则图形，有了这一规则化思想，我们就能迅速正确的解答问题.下面是以反比例函数为例的图形割补类变式网络图.
图形割补类变式
1.沿着割补思想中的“割”进行图形创作.
将一个面积矩形割去一个面积三角形或面积矩形或两个面积三角形等.
2.沿着割补思想中的“割与补”进行图形创作.
将一个面积矩形割去一部分补成一个新图形：
2.2题组设计
前面我们是站在数学思想方法的高度，分别从“图形运动”、“图形变换”以及
“图形割补”等角度进行了图形创作.接下来根据创作的图形，进行具体问题的题组设计.在题组编写时，为了灵活运用反比例函数中的面积矩形和面积三角形解决问题，首先可以选择以图形变式作为问题设计的主线，其次考虑低起点、宽入口作为问题的切入点，顺应图形的发展设计问题串.下面以图形运动类为例，进行题组设计.
设计说明本组变式题的设计思路：从一个基本图形即面积矩形切入，分别从三个角度进行变式，1.将面积矩形的一条边沿x轴或y轴运动；2.由一个反比例函数发展为两个反比例函数；3.由一个面积矩形变为两个面积矩形.问题由浅入深，层层推进.目的是通过这组变式题的训练，运用同底等高思想，达到解决反比例函数的面积问题.对于“图形变换”和“图形割补”创作的图形，我们可以采用类似的方法设计变式题组.
3创作的思考，经验的升华
我们教师不但要教给学生知识和方法，更主要的是使学生学习到数学的思维，数学的思想，这是最重要的，也是我们数学教学的精髓.本文的图形创作，以平面坐标系为载体，以两个基本图形即面积矩形和面积三角形为起点，尊重知识的发展规律和图形的变化规律，从一个简单的问题出发，逐步演绎深化，变式拓展形成问题链.通过研究题组设计，不仅能提高教师的教学水平和解题视野，而且能从不断的“找题—解题—讲题”的题海战术中解脱出来.我们知道，只有对问题进行适当剖析，深入研究，充分演变，透过问题的表象看到问题的本质，才能设计出一些科学合理、新颖别致、富于创造性的数学问题，真正达到举一反三、触类旁通的教学效果.
本文变式题组创作的主要目的是理解、巩固反比例函数y=kx（k≠0）中k的几何意义，即也就是我们所说两个基本图形——面积矩形和面积三角形，并灵活运用这两个基本图形解决函数图像与几何图形相结合的面积问题.纵观近几年的中考试题，可以发现这类问题出现的频率比较高，且题型灵活多样.命题者为了考查反比例函数的综合应用，从不同角度、不同层次、不同方向进行问题设计，但不论问题怎样变化，都脱离不了反比例函数与“图形运动、图形变换、图形分割”三种类型的问题设计方式.不管问题设计的角度如何巧妙，图形如何复杂，只需要抓住两个基本图形即面积三角形和面积矩形，寻找问题设计的路径，一定能发现解决此类问题的规律.
