巧设四点 激活课堂
赵绪昌
课堂教学是实施素质教育的主阵地，也是培养学生全面发展、健康成长的主渠道.数学课堂教学更是如此，因其鲜明的学科特色，为学生良好学习习惯、思维品质的养成，思想方法、情感态度价值观的形成，创设了得天独厚的条件.在教学实践和听（评）课的过程中，笔者认为巧妙地“趣点激趣、动点互动、疑点探疑、重点提升”就是一条让学生全面发展、尽快成长的有效途径.
1 巧设趣点，趣点激趣
爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师.”教师应在教学中不断激发并强化学生的兴趣，引导他们逐渐将兴趣转化为稳定的学习动机，以使他们树立自信心.如果教师不断改进自己的教学方法，优化课堂结构，激发学生对数学学习的兴趣，学生就会由有趣向乐趣发展，由乐趣向志趣升华，促使学生实现从“要我学”向“我要学”的转化.
案例1 “实际问题与一元一次方程”的教学片断
在一节观摩课中，某教师选的教学内容是人教版《数学》七年级上册“3.4实际问题与一元一次方程”，只见授课教师手拿扑克走进教室，听课教师和学生都很惊讶，难道这节课教师要与我们展开“灌蛋”比赛？
师：“同学们，你们一定还对春晚中台湾魔术师刘谦表演的魔术记忆犹新，你们是不是也想成为一名魔术师？今天老师也给你们表演一个魔术，你们想看吗？”
“想——”课堂上同学们兴趣盎然，一个个迫不及待.
师：“同学们，这是一副去掉大王、小王的扑克牌，共52张，下面请你们随意挑选一位同学上来，从这52张牌中任意抽取一张，再把抽取的这张牌向全班同学展示，让你们记下这张牌的点数，当然不能让老师看到这张牌.然后开始计算，把抽取的牌的点数先加3，再把它们的和与10相乘，最后把所得到的积减去19.A、J、Q、K的点数分别记为1、11、12、13.同学们只要把你们计算的最后结果告诉我，我立即就可以猜出你们所抽的扑克牌.下面开始表演猜牌魔术，请同学们选一位代表上台来抽牌.”
随后，几位学生代表根据授课教师的要求，兴致勃勃地玩起了猜牌魔术，当同学们把计算的最后结果告诉教师时，教师一一猜中，学生由好奇变得惊讶，纷纷要求教师快快魔术揭秘……
教师在学生强烈的好奇和迫切的需求下开始点题——实际问题与一元一次方程，接着，引导学生列出方程并通过对方程变形一层一层地剥开了学生心中的疑团，得出“所抽牌的点数就是计算的最后结果去掉个位数字1后再减去1所得的值”.
反思 这节课在引入时，教师借助于猜牌魔术表演这个趣味浓厚的现实情境，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生主动探究知识的内驱力，有利于培养学生解决问题的能力和创新精神.这样的课堂，让学生真正成了学习的主人，这正是新课标所倡导的新课程理念.
2 巧设动点，动点互动
高效课堂教学应是学生动口、动手、动脑参与练习了多少；学生创造性思维围绕本节内容放飞了多远，并从中进步了多少；在实践中学到的知识能应用多少，绝不是仅仅体现在课堂气氛活跃与否.在课堂上，学生群体学习的最大特点是互补性.学生在相互研讨、探究、补充交流、评价完善的环境中获取到许多书本中没有的知识，从中学习到其他同学的思维方法.教师也可在这一过程中，对学生进行思维品质的教育.
案例2 “平行四边形是不是轴对称图形”是“轴对称图形”一课经常会出现的教学难点.在一次数学评优课上，授课教师在课堂上遇到了“麻烦”：大部分学生认为“平行四边形是轴对称图形”，只有少部分学生认为“平行四边形不是轴对称图形”.面对此种情况，教师没有无视学生的疑问，而是直面学生的问题，采用辩论的方式加以解决，获得了一致的好评.
师：既然大家对平行四边形是不是轴对称图形这一问题有争论，不妨来个辩论赛，看谁能说服谁.我来当你们的主持人.
（选正、反方学生各3名.）
正方1：既然你认为它是轴对称图形，那么这个图形对折后应该能够完全重合.请你给大家演示一下！
反方1演示将平行四边形对折两次（如图1），结果完全重合了！
图1正方1：不错，是完全重合了，但你是在对折两次后才完全重合的，第一次对折后两边并没有完全重合，因此不能证明原来的平行四边形是轴对称图形，而只能说明对折一次后所得到的图形是轴对称图形！
正方1：（强调）轴对称图形，必须是“一次对折”后完全重合！
反方2：（急中生智）沿对角线将平行四边形剪开，得到完全重合的两个三角形.
正方2：我觉得你的做法更加违背了概念，判断轴对称图形的方法是沿着一条直线“对折”，而不是“剪开”！因此，你的做法也不能证明平行四边形是轴对称图形.
师：（点评）正方暂时领先！在刚才的辩论中，正方紧扣“轴对称图形”的概念与判断方法进行说理，表现很出色.
（反方学生陷入思考中.）
反方3：（兴奋地）老师、正方同学，我们找到了平行四边形是轴对称图形的证据！教室走廊地面的装饰图案就是轴对称图形，它的形状也是平行四边形！
（一石激起千层浪，有的学生省悟，有的学生惊异，有的学生更加疑惑.）
图2教师通过多媒体呈现走廊地面的装饰图案形状（如图2），唤醒学生的记忆.
师：（面向反方学生）你们能证明其中的一个平行四边形就是轴对称图形吗？
（反方学生跃跃欲试.）
反方3：利用教师提供的“菱形”纸片进行验证，对折后折痕两侧的图形完全重合.
（这时教师水到渠成地介绍“菱形”.学生恍然大悟.）
师：（面向辩论双方学生）谁能对你方辩论的观点最先做以总结？
反方2：（率先发言）普通的平行四边形不是轴对称图形，特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形是轴对称图形.
师：（点评）我宣布，反方最终获胜，祝贺他们！他们虽然“出师不利”，但最终用证据证实了自己的猜想.特别值得表扬的是，他们敢于在课堂上提出不同的想法！
反思 学生出现错误是参与学习活动的一种必然现象，此案例中，教师没有急于点拨或“包办代替”，而是把解决问题的主动权还给学生，组织学生开展了一场精彩的辩论比赛.学生在主动参与辩错的过程中，逐渐认识到自己错误的根源，找到解决问题的方法.既加深了对知识的理解与掌握，又提高了思维能力，可谓一举多得！
3 巧设疑点，疑点探疑
“疑”是探求知识的起点，也是启发学生思维的支点.会不会“设疑”也是一个教师教学技巧的表现.南宋理学家朱熹说：“读书无疑者，须教有疑，有疑者，却要无疑，到这里方是长进.”一个教师，在课堂教学时，要注意从“疑”入手，巧设悬念，启发学生思维，引导学生生疑、质疑、解疑.应当指出的是，设疑不同于一般的课堂提问，它不是让学生马上回答，而是设法造成思维上的悬念，使学生暂时处于困惑状态，进而激发解疑的动因和兴趣.
案例3 “四边形”的复习课的教学片断.
图3在“四边形”的复习课的教学中，设计了问题：如图3，△ABC中，已知P是AB边上任一点，PE∥BC，PF∥AC.
问题1：四边形PECF是什么特殊四边形？
问题2：有无可能更特殊？比如矩形？菱形？
学生讨论能否为矩形取决于∠C是否为直角；能否为菱形取决于邻边是否相等，想象P点从上向下移动时四边形PECF哪些变？哪些不变？（从直觉上感觉菱形的存在性）
问题3：谁能迅速找到使四边形PECF变为菱形的点P的位置？
部分学生讨论得出P为AB中点，但必须有AC=BC，但题中不具备此条件，教师继续启发.
问题4：若四边形PECF为菱形，则PC有什么特点？
学生受此启发由此得出点P为∠C的平分线上的点.
问题5：如果AC=BC，应该取AB的中点，还是∠C的角平分线？
学生比较分析，联系等腰三角形“三线合一”的性质，发现两点是同一点.
此时教师继续深化问题，出示以下问题：
问题6：根据以上研究成果，你能把一张三角形纸片折出一个菱形吗？
学生每人一张三角形纸片各自探究、实验，直到成功.
反思 以上复习课围绕四边形的定义、判定、性质展开，有些教师会提问“什么叫平行四边形？性质、判定有哪些？”然后依次再问矩形、菱形、正方形的情况，这样的问题学生虽然可以一一作答，但是四个问题的关系是互相平行的，不能帮助学生对它们进行横向比较.而本例教师的提问设计贴近学生的思维发展，在学生的每个思维障碍处巧妙设疑，不断深化问题，各个问题的解答需要学生全面回顾各个图形的知识，理清它们之间的关系，不仅复习了三角形中位线、等腰三角形的性质，平行四边形、矩形、菱形的判定方法等知识，而且在此过程中学生猜想、质疑、讨论、动手实验，从不同角度探究问题，不断提出问题、解决问题，培养了学生的自主探究、合作交流、动手实践能力和应用数学的能力.
4 巧设重点，重点提升
要上好一节数学课，必须设计好这节课的教学重点，这是提高课堂效率，促使学生发展的前提.这个重点的设计，不仅表现为知识的获得，而且表现为数学思想方法的形成和情感态度价值观的提升.因此，整个教学流程要紧紧围绕这一重点进行，要突出这个重点的效能和作用.
案例4 在学习了“三角形的初步认识”后，教师安排了一节专题课，重点是“任意三角形一边上的高与这条边所对角的平分线的夹角，等于和这条边相邻的两内角差的绝对值的一半”.为了让学生深入地理解和掌握这一结论，教师设计了以下问题.
问题1：如图4，在△ABC中，AD为高，AE为角平分线，∠B=20°，∠C=50°.（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数；（2）∠EAD与∠B、∠C之间有什么关系？
对于问题（2），大多数学生都能得出∠EAD=12（∠C-∠B），可在此基础上引导学生讨论，挖掘此题所隐含的一般性规律.
问题2：将“∠B=20°”改为“∠B=100°”（如图5），其他条件不变，则∠EAD与∠B、∠C之间还有上述关系吗？
学生经过讨论发现，这时∠EAD=12（∠B-∠C），进而意识到∠EAD与∠B、∠C的大小有关.
问题3：将“∠B=20°，∠C=50°”，改为“∠B=m，∠C=n”（假设m、n满足三角形成立的必要条件），其他条件不变，则∠EAD与∠B、∠C之间的关系如何？
图4 图5学生经讨论发现：
①当m=n时，高AD与角平分线AE重合，此时∠EAD=12（m-n）=0°；
②当m
因此，可以借助于绝对值来统一这三种情况，即∠EAD=12|m-n|.
经过对上述问题的探究，学生加深了对此例的认识，并总结出规律：任意三角形一边上的高与这条边所对角的平分线的夹角，等于和这条边相邻的两内角差的绝对值的一半.
趁学生沉浸在成功的喜悦中时，教师又将图形进行了演变，设计以下问题，引导学生讨论，进一步加深学生的理解.
图6 图7 图8问题4：如图6，若将点A沿AE移动到点F，作FD⊥BC，垂足为点D，其他条件不变，那么∠DFE与∠B、∠C之间，是否还具有以上关系？
问题5：如图7，若将点F移动到AE的延长线上，作FD⊥BC，垂足为点D，其他条件不变，那么∠DFE与∠B、∠C之间是否还具有以上关系？
问题6：如图8，若将点F移动到AE的延长线上，作FD⊥BC，垂足为点D，其他条件不变，那么∠DFE与∠B、∠C之间是否还具有以上关系？
通过讨论发现，可以将问题3中所归纳出的规律推广到更一般的情形：在△ABC中，若AE为∠A的平分线，F为直线AE上任一点，FD⊥BC（或BC的延长线），点D为垂足，则∠DFE始终等于∠B与∠C差的绝对值的一半.
反思 案例中，教师巧设教学重点：探索“任意三角形一边上的高与这条边所对角的平分线的夹角，等于和这条边相邻的两内角差的绝对值的一半.”通过设计问题串，引导由特殊到一般、由角度的变化到点的位置的变化依次展开讨论，使学生逐渐认清问题的本质，使学生开阔了视野，增强了求知欲，学生的想象力和创造力得以充分的发挥，同时还教给学生掌握知识、探求知识、运用知识的方法，达到了“举一反三，触类旁通”的效果，并自然地把个别学生的思维成果转化为了全班学生的共同财富.学生不但较好地掌握了基础知识，而且亲身经历了探究发现的学习过程，体会了由特殊到一般研究解决问题的方法，突出了教学的重点，获得了很好的教学效果.
素质教育的第一要义是关注人的发展.在数学教学中，只要教师能做到目中有人，心中有爱，作学生的领航人、引路人，甘为人梯地服务于学生，那么，通过课堂教学中趣点、动点、疑点、重点的巧妙设计，就一定能让课堂教学在精彩生成中充满生机与活力，而真正的素质也一定会在每一位学生身上深深扎根.
课堂教学是实施素质教育的主阵地，也是培养学生全面发展、健康成长的主渠道.数学课堂教学更是如此，因其鲜明的学科特色，为学生良好学习习惯、思维品质的养成，思想方法、情感态度价值观的形成，创设了得天独厚的条件.在教学实践和听（评）课的过程中，笔者认为巧妙地“趣点激趣、动点互动、疑点探疑、重点提升”就是一条让学生全面发展、尽快成长的有效途径.
1 巧设趣点，趣点激趣
爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师.”教师应在教学中不断激发并强化学生的兴趣，引导他们逐渐将兴趣转化为稳定的学习动机，以使他们树立自信心.如果教师不断改进自己的教学方法，优化课堂结构，激发学生对数学学习的兴趣，学生就会由有趣向乐趣发展，由乐趣向志趣升华，促使学生实现从“要我学”向“我要学”的转化.
案例1 “实际问题与一元一次方程”的教学片断
在一节观摩课中，某教师选的教学内容是人教版《数学》七年级上册“3.4实际问题与一元一次方程”，只见授课教师手拿扑克走进教室，听课教师和学生都很惊讶，难道这节课教师要与我们展开“灌蛋”比赛？
师：“同学们，你们一定还对春晚中台湾魔术师刘谦表演的魔术记忆犹新，你们是不是也想成为一名魔术师？今天老师也给你们表演一个魔术，你们想看吗？”
“想——”课堂上同学们兴趣盎然，一个个迫不及待.
师：“同学们，这是一副去掉大王、小王的扑克牌，共52张，下面请你们随意挑选一位同学上来，从这52张牌中任意抽取一张，再把抽取的这张牌向全班同学展示，让你们记下这张牌的点数，当然不能让老师看到这张牌.然后开始计算，把抽取的牌的点数先加3，再把它们的和与10相乘，最后把所得到的积减去19.A、J、Q、K的点数分别记为1、11、12、13.同学们只要把你们计算的最后结果告诉我，我立即就可以猜出你们所抽的扑克牌.下面开始表演猜牌魔术，请同学们选一位代表上台来抽牌.”
随后，几位学生代表根据授课教师的要求，兴致勃勃地玩起了猜牌魔术，当同学们把计算的最后结果告诉教师时，教师一一猜中，学生由好奇变得惊讶，纷纷要求教师快快魔术揭秘……
教师在学生强烈的好奇和迫切的需求下开始点题——实际问题与一元一次方程，接着，引导学生列出方程并通过对方程变形一层一层地剥开了学生心中的疑团，得出“所抽牌的点数就是计算的最后结果去掉个位数字1后再减去1所得的值”.
反思 这节课在引入时，教师借助于猜牌魔术表演这个趣味浓厚的现实情境，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生主动探究知识的内驱力，有利于培养学生解决问题的能力和创新精神.这样的课堂，让学生真正成了学习的主人，这正是新课标所倡导的新课程理念.
2 巧设动点，动点互动
高效课堂教学应是学生动口、动手、动脑参与练习了多少；学生创造性思维围绕本节内容放飞了多远，并从中进步了多少；在实践中学到的知识能应用多少，绝不是仅仅体现在课堂气氛活跃与否.在课堂上，学生群体学习的最大特点是互补性.学生在相互研讨、探究、补充交流、评价完善的环境中获取到许多书本中没有的知识，从中学习到其他同学的思维方法.教师也可在这一过程中，对学生进行思维品质的教育.
案例2 “平行四边形是不是轴对称图形”是“轴对称图形”一课经常会出现的教学难点.在一次数学评优课上，授课教师在课堂上遇到了“麻烦”：大部分学生认为“平行四边形是轴对称图形”，只有少部分学生认为“平行四边形不是轴对称图形”.面对此种情况，教师没有无视学生的疑问，而是直面学生的问题，采用辩论的方式加以解决，获得了一致的好评.
师：既然大家对平行四边形是不是轴对称图形这一问题有争论，不妨来个辩论赛，看谁能说服谁.我来当你们的主持人.
（选正、反方学生各3名.）
正方1：既然你认为它是轴对称图形，那么这个图形对折后应该能够完全重合.请你给大家演示一下！
反方1演示将平行四边形对折两次（如图1），结果完全重合了！
图1正方1：不错，是完全重合了，但你是在对折两次后才完全重合的，第一次对折后两边并没有完全重合，因此不能证明原来的平行四边形是轴对称图形，而只能说明对折一次后所得到的图形是轴对称图形！
正方1：（强调）轴对称图形，必须是“一次对折”后完全重合！
反方2：（急中生智）沿对角线将平行四边形剪开，得到完全重合的两个三角形.
正方2：我觉得你的做法更加违背了概念，判断轴对称图形的方法是沿着一条直线“对折”，而不是“剪开”！因此，你的做法也不能证明平行四边形是轴对称图形.
师：（点评）正方暂时领先！在刚才的辩论中，正方紧扣“轴对称图形”的概念与判断方法进行说理，表现很出色.
（反方学生陷入思考中.）
反方3：（兴奋地）老师、正方同学，我们找到了平行四边形是轴对称图形的证据！教室走廊地面的装饰图案就是轴对称图形，它的形状也是平行四边形！
（一石激起千层浪，有的学生省悟，有的学生惊异，有的学生更加疑惑.）
图2教师通过多媒体呈现走廊地面的装饰图案形状（如图2），唤醒学生的记忆.
师：（面向反方学生）你们能证明其中的一个平行四边形就是轴对称图形吗？
（反方学生跃跃欲试.）
反方3：利用教师提供的“菱形”纸片进行验证，对折后折痕两侧的图形完全重合.
（这时教师水到渠成地介绍“菱形”.学生恍然大悟.）
师：（面向辩论双方学生）谁能对你方辩论的观点最先做以总结？
反方2：（率先发言）普通的平行四边形不是轴对称图形，特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形是轴对称图形.
师：（点评）我宣布，反方最终获胜，祝贺他们！他们虽然“出师不利”，但最终用证据证实了自己的猜想.特别值得表扬的是，他们敢于在课堂上提出不同的想法！
反思 学生出现错误是参与学习活动的一种必然现象，此案例中，教师没有急于点拨或“包办代替”，而是把解决问题的主动权还给学生，组织学生开展了一场精彩的辩论比赛.学生在主动参与辩错的过程中，逐渐认识到自己错误的根源，找到解决问题的方法.既加深了对知识的理解与掌握，又提高了思维能力，可谓一举多得！
3 巧设疑点，疑点探疑
“疑”是探求知识的起点，也是启发学生思维的支点.会不会“设疑”也是一个教师教学技巧的表现.南宋理学家朱熹说：“读书无疑者，须教有疑，有疑者，却要无疑，到这里方是长进.”一个教师，在课堂教学时，要注意从“疑”入手，巧设悬念，启发学生思维，引导学生生疑、质疑、解疑.应当指出的是，设疑不同于一般的课堂提问，它不是让学生马上回答，而是设法造成思维上的悬念，使学生暂时处于困惑状态，进而激发解疑的动因和兴趣.
案例3 “四边形”的复习课的教学片断.
图3在“四边形”的复习课的教学中，设计了问题：如图3，△ABC中，已知P是AB边上任一点，PE∥BC，PF∥AC.
问题1：四边形PECF是什么特殊四边形？
问题2：有无可能更特殊？比如矩形？菱形？
学生讨论能否为矩形取决于∠C是否为直角；能否为菱形取决于邻边是否相等，想象P点从上向下移动时四边形PECF哪些变？哪些不变？（从直觉上感觉菱形的存在性）
问题3：谁能迅速找到使四边形PECF变为菱形的点P的位置？
部分学生讨论得出P为AB中点，但必须有AC=BC，但题中不具备此条件，教师继续启发.
问题4：若四边形PECF为菱形，则PC有什么特点？
学生受此启发由此得出点P为∠C的平分线上的点.
问题5：如果AC=BC，应该取AB的中点，还是∠C的角平分线？
学生比较分析，联系等腰三角形“三线合一”的性质，发现两点是同一点.
此时教师继续深化问题，出示以下问题：
问题6：根据以上研究成果，你能把一张三角形纸片折出一个菱形吗？
学生每人一张三角形纸片各自探究、实验，直到成功.
反思 以上复习课围绕四边形的定义、判定、性质展开，有些教师会提问“什么叫平行四边形？性质、判定有哪些？”然后依次再问矩形、菱形、正方形的情况，这样的问题学生虽然可以一一作答，但是四个问题的关系是互相平行的，不能帮助学生对它们进行横向比较.而本例教师的提问设计贴近学生的思维发展，在学生的每个思维障碍处巧妙设疑，不断深化问题，各个问题的解答需要学生全面回顾各个图形的知识，理清它们之间的关系，不仅复习了三角形中位线、等腰三角形的性质，平行四边形、矩形、菱形的判定方法等知识，而且在此过程中学生猜想、质疑、讨论、动手实验，从不同角度探究问题，不断提出问题、解决问题，培养了学生的自主探究、合作交流、动手实践能力和应用数学的能力.
4 巧设重点，重点提升
要上好一节数学课，必须设计好这节课的教学重点，这是提高课堂效率，促使学生发展的前提.这个重点的设计，不仅表现为知识的获得，而且表现为数学思想方法的形成和情感态度价值观的提升.因此，整个教学流程要紧紧围绕这一重点进行，要突出这个重点的效能和作用.
案例4 在学习了“三角形的初步认识”后，教师安排了一节专题课，重点是“任意三角形一边上的高与这条边所对角的平分线的夹角，等于和这条边相邻的两内角差的绝对值的一半”.为了让学生深入地理解和掌握这一结论，教师设计了以下问题.
问题1：如图4，在△ABC中，AD为高，AE为角平分线，∠B=20°，∠C=50°.（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数；（2）∠EAD与∠B、∠C之间有什么关系？
对于问题（2），大多数学生都能得出∠EAD=12（∠C-∠B），可在此基础上引导学生讨论，挖掘此题所隐含的一般性规律.
问题2：将“∠B=20°”改为“∠B=100°”（如图5），其他条件不变，则∠EAD与∠B、∠C之间还有上述关系吗？
学生经过讨论发现，这时∠EAD=12（∠B-∠C），进而意识到∠EAD与∠B、∠C的大小有关.
问题3：将“∠B=20°，∠C=50°”，改为“∠B=m，∠C=n”（假设m、n满足三角形成立的必要条件），其他条件不变，则∠EAD与∠B、∠C之间的关系如何？
图4 图5学生经讨论发现：
①当m=n时，高AD与角平分线AE重合，此时∠EAD=12（m-n）=0°；
②当m
因此，可以借助于绝对值来统一这三种情况，即∠EAD=12|m-n|.
经过对上述问题的探究，学生加深了对此例的认识，并总结出规律：任意三角形一边上的高与这条边所对角的平分线的夹角，等于和这条边相邻的两内角差的绝对值的一半.
趁学生沉浸在成功的喜悦中时，教师又将图形进行了演变，设计以下问题，引导学生讨论，进一步加深学生的理解.
图6 图7 图8问题4：如图6，若将点A沿AE移动到点F，作FD⊥BC，垂足为点D，其他条件不变，那么∠DFE与∠B、∠C之间，是否还具有以上关系？
问题5：如图7，若将点F移动到AE的延长线上，作FD⊥BC，垂足为点D，其他条件不变，那么∠DFE与∠B、∠C之间是否还具有以上关系？
问题6：如图8，若将点F移动到AE的延长线上，作FD⊥BC，垂足为点D，其他条件不变，那么∠DFE与∠B、∠C之间是否还具有以上关系？
通过讨论发现，可以将问题3中所归纳出的规律推广到更一般的情形：在△ABC中，若AE为∠A的平分线，F为直线AE上任一点，FD⊥BC（或BC的延长线），点D为垂足，则∠DFE始终等于∠B与∠C差的绝对值的一半.
反思 案例中，教师巧设教学重点：探索“任意三角形一边上的高与这条边所对角的平分线的夹角，等于和这条边相邻的两内角差的绝对值的一半.”通过设计问题串，引导由特殊到一般、由角度的变化到点的位置的变化依次展开讨论，使学生逐渐认清问题的本质，使学生开阔了视野，增强了求知欲，学生的想象力和创造力得以充分的发挥，同时还教给学生掌握知识、探求知识、运用知识的方法，达到了“举一反三，触类旁通”的效果，并自然地把个别学生的思维成果转化为了全班学生的共同财富.学生不但较好地掌握了基础知识，而且亲身经历了探究发现的学习过程，体会了由特殊到一般研究解决问题的方法，突出了教学的重点，获得了很好的教学效果.
素质教育的第一要义是关注人的发展.在数学教学中，只要教师能做到目中有人，心中有爱，作学生的领航人、引路人，甘为人梯地服务于学生，那么，通过课堂教学中趣点、动点、疑点、重点的巧妙设计，就一定能让课堂教学在精彩生成中充满生机与活力，而真正的素质也一定会在每一位学生身上深深扎根.
