问题引路逆向切入
邢成云
1 写在前面（总体设想）
分式的运算本来是很简单的一个程序，但学生学习的现实并不乐观，除了因式分解的认知基础外，更重要的是对分式运算的认识不到位，带有一定的机械性，虽然类比分数的运算，很容易获得分式的运算规则，但由于字母尤其是多项式形态的干扰，致使学生对此模糊，负迁移不自觉地就发生，尤其是对约分的使用容易出现偏差，指令约分，还会好一些，若在乘除运算中就不然了，往往没分解就盲目约分，透射出对分式基本性质本质的学习有缺漏，基于分子、分母的变形偏失，不时地有“知而用错”（忘记先因式分解再约分）的认知封闭出现.实践证明，一个概念或一个法则等，如果不清楚来龙去脉，置入某个系统或整体中就容易被淡化.为此，笔者立足逻辑起点，转换视角，从逆向切入，从已学知识（因式分解、分式概念）的基础上，自己摸索编题，利用因式分解的固着点构造可分解的多项式，再构造可约分的分式及其乘除运算题目，然后与同学交换自己编的题，既可以巩固因式分解的知识，还可以认清分式的乘除运算，帮助学生顺利实现认知迁移，并且在自己编题的过程中能生发一种发现者的自豪感.这种学、教换位，能合理架构起新旧知识的桥梁，弄清楚知识的发生、发展、应用的过程，能有效提高数学理解的效率，能有效调度学生参与的积极性，培养学生提出问题的问题意识，并能在这个历程中通透分式约分以及乘除运算的来龙去脉.2 教学过程
2.1 问题引路 正反互助
设计意图 通过师生集体交流，在老师的示范作用下，启迪学生在正反过程中揣摩因式分解、约分的作用，尤其逆向的引领，能让学生触摸到最简分式可以不断添补成为较复杂的式子，为下一步编拟分式的运算做好方法上的引领、知识上的孕伏.
问题1 整个过程我们用到哪些变形，依据是？
有分式除法的运算，分子分母的因式分解，约分；其依据分别为分式除法的运算法则，因式分解的方法，分式基本性质等.
教学说明 我们选取的是人教版义务教育教科书八上教材第138页练习3的第二小题，以此为例通过共同探索，明确常见变形，揭示变形依据，感知正反过程，渗透逆向意识，为学生后续的逆向编拟蓄能、造势.
问题2 （一道中考题的改编）请对给出的三个式子，先分解因式，后从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式.
师：很好！这与直接让我们约分没多大区别，但我们可以看到整个题目就出自我们之手，这就是命题.除了刚才的方法，同学们还想知道老师平常是怎么出题的吗？（等待一会）今天老师就给同学们传授传授秘诀，让大家不仅成为解题高手，还能成为出题高手，这一般人不告诉的！
教学意图 强化分式化简需要先化积的意识，化积后就可以利用分式基本性质了，其中多项式的化积就是因式分解，通过上述构造编拟活动，让因式分解意识扎下根来，同时这种自编自演满足了学生“发现者”的心理需求，自给自足激发起学生的参与热情.
2.2 搭台造势，启承诱入
编题1 （搭台演示编）根据逆向构造的方法，给一个分式xx+2，编一个分式的化简题.
师：（声明：目的是考查平方差公式）先分子分母同乘以（x-2），成为x（x-2）（x+2）（x-2），再把分子分母乘开就是一个题目：x2-2xx2-4，这样一个题目就“造”出来了！
编题2 （师生共同编）给出分式3a-1编一个既能用提公因式法又能用完全平方公式法分解的分式化简题.
师生：首先分子分母有乘以2a，6a2a（a-1），再把分子分母都乘以a-1，6a（a-1）2a（a-1）2，最后乘开就是一道分式化简题：6a2-6a2a3-4a2+2a，相对复杂的题目“造”出来了！
然后再引导学生反向追溯，体会逆向过程，其实就是分式的化简过程！
编题3 （学生独立编）自编一个可约分的分式化简题，约分至少用到一个公式或提公因式变形的，并呈现编的过程.
呈现三个有代表性的过程：
交流心得成共识：
这个事不难，因为前一节已经学过分式的通分和约分，因此所谓的逆向变形，无非就是通分的过程，分子分母都乘以单项式或多项式，而化简就是先分解然后再都除以同一个单项式或多项式.）
设计意图 通过“演编—共编—自编”递进式的三次编题，促成学生对编题的参与意识，感知编题的过程并获得初步的编题经验：先给出一个最简分式，在其上依据分式基本性质不断添枝加叶，成为肥胖型分式，题目就编成了.至于解题就是再行“减肥”，直至成为最简分式或整式而已.
生：解答中，交流中……（师巡回指导）
设计意图 如此设计把除法法则的学习具体化，而不是冰冷的规定，是基于从数到式的类比，其中充满着数学规律的迁移，是学生敢于类比、勇于创新的体现，是对问题意识的渗透.通过把编拟过程公开化，展露学生思维过程，将双向变形可视化，并为全体同学提供了可资借鉴的范例.）
2.4 捡拾收获，体验命题
师：通过实践活动，谈一谈自己编拟问题的体会？
多生谈，达成共识：
学会了逆向构造的方式命题：编一道分式化简题无非就是利用分式的基本性质将“瘦型”的分式变“肥胖”，然后打开就行，由“瘦”变“胖”的过程可以根据设定的考查目标进行有针对性的设置！
设计意图 通过多人谈个人成功的命题经验或失败的命题经历，加固学生对正逆双向中的因式分解以及整式乘法的认识，并体验分式的运算最终化归为整式的变形，打通它们之间的内在阻隔，深化学生对分式乘除运算中因式分解重要性的认识.3 教后反思
3.1 学习本有趣，主导谐主体
分式的乘除运算本是技能型运算，习惯定位常常是一招一式的授教后反复演练下的熟悉，如此，“知识”量大了，技能长了，但缺乏灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌、技能叠加成为解决问题的包袱，也就是说智慧没长，课堂一般也陷于无趣之中.长此使然，学生习惯于依赖解别人给的题目，匮乏了独立面对问题的勇气和能力.其实，学习是一个收获知识财富与智慧财富的过程，这个过程中每个参与者都应有所得，因此这是一个快乐的教学相长的过程.叶圣陶先生说过“所谓教师主导作用，益在于启迪引导，俾学生自奋其力，自致自如，非教师滔滔讲说，学生默默聆听.”可见，教师的真正主导是让学生的主体地位充分凸显，和谐共振，才会生发力量，其中逆向切入引导学生编拟问题不失良策，在编拟过程中学生的成就感、参与兴趣不断被激发，主人意识弥散心中，那种情感的倾注、情绪的优化，让“教”与“学”的过程变成相辅相成的统一体，学习快乐了，教学也就顺势成功了.皮亚杰说得好：“一切有成效的工作以兴趣为先决条件.”这种兴趣将维系着学生的求真向善之动力.
3.2 学生藏智慧，创编显其能
“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要：这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者.而在学生的精神世界中，这种欲望则更为强烈.”苏霍姆林斯基这句经典道出了学生深藏于心的呐喊.学生本来是一个金矿、一个智者，可往往被我们的先知先觉给湮没，漠视孩子的潜能，成为我们的“随从”.基于这些认识，我们要通过教与学的活动把“金矿”给挖掘出来，把潜能给激发出来，善于化封闭为开放、变学“答”为学“问”，引导学生创编出自己的问题，让学生发现自己的强大，成就自信.如课堂上笔者通过正向引导，学生主动提出问题——可因式分解的多项式，发现问题——具有公因式的多项式构造的分式可化简，最终解决问题——分式的乘除运算利用因式分解达到最终约分化简的目的.在这个过程中，教师敲着边鼓、呐喊助威，学生兴致盎然、展露智慧.看似没有练习、没有解题，实际上我们进行了多次练习与解答，不过这里的解答是索因穷理的，是其然到所以然的“练习”.
3.3 问题把路引，逆向塑本真
笔者通过问题引路，让学生了解怎样出题，逆向去构造可计算的分式乘除计算题，学生的思维得以激烈的碰撞、思路得以有效的交流，学生对因式分解在分式乘除运算中的应用也逐步走向深刻，积淀成思考的意识.这样，再回溯分式约分的来路，模仿老师编拟题目，进而探明分式乘除运算题目编拟的形成过程中，学生对运算问题的认识由感性深入到理性，学生、教师、文本之间的交互成为一种精神的沟通、心灵上的碰撞和思维的交锋.课堂上那种正逆双向突破的手法，既巩固了学生因式分解的知识技能，又对分式的乘除运算有了本质上的认识，是发现问题、提出问题以及解决问题的重要的思维举措.这样的设计反映出问题的深层结构，学生亲眼目睹数学题目形象生动的形成过程，亲身体验如何自拟题目、如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受数学的力量、理解数学的真义，从而能够真正的启迪思维、展开思维，而不是简单的模仿和记忆.
参考文献
[1]董建功.如何命数学题[M].华东师范人学出版社，2010（4）.
[2]洪棠云.双向翻译，助力学本课堂——分式的乘除例题的另类教学[J].作文成功之路（中旬），2014（7）：57-57.
1 写在前面（总体设想）
分式的运算本来是很简单的一个程序，但学生学习的现实并不乐观，除了因式分解的认知基础外，更重要的是对分式运算的认识不到位，带有一定的机械性，虽然类比分数的运算，很容易获得分式的运算规则，但由于字母尤其是多项式形态的干扰，致使学生对此模糊，负迁移不自觉地就发生，尤其是对约分的使用容易出现偏差，指令约分，还会好一些，若在乘除运算中就不然了，往往没分解就盲目约分，透射出对分式基本性质本质的学习有缺漏，基于分子、分母的变形偏失，不时地有“知而用错”（忘记先因式分解再约分）的认知封闭出现.实践证明，一个概念或一个法则等，如果不清楚来龙去脉，置入某个系统或整体中就容易被淡化.为此，笔者立足逻辑起点，转换视角，从逆向切入，从已学知识（因式分解、分式概念）的基础上，自己摸索编题，利用因式分解的固着点构造可分解的多项式，再构造可约分的分式及其乘除运算题目，然后与同学交换自己编的题，既可以巩固因式分解的知识，还可以认清分式的乘除运算，帮助学生顺利实现认知迁移，并且在自己编题的过程中能生发一种发现者的自豪感.这种学、教换位，能合理架构起新旧知识的桥梁，弄清楚知识的发生、发展、应用的过程，能有效提高数学理解的效率，能有效调度学生参与的积极性，培养学生提出问题的问题意识，并能在这个历程中通透分式约分以及乘除运算的来龙去脉.2 教学过程
2.1 问题引路 正反互助
设计意图 通过师生集体交流，在老师的示范作用下，启迪学生在正反过程中揣摩因式分解、约分的作用，尤其逆向的引领，能让学生触摸到最简分式可以不断添补成为较复杂的式子，为下一步编拟分式的运算做好方法上的引领、知识上的孕伏.
问题1 整个过程我们用到哪些变形，依据是？
有分式除法的运算，分子分母的因式分解，约分；其依据分别为分式除法的运算法则，因式分解的方法，分式基本性质等.
教学说明 我们选取的是人教版义务教育教科书八上教材第138页练习3的第二小题，以此为例通过共同探索，明确常见变形，揭示变形依据，感知正反过程，渗透逆向意识，为学生后续的逆向编拟蓄能、造势.
问题2 （一道中考题的改编）请对给出的三个式子，先分解因式，后从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式.
师：很好！这与直接让我们约分没多大区别，但我们可以看到整个题目就出自我们之手，这就是命题.除了刚才的方法，同学们还想知道老师平常是怎么出题的吗？（等待一会）今天老师就给同学们传授传授秘诀，让大家不仅成为解题高手，还能成为出题高手，这一般人不告诉的！
教学意图 强化分式化简需要先化积的意识，化积后就可以利用分式基本性质了，其中多项式的化积就是因式分解，通过上述构造编拟活动，让因式分解意识扎下根来，同时这种自编自演满足了学生“发现者”的心理需求，自给自足激发起学生的参与热情.
2.2 搭台造势，启承诱入
编题1 （搭台演示编）根据逆向构造的方法，给一个分式xx+2，编一个分式的化简题.
师：（声明：目的是考查平方差公式）先分子分母同乘以（x-2），成为x（x-2）（x+2）（x-2），再把分子分母乘开就是一个题目：x2-2xx2-4，这样一个题目就“造”出来了！
编题2 （师生共同编）给出分式3a-1编一个既能用提公因式法又能用完全平方公式法分解的分式化简题.
师生：首先分子分母有乘以2a，6a2a（a-1），再把分子分母都乘以a-1，6a（a-1）2a（a-1）2，最后乘开就是一道分式化简题：6a2-6a2a3-4a2+2a，相对复杂的题目“造”出来了！
然后再引导学生反向追溯，体会逆向过程，其实就是分式的化简过程！
编题3 （学生独立编）自编一个可约分的分式化简题，约分至少用到一个公式或提公因式变形的，并呈现编的过程.
呈现三个有代表性的过程：
交流心得成共识：
这个事不难，因为前一节已经学过分式的通分和约分，因此所谓的逆向变形，无非就是通分的过程，分子分母都乘以单项式或多项式，而化简就是先分解然后再都除以同一个单项式或多项式.）
设计意图 通过“演编—共编—自编”递进式的三次编题，促成学生对编题的参与意识，感知编题的过程并获得初步的编题经验：先给出一个最简分式，在其上依据分式基本性质不断添枝加叶，成为肥胖型分式，题目就编成了.至于解题就是再行“减肥”，直至成为最简分式或整式而已.
生：解答中，交流中……（师巡回指导）
设计意图 如此设计把除法法则的学习具体化，而不是冰冷的规定，是基于从数到式的类比，其中充满着数学规律的迁移，是学生敢于类比、勇于创新的体现，是对问题意识的渗透.通过把编拟过程公开化，展露学生思维过程，将双向变形可视化，并为全体同学提供了可资借鉴的范例.）
2.4 捡拾收获，体验命题
师：通过实践活动，谈一谈自己编拟问题的体会？
多生谈，达成共识：
学会了逆向构造的方式命题：编一道分式化简题无非就是利用分式的基本性质将“瘦型”的分式变“肥胖”，然后打开就行，由“瘦”变“胖”的过程可以根据设定的考查目标进行有针对性的设置！
设计意图 通过多人谈个人成功的命题经验或失败的命题经历，加固学生对正逆双向中的因式分解以及整式乘法的认识，并体验分式的运算最终化归为整式的变形，打通它们之间的内在阻隔，深化学生对分式乘除运算中因式分解重要性的认识.3 教后反思
3.1 学习本有趣，主导谐主体
分式的乘除运算本是技能型运算，习惯定位常常是一招一式的授教后反复演练下的熟悉，如此，“知识”量大了，技能长了，但缺乏灵活性、变通性，杂乱的知识堆砌、技能叠加成为解决问题的包袱，也就是说智慧没长，课堂一般也陷于无趣之中.长此使然，学生习惯于依赖解别人给的题目，匮乏了独立面对问题的勇气和能力.其实，学习是一个收获知识财富与智慧财富的过程，这个过程中每个参与者都应有所得，因此这是一个快乐的教学相长的过程.叶圣陶先生说过“所谓教师主导作用，益在于启迪引导，俾学生自奋其力，自致自如，非教师滔滔讲说，学生默默聆听.”可见，教师的真正主导是让学生的主体地位充分凸显，和谐共振，才会生发力量，其中逆向切入引导学生编拟问题不失良策，在编拟过程中学生的成就感、参与兴趣不断被激发，主人意识弥散心中，那种情感的倾注、情绪的优化，让“教”与“学”的过程变成相辅相成的统一体，学习快乐了，教学也就顺势成功了.皮亚杰说得好：“一切有成效的工作以兴趣为先决条件.”这种兴趣将维系着学生的求真向善之动力.
3.2 学生藏智慧，创编显其能
“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要：这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者.而在学生的精神世界中，这种欲望则更为强烈.”苏霍姆林斯基这句经典道出了学生深藏于心的呐喊.学生本来是一个金矿、一个智者，可往往被我们的先知先觉给湮没，漠视孩子的潜能，成为我们的“随从”.基于这些认识，我们要通过教与学的活动把“金矿”给挖掘出来，把潜能给激发出来，善于化封闭为开放、变学“答”为学“问”，引导学生创编出自己的问题，让学生发现自己的强大，成就自信.如课堂上笔者通过正向引导，学生主动提出问题——可因式分解的多项式，发现问题——具有公因式的多项式构造的分式可化简，最终解决问题——分式的乘除运算利用因式分解达到最终约分化简的目的.在这个过程中，教师敲着边鼓、呐喊助威，学生兴致盎然、展露智慧.看似没有练习、没有解题，实际上我们进行了多次练习与解答，不过这里的解答是索因穷理的，是其然到所以然的“练习”.
3.3 问题把路引，逆向塑本真
笔者通过问题引路，让学生了解怎样出题，逆向去构造可计算的分式乘除计算题，学生的思维得以激烈的碰撞、思路得以有效的交流，学生对因式分解在分式乘除运算中的应用也逐步走向深刻，积淀成思考的意识.这样，再回溯分式约分的来路，模仿老师编拟题目，进而探明分式乘除运算题目编拟的形成过程中，学生对运算问题的认识由感性深入到理性，学生、教师、文本之间的交互成为一种精神的沟通、心灵上的碰撞和思维的交锋.课堂上那种正逆双向突破的手法，既巩固了学生因式分解的知识技能，又对分式的乘除运算有了本质上的认识，是发现问题、提出问题以及解决问题的重要的思维举措.这样的设计反映出问题的深层结构，学生亲眼目睹数学题目形象生动的形成过程，亲身体验如何自拟题目、如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受数学的力量、理解数学的真义，从而能够真正的启迪思维、展开思维，而不是简单的模仿和记忆.
参考文献
[1]董建功.如何命数学题[M].华东师范人学出版社，2010（4）.
[2]洪棠云.双向翻译，助力学本课堂——分式的乘除例题的另类教学[J].作文成功之路（中旬），2014（7）：57-57.
