引发学生逆向思维的几种因素
刘家良
思维分正向思维和逆向思维，然而人们思考问题时惯于正向思维，忽视逆向思维的应用，致使思维面狭窄.事实上逆向思维和正向思维二者处于同等地位，而且有些问题若能善于从逆向思维的角度去思考，会使思维变得流畅，问题迎刃而解.现就引发学生逆向思维的几种因素进行分析和归纳，旨在拓宽学生分析和解决问题的渠道，以此培养学生思维的广阔性、深刻性和灵活性.
1 由数、式运算的可逆性引发的逆向思维
是在对已知数、式子的结构特征（可逆性）观察分析的基础上做出的反向思考.在对数、式子正向思维出现困难时，可尝试着去调整思维方向，将定义、法则和性质进行逆用，寻求新的解题路径，是建立逆向思维的一条有效途径.这需要教师引导学生去观察、去类比、去联想.
例1 （5-3）2（8+2）.
分析 大多数学生是遵从先算平方，再按多项式法则展开、合并的程序，是一种正向思维；细心观察，就会发现8+215这个式子能拆成（5）2+（3）2+253，故此它能“分解因式”，所以原式等于（5-3）2（5+3）2，此时再逆用积的乘方公式就可迅速求得结果.
解 （过程略）原式=4.
评析 通过对式子8+215的结构特征的观察与思考，将其“分解”成（5+3）2是一种逆向思维，随后又发现整个式子可逆用积的乘方公式.两次逆向思考使问题的解答变得灵活、简捷，克服了学生的思维定势，使学生的思维视野得以开阔.
例2 （2011年天津中考）若实数x，y，z满足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0.则下列式子一定成立的是（ ）.
A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0
C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0
分析 由题设的结构式可联想到一元二次方程根的判别式，从而得关于p的一元二次方程为（x-y）p2+（x-z）p+y-z=0（x≠y）.通过观察，得-1为该方程的一个根.又由于Δ=0，故方程有两个相等的实数根，即p1=p2=-1.由求根公式，得-1=-（x-z）2（x-y），即z+x-2y=0.特别地，当x=y时，得（x-z）2=0，x=z，于是，x=y=z，对z+x-2y=0而言，依然成立，故此选D.
评析 由已知等式左边的结构特征联想到一元二次方程根的判别式及判别式的值为0，同时发现-1为这个方程的根，反映了学生的类比、联想能力，表现出思维的逆向和创新.
2 由所给结论寻求条件而引发的逆向思维
这种逆向思维多用在多项选择题中.它往往从结论的组成“元素”入手，对每一个元素逐一分析、综合，得出结果，再将结果和结论作比较得出正确选项.
例3 （2013年广安中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc>0，②2a+b=0，③b2-4ac<0，④4a+2b+c>0
其中正确的是（ ）.
A.①③ B.只有② C.②④ D.③④
解析 对选项①，结合图象需要确定系数a、b、c的正、负性，由抛物线开口方向向上，得a>0，依据“左同右异”的规律，得b<0，由抛物线与y轴的正半轴相交，得c>0，故abc<0；选项②，是关于a，b的式子.由-b2a=1，得b=-2a，即2a+b=0；对选项③，欲判断b2-4ac的正、负，需看抛物线和x轴的交点个数.由抛物线和x轴有两个交点，得b2-4ac>0；选项④，4a+2b+c是x=2对应的函数值.根据抛物线的对称性，知抛物线和x轴的右交点的横坐标小于2，故4a+2b+c>0.综上，选C.
3 由图形（图象）运动的相对性引发的逆向思维
解图形或图象的变换问题，若正向思维感到难度较大时，不妨采用动、静转化法（化静为动），有助于开启解题思路.
例4 （2013年衢州中考）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x-1）2-4，则b、c的值为（ ）.
A.b=2，c=-6 B.b=2，c=0
C.b=-6，c=8 D.b=-6，c=2
分析 依据运动的相对性原理，可知抛物线y=（x-1）2-4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，就得抛物线y=x2+bx+c.由于抛物线y=（x-1）2-4的顶点坐标为（1，-4），所以抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（-1，-1），所以y=x2+bx+c=（x+1）2-1=x2+2x，即b=2，c=0，故选B.
4 从问题的反面出发引发的逆向思维
当一个数学问题正面解答受阻时，有时从问题的反面入手，或许能绝处逢生，柳暗花明.
例5 若方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一个方程有实数根，求k的取值范围.
分析 若将“至少有一个方程有实数根”逐一去考察，则会有7种情况，运算繁琐.由于“至少有一个方程有实数根”与“三个方程均无实数根”是对立排斥的，所以可改从这个问题的反面即三个方程均无实根的角度来考虑，即从Δ1，Δ2，Δ3三者均小于0中解出k的取值范围，再从实数中排除这个k的取值范围.
解 由Δ1=8k+9<0，Δ2=8k+12<0，Δ3=20k-15<0，得k<-32.因此当k≥-32时，三个方程中至少有一个方程有实数根.
5 突破惯性束缚引发的逆向思维
5.1 从“配角”变“主角”中引发的逆向思维——“主元”和“辅元”角色的变换.
例6 在关于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数.当a为何值时，方程至少有一个整数根？
分析 因为有“关于x”的字眼，所以大多数学生习惯于用求根公式将x用a的式子表示出来，接下来通过x为整数去求正整数a的值，计算起来繁琐，此时，不妨尝试一下将系数a用未知数x的式子表达，即将a视为未知数，x视为系数，这样关于x的二次方程就变成了关于a的一次方程.
解 由ax2+4ax-2x+4a-7=0，得a（x2+4x+4）-2x-7=0，所以a=2x+7x2+4x+4=2x+7（x+2）2=2（x+2）+3（x+2）2=2x+2+3（x+2）2.
因为a为正整数，x为整数，所以x+2=±1，于是a=5，a=1.
因此，当a=5或1时，原方程至少有一个整数根.
评析 将主角和配角更换一下角色，另辟蹊径，同时变形中穿插了“裂项”法，其本身也是一种逆向思维.
5.2 由内角向外角的转换
例7 一个凸n边形的内角是锐角的角至多有多少个？
分析 此题可用特例法，如n=4时，内角和为360°，内角是锐角的角至多有3个；还可从一个凸n边形的外角入手.因为凸n边形的外角和360°，外角为钝角时至多有3个，而外角为钝角时，则与其相邻的内角为锐角，所以一个凸n边形的内角是锐角的角至多有3个.
6 将问题暂时复杂化——退而求进
例8 比较12-11与10-9的大小.
分析 观察后发现，这两个式子与它们各自的有理化因式的积均为1，此时不妨采用“分子有理化”的方法做一尝试.
解 12-11=12-111=（12-11）（12+11）12+11=112+11，10-9=110+9.因为112+11<110+9，所以12-11<10-9.
综上，引发学生逆向思维的6种因素，都有一个共同之处：用正向思维考虑问题比较费劲时，打破原有的思维定势，反其道而行之，则会有眼前一亮，豁然开朗之感.在教学中，我们证明一个几何问题，常常采用分析法的思路，即从结论入手，要证什么，需证什么，其实就是一种逆向思维.平时引导学生将命题的条件和结论颠倒位置再思考，久之，逆向思维就会逐步形成，从而克服由思维定势带来的负面影响，使思维得以全面开发.
思维分正向思维和逆向思维，然而人们思考问题时惯于正向思维，忽视逆向思维的应用，致使思维面狭窄.事实上逆向思维和正向思维二者处于同等地位，而且有些问题若能善于从逆向思维的角度去思考，会使思维变得流畅，问题迎刃而解.现就引发学生逆向思维的几种因素进行分析和归纳，旨在拓宽学生分析和解决问题的渠道，以此培养学生思维的广阔性、深刻性和灵活性.
1 由数、式运算的可逆性引发的逆向思维
是在对已知数、式子的结构特征（可逆性）观察分析的基础上做出的反向思考.在对数、式子正向思维出现困难时，可尝试着去调整思维方向，将定义、法则和性质进行逆用，寻求新的解题路径，是建立逆向思维的一条有效途径.这需要教师引导学生去观察、去类比、去联想.
例1 （5-3）2（8+2）.
分析 大多数学生是遵从先算平方，再按多项式法则展开、合并的程序，是一种正向思维；细心观察，就会发现8+215这个式子能拆成（5）2+（3）2+253，故此它能“分解因式”，所以原式等于（5-3）2（5+3）2，此时再逆用积的乘方公式就可迅速求得结果.
解 （过程略）原式=4.
评析 通过对式子8+215的结构特征的观察与思考，将其“分解”成（5+3）2是一种逆向思维，随后又发现整个式子可逆用积的乘方公式.两次逆向思考使问题的解答变得灵活、简捷，克服了学生的思维定势，使学生的思维视野得以开阔.
例2 （2011年天津中考）若实数x，y，z满足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0.则下列式子一定成立的是（ ）.
A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0
C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0
分析 由题设的结构式可联想到一元二次方程根的判别式，从而得关于p的一元二次方程为（x-y）p2+（x-z）p+y-z=0（x≠y）.通过观察，得-1为该方程的一个根.又由于Δ=0，故方程有两个相等的实数根，即p1=p2=-1.由求根公式，得-1=-（x-z）2（x-y），即z+x-2y=0.特别地，当x=y时，得（x-z）2=0，x=z，于是，x=y=z，对z+x-2y=0而言，依然成立，故此选D.
评析 由已知等式左边的结构特征联想到一元二次方程根的判别式及判别式的值为0，同时发现-1为这个方程的根，反映了学生的类比、联想能力，表现出思维的逆向和创新.
2 由所给结论寻求条件而引发的逆向思维
这种逆向思维多用在多项选择题中.它往往从结论的组成“元素”入手，对每一个元素逐一分析、综合，得出结果，再将结果和结论作比较得出正确选项.
例3 （2013年广安中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc>0，②2a+b=0，③b2-4ac<0，④4a+2b+c>0
其中正确的是（ ）.
A.①③ B.只有② C.②④ D.③④
解析 对选项①，结合图象需要确定系数a、b、c的正、负性，由抛物线开口方向向上，得a>0，依据“左同右异”的规律，得b<0，由抛物线与y轴的正半轴相交，得c>0，故abc<0；选项②，是关于a，b的式子.由-b2a=1，得b=-2a，即2a+b=0；对选项③，欲判断b2-4ac的正、负，需看抛物线和x轴的交点个数.由抛物线和x轴有两个交点，得b2-4ac>0；选项④，4a+2b+c是x=2对应的函数值.根据抛物线的对称性，知抛物线和x轴的右交点的横坐标小于2，故4a+2b+c>0.综上，选C.
3 由图形（图象）运动的相对性引发的逆向思维
解图形或图象的变换问题，若正向思维感到难度较大时，不妨采用动、静转化法（化静为动），有助于开启解题思路.
例4 （2013年衢州中考）抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x-1）2-4，则b、c的值为（ ）.
A.b=2，c=-6 B.b=2，c=0
C.b=-6，c=8 D.b=-6，c=2
分析 依据运动的相对性原理，可知抛物线y=（x-1）2-4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，就得抛物线y=x2+bx+c.由于抛物线y=（x-1）2-4的顶点坐标为（1，-4），所以抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（-1，-1），所以y=x2+bx+c=（x+1）2-1=x2+2x，即b=2，c=0，故选B.
4 从问题的反面出发引发的逆向思维
当一个数学问题正面解答受阻时，有时从问题的反面入手，或许能绝处逢生，柳暗花明.
例5 若方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一个方程有实数根，求k的取值范围.
分析 若将“至少有一个方程有实数根”逐一去考察，则会有7种情况，运算繁琐.由于“至少有一个方程有实数根”与“三个方程均无实数根”是对立排斥的，所以可改从这个问题的反面即三个方程均无实根的角度来考虑，即从Δ1，Δ2，Δ3三者均小于0中解出k的取值范围，再从实数中排除这个k的取值范围.
解 由Δ1=8k+9<0，Δ2=8k+12<0，Δ3=20k-15<0，得k<-32.因此当k≥-32时，三个方程中至少有一个方程有实数根.
5 突破惯性束缚引发的逆向思维
5.1 从“配角”变“主角”中引发的逆向思维——“主元”和“辅元”角色的变换.
例6 在关于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数.当a为何值时，方程至少有一个整数根？
分析 因为有“关于x”的字眼，所以大多数学生习惯于用求根公式将x用a的式子表示出来，接下来通过x为整数去求正整数a的值，计算起来繁琐，此时，不妨尝试一下将系数a用未知数x的式子表达，即将a视为未知数，x视为系数，这样关于x的二次方程就变成了关于a的一次方程.
解 由ax2+4ax-2x+4a-7=0，得a（x2+4x+4）-2x-7=0，所以a=2x+7x2+4x+4=2x+7（x+2）2=2（x+2）+3（x+2）2=2x+2+3（x+2）2.
因为a为正整数，x为整数，所以x+2=±1，于是a=5，a=1.
因此，当a=5或1时，原方程至少有一个整数根.
评析 将主角和配角更换一下角色，另辟蹊径，同时变形中穿插了“裂项”法，其本身也是一种逆向思维.
5.2 由内角向外角的转换
例7 一个凸n边形的内角是锐角的角至多有多少个？
分析 此题可用特例法，如n=4时，内角和为360°，内角是锐角的角至多有3个；还可从一个凸n边形的外角入手.因为凸n边形的外角和360°，外角为钝角时至多有3个，而外角为钝角时，则与其相邻的内角为锐角，所以一个凸n边形的内角是锐角的角至多有3个.
6 将问题暂时复杂化——退而求进
例8 比较12-11与10-9的大小.
分析 观察后发现，这两个式子与它们各自的有理化因式的积均为1，此时不妨采用“分子有理化”的方法做一尝试.
解 12-11=12-111=（12-11）（12+11）12+11=112+11，10-9=110+9.因为112+11<110+9，所以12-11<10-9.
综上，引发学生逆向思维的6种因素，都有一个共同之处：用正向思维考虑问题比较费劲时，打破原有的思维定势，反其道而行之，则会有眼前一亮，豁然开朗之感.在教学中，我们证明一个几何问题，常常采用分析法的思路，即从结论入手，要证什么，需证什么，其实就是一种逆向思维.平时引导学生将命题的条件和结论颠倒位置再思考，久之，逆向思维就会逐步形成，从而克服由思维定势带来的负面影响，使思维得以全面开发.
