从有效教学出发谈初中数学教学设计的结构
叶旭山
教学设计是教学的预设，是教学的一个关键环节，是教师课前为课堂教学所做出的计划，就象电视剧的脚本一样，是教师进行教学活动的依据.有效的“脚本”可能实现有效的教学效果，反之则不然.大概可以这样认为，教学设计的好坏基本决定了教学生成的质量和课堂教学有效性的高低.下面本人结合参加江苏省教研室重大课题“新课程背景下课堂教学有效性的设计研究”的感受从有效教学出发谈初中数学教学设计的结构.
1有效教学的基本内涵
所谓“有效教学”，主要是指通过教师一段时间的教学之后，学生获得了具体的进步或发展.有效教学即符合教学规律，有效果、有效益的教学.教学是不是有效，不是指教师有没有完成教学的任务，而是指学生有没有学到什么或学得好不好.教育部人文社会科学重点研究基地华东师范大学课程与教学研究所所长、教授、博士生导师钟启泉先生认为“有效教学”就是能促进学生发展的教学，“有效教学”最终的衡量标准就是“学生成长”，而这种成长将不单单用成绩高低来作为衡量标准.所以，如何衡量、评价和把握学生成长是一个相当复杂的问题和巨大的挑战.因此，大家不难发现有效教学关注科学，更关注人文；有效教学关注效率，更关注效用；有效教学关注眼前，更关注长远.因此，有效教学其根本衡量标准应该是学生的发展.
数学有效教学，主要是指教师在达成数学教学目标和满足学生发展需要方面的效益，它是教学的社会价值和个体价值的双重体现.数学课要留下思维，留下数学意识，留下数学思想，留下解决问题的能力.关注学生的进步或发展.关注课堂教学效益，关注可测性或量化，关注教师的反思意识，关注教学策略.教师特征、课堂教学活动的组织、教学环境、教学媒体等是影响有效教学的重要因素.
2教学设计的基本内涵
教学设计是什么？教学设计是教师课前为课堂教学所做出的计划.它是一项较为复杂的智力活动，是教学系统工程的有机组成部分.因为教学不是教者个体的劳动，作为教者不仅要去认识教材，还要思考如何将教材的诸多内容传授给学生，帮助学生积累基础知识，掌握基本技能，丰富内在情感，形成正确的学习观、人生观，为学生的健康成长引航，由此可见教学设计的重要性.
要进行教学设计之前教师必须把握好三个方面：有效地把握学生认知基础，有效地定位教学目标，有效地设计教学过程.美国著名的教学设计研究专家马杰（R.Mager）指出：教学设计依次由三个基本问题组成.首先是“我去哪里”，即教学目标的制订；接着是“我如何去那里”，包括学习者起始状态的分析、教学内容的分析与组织、教学方法与教学媒介的选择；最后是“我怎么判断我已到达了那里”，即教学的评价.教学设计是由目标设计、达成目标的诸要素的分析与设计、教学效果的评价所构成的有机整体.所以，要进行有效的数学教学设计，必须围绕以上三个基本问题展开.
3有效教学理念指导下数学教学设计的结构
从教学实践看，一堂课的效果如何，常常取决于课堂教学设计是否优化.课堂教学设计越合理，各要素之间的相互作用就越协调，课堂教学就会进入最优境界.因此，优化教学结构要求：一是优化智能结构，即具体、明晰、可测的课堂教学目标（它包括认知的容量、思想教育的要点和技能训练的重点）.二是优化时间结构，即在明确教学的主攻方向，摆正教与学、教师与学生、讲解与练习、重点与一般等关系的基础上，合理分配时间.三是优化认知结构，即按人的认识规律安排教学过程，组织学生的认知活动，力求使教学过程符合学生的认识规律，使教师教的思路和学生学的思路合拍，并想方设法为学生创造良好的认知条件.四是优化信息结构，即充分发挥教师的主导作用，确保学生的主体地位，使教学信息传递迅速，反馈及时，师生活动积极，配合默契.五是优化训练结构，即规定训练内容、训练方式、训练步骤，以达到巩固知识、培养能力、发展智力的目的.基于上述有效教学的理念，有效的数学教学设计结构大致包括问题情境、建构活动、数学认识、基础训练、拓展延伸等五个环节.下面从有效的数学教学设计结构的五个方面谈谈教学设计.
3.1问题情境的设计
情境的心理学定义是：“对人有直接刺激作用，有一定的生物学和社会意义的具体环境”，问题情境指为学生的思维创造一种良好的内外条件.其中包括学生所处的内环境（生物学意义）和外环境（社会学意义），以及内外环境相互作用产生的思维渴求和能力水平.“创设问题情境，让学生在情境中学习数学”是《数学课程标准》倡导的一个重要理念.高质量的数学问题情境，不仅可以使抽象的教学内容充满亲和力和吸引力，而且能极大地激发学生的学习兴趣，使数学课堂教学变得富有成效且充满诗意.我们究竟应该如何设计创设高质量的数学问题情境？首先在数学课堂教学中，任何数学问题情境的创设都应该围绕“为课堂教学提供有效的服务”这一根本目标来进行.我们教师必须紧扣课堂的教学内容和学习任务来进行设计数学问题情境，因此问题本身要有一定的数学内涵，体现一定的数学价值，要有一定针对性，与教学内容相辅相成，有“鱼与水”的关联.其次建构主义认为，学习者是基于自身的经验基础来建构新知的.因此，创设数学问题情境的设计要符合学生的认知规律，要符合“最近发展区”理论，教师必须高度关注学生已有的知识和经验（包括生活经验和学习新内容的经验）基础.最后必须考虑问题情境的设计能否引起更多学生的兴趣，引起学生认知的冲突，引起更多学生的深入思考.2008年笔者有幸参加苏科版教材年会，在会议上聆听了南京市梅园中学陆艳老师的一节（苏科版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册第七章第一节）课题为“正切”的说课.下面以此为例谈谈“问题情境”的设计.教师先给出引例，带领学生进入到实际问题的情境中，教师首先提出问题：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？问题的设计一是基于学生的生活背景，梯子的倾斜程度是学生熟悉的生活问题；二是基于学生对“倾斜”的直观感受.然后让学生进行下面的自主探索，通过讨论，尝试从不同角度、用不同方法探究规律，这样的设计易于激发学生学习兴趣.
问题一：如图1（①—⑥），你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
问题二：比较下列图形中倾斜角的大小.
学生在本节课的学习中最大的困难主要是如何自主探究发现到可以用直角边的比值来刻画一个角的大小，为了突破这一难点，设计将实际情境抽象成数学图形，让学生通过讨论，尝试从不同角度、用不同方法探究规律.这样的情境实际包含了两个层次的问题，一个是实际生活的问题，一个是数学内部的问题，由浅入深，由单一到多样，能很好引起学生认知冲突，具有很强的“数学性”，可谓匠心独运.
3.2建构活动的设计
概念是思维的细胞.数学概念是数学的逻辑起点，是学生学习数学知识的基石，也是数学思维的出发点，在数学教学中具有重要地位，数学模型的提炼与建构是数学教学的本质任务.因此教学设计时要对概念的核心及数学模型的本质进行解构.把握概念的核心及数学模型的本质就是把握教学的重点和难点：重点就是在数学知识结构中处于核心地位的那些概念和数学模型的本质及其所反映的思想方法，具体落实在一节课的设计上时，就是相应概念的核心及数学模型的本质；难点就是难于解构的内容，表现为难于理解或难于掌握，或较抽象、或较复杂.难点和重点，有时兼备，有时不同.难，包括学生难学和教师难教，究其本质应该还是难于解构.而难点的解构正是要解决“怎么干”的问题.如果说“教学设计是使天才能够做到的事一般人也能去做”，那么对重难点的解构应该成为教学设计的核心之一.良好的解构，若再有教师旁征博引、循循善诱、精益求精、深入浅出的教学，学生也就能真正体验概念形成的“心路历程”.
下面仍然就在上面谈到的“正切”为例谈谈“建构活动”的设计.上面谈到本课设计的问题情境能很好引起学生认知冲突，具有很强的“数学性”，但同时也具有一定“风险性”，问题的设置障碍性与学生的认知水平是否辩证统一，会不会严重阻碍学生的接受，这就需要通过有效的建构活动的设计才能消除“风险性”，换句话说，本课设计的问题具有较高的挑战性，需要教师根据学生具体情况设置具有一定梯度的建构活动问题串才能达到预设的目的.本课的设计如下：对于学习能力较好的学生可以同时给出这六幅图，这样问题有挑战性，有利于学生理性思维的培养.对于学习能力较低的学生，可以分成三个层次组织探究.首先是在一条直角边相同的情况下进行比较，然后给出两直角边对应成比例的图形进行比较，最后研究两直角边既不相等也不成比例的情况.分类探究，降低了学习难度，有利于学生发现问题的实质，即得出锐角与两直角边的比值存在一一对应的关系.学生在经历观察、思考、交流、归纳等过程感受数形结合的思想方法，从而达到培养学生理性思维的习惯和提高学生运用数学知识解决实际问题的能力的目标.剪下所画的三角形，与同学在小组交流探索中发现：三类情况的验证方法各不相同，第二、三类困难.教师适时引导学生认识到：“分类验证的必要性”，并归纳学生的说理的成果.
这样的建构活动设计让学生有自主探索、合作交流的时间和空间.学生在动手实践和充分的独立思考的基础上如有遇到个人难以独立解决的问题可以小组合作解决，在这个过程中教师深入课堂对学生适时的点拨指导，适时的评价、激励和有度的批评、督促.师生互动，彼此形成一个“学习共同体”.这样的建构活动设计对于“正切”的本质进行解构，把握该数学结论的核心及本质，教师循循善诱、精益求精、深入浅出的教学，学生真正体验了数学结论形成的“心路历程”.
3.3数学认识的设计
数学化即数学模型（概念）的提炼与内化，是教学的重要环节.心理学告诉我们，数学模型（概念）一旦获得如不及时巩固与内化就会遗忘.所以巩固与内化数学模型（概念）概念具有十分重要的意义.在进行教学设计时必须考虑通过多种途径，采用多种不同方法进行分析、讲解，使学生对概念有较透彻的理解.数学模型（概念）本身就较为抽象，加上符号表示，从而使概念更抽象化，因此教学中必须使学生真正理解符号的含义.教师设计时应一开始就帮助学生正确地理解这些符号的意义.另外教师设计时需要充分考虑如何揭示概念的内涵和外延，如何在应用中巩固概念，如何利用承前启后巩固数学模型（概念），如何利用系统归类来巩固数学模型（概念）.
下面仍然就在上面谈到的“正切”为例谈谈“数学认识”的设计.在经历了丰富的自主探索活动之后，学生不难归纳出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定.到此为止可以理解为“建构活动”暂时告一段落.下面的“数学认识”的设计就是如何帮助学生更好地从纯数学的角度理解这一概念，并用数学语言加以描述.设计如下：锐角的对边与这个角的邻边的比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系.由这种一一对应的关系建立函数模型，并用符号化的语言进行描述，即正切的定义：直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA，然后设计如下的内化练习：如图2，求下列直角三角形中锐角A的正切值.第（1）小题可以直接利用定义加以解决，是对定义的正面内化，第（2）小题则不可以直接利用定义加以解决，具有一定的迷惑性，这是通过对定义的辨析达到内化的目的，这样设计层层递进，达到良好的“数学化认识正切”的目的，从而提高课堂教学的有效性.
3.4基础训练的设计
基础训练的设计是数学教学设计的重要环节，主要包括典型例题教学设计与课堂练习的设置.在课堂教学中存在两种倾向，一是过于重视解题和练习，把数学教学等同于解题教学；另一种偏向不太重视例题与练习的作用.前者用大部分时间进行题型训练，结果让机械的模仿代替了主动的分析，死板的记忆代替了理解，具体的解题技巧掩盖了深刻的数学思考.后者则不太注意例题的设计，有的课堂给予例题讲解与习题训练的时间太少，学生听的看的说的机会多了而动脑动笔的机会少了，这种课堂给人一种“发飘”的感觉，学生的数学知识很难转化为能力.在进行课堂教学设计时应该避免以上两种偏向.基础训练的设计中所选例题具有典型性、启发性、创造性和审美性.课本例题一般具有典型性和示范性，设计时要善于对它进行剖析、改造与深化，课堂学习训练的设计要有层次，根据学生的数学学习水平提出不同的训练要求，重视学习训练的质量和效益.笔者有幸参加一次市级公开课的课前设计集体研讨活动，课题是“探索三角形全等的条件（1）”（苏科版数学八年级（上）第一章《全等三角形》第三节的第一课时）.下面结合这一课题谈谈对“基础训练的设计”的认识.
原设计：
例1：如图3，AB=AD，∠BAC=∠DAC，△ABC和△ADC全等吗？为什么？
例2：小明做了一个如图4所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴进行交流.
改后设计：
例1：保留不动
例题变式1：
如果把△ABC和△ADC拉开成如图5形状，若要使得它们全等，还需要什么条件？
例题变式2：
如图6，AB=AD，AC=AE.△ABC和△ADE全等吗？请说明理由.
原设计的两个问题具有一定层次性，例1可直接运用前面探索出“SAS”加以解决，例2是一个具有实际背景的生活问题，首先要将生活问题转化为数学问题（本题转化不难）然后直接运用前面探索出“SAS”加以解决.所选例题具有一定的典型性，但两种图形几乎没有变化，不利于学生分析问题能力的培养.而改后的设计所选例题具有典型性、启发性、创造性，图5可以由图3中的△ADC绕点A逆时针旋转一定的角度得到，图6可以由图5中的△ABC绕点A逆时针旋转∠BAE的角度得到.这种对课本例题进行剖析、改造与深化的“基础性训练”的设计，有助于提高学习训练的质量和效益.
3.5拓展延伸的设计
一堂课拓展延伸题设计得巧妙，对于提高课堂教学效率、优化课堂教学结构，起到画龙点睛的作用，可以让学有余力的学生吃得饱，使学生的思维处于兴奋状态.反之，设计得不恰当，不适度，学生跳一跳也摘不到果子，这样的设计适得其反，弄巧成拙.《数学课程标准》指出：教师应根据学生的学习愿望及其发展的可能性，因材施教.笔者认为，拓展延伸题的安排，必须在教师认真钻研教材，明确本堂课教学目标的基础上来设计.对于不同的课型，不同的教学内容，设计要求也不尽相同.教学设计要有利于培养学生的思维能力，“数学是思维的体操”，教学设计中，教师应注重拓展学生思维的空间，不能让学生只停留对课本的理解和掌握上，要努力扩大学生的视野，设计要达到对知识的巩固和提高.教学设计要有利于培养学生的综合应用能力，有利于培养学生运用知识的能力，有利于提高学生的数学文化素养，有利于完善学生的知识结构.下面结合课题“探索三角形全等的条件（1）”谈谈对“拓展延伸的设计”的认识.
设计一：如图7，是一个可以自由旋转的木制玩具.其中点O为木条AB、CD的中点.调皮的小明过两木条的四个端点拉上一根橡皮筋（如图8）.当小明转动木条AB时，发现了有两段橡皮筋始终保持相等.聪明的您知道是哪两段吗？在一旁的小亮说：“我可以让四段都相等.”你认为有可能吗？
设计二：刚才同学通过自己努力探索出“三角形全等的条件之一：SAS”，下面老师提出一个更有挑战性的问题：“你能探索出两个长方形全等的条件吗？”，你准备如何探索，同学之间交流交流.
上述两种设计都很巧妙，可以让学有余力的学生的思维处于兴奋状态.但仔细品味两种设计却又是指向不同，设计一实际上是在本节课的知识的灵活运用方面做了纵向的拓展，设计二是在本节课的数学活动经验方面做了一次横向的迁移，那一种更有效呢？笔者认为，拓展延伸题的安排，必须在教师认真钻研教材，明确本堂课教学目标的基础上来设计.让我们回到本节课的教学重点：让学生经历探索三角形全等条件的过程，并会用“边角边”这个条件，那到底哪个更重要呢？本节课作为探索三角形全等的条件的第一课时，笔者认为是不是把“探索”当作重中之重更好些？如果是这样，那是不是把设计二当作本节课“拓展延伸”的设计更合适些？
数学高效课堂是科学和艺术的高度统一和完美结合，而教学设计正是通达这种境界的重要载体，它以现代数学教育理论和现代科学技术理论为基础，根据数学教与学的基本规律，编制合理而明确的教学目标，确定教学内容和方法，建立一定的策略体系，合理有效地安排教学活动，努力实现数学课堂教学过程的最优化，因此我们应不断地探索数学课堂教学设计的有效性，同时充分发挥它的艺术价值，不断地创新，追求数学课堂教学设计的完美境界.
教学设计是教学的预设，是教学的一个关键环节，是教师课前为课堂教学所做出的计划，就象电视剧的脚本一样，是教师进行教学活动的依据.有效的“脚本”可能实现有效的教学效果，反之则不然.大概可以这样认为，教学设计的好坏基本决定了教学生成的质量和课堂教学有效性的高低.下面本人结合参加江苏省教研室重大课题“新课程背景下课堂教学有效性的设计研究”的感受从有效教学出发谈初中数学教学设计的结构.
1有效教学的基本内涵
所谓“有效教学”，主要是指通过教师一段时间的教学之后，学生获得了具体的进步或发展.有效教学即符合教学规律，有效果、有效益的教学.教学是不是有效，不是指教师有没有完成教学的任务，而是指学生有没有学到什么或学得好不好.教育部人文社会科学重点研究基地华东师范大学课程与教学研究所所长、教授、博士生导师钟启泉先生认为“有效教学”就是能促进学生发展的教学，“有效教学”最终的衡量标准就是“学生成长”，而这种成长将不单单用成绩高低来作为衡量标准.所以，如何衡量、评价和把握学生成长是一个相当复杂的问题和巨大的挑战.因此，大家不难发现有效教学关注科学，更关注人文；有效教学关注效率，更关注效用；有效教学关注眼前，更关注长远.因此，有效教学其根本衡量标准应该是学生的发展.
数学有效教学，主要是指教师在达成数学教学目标和满足学生发展需要方面的效益，它是教学的社会价值和个体价值的双重体现.数学课要留下思维，留下数学意识，留下数学思想，留下解决问题的能力.关注学生的进步或发展.关注课堂教学效益，关注可测性或量化，关注教师的反思意识，关注教学策略.教师特征、课堂教学活动的组织、教学环境、教学媒体等是影响有效教学的重要因素.
2教学设计的基本内涵
教学设计是什么？教学设计是教师课前为课堂教学所做出的计划.它是一项较为复杂的智力活动，是教学系统工程的有机组成部分.因为教学不是教者个体的劳动，作为教者不仅要去认识教材，还要思考如何将教材的诸多内容传授给学生，帮助学生积累基础知识，掌握基本技能，丰富内在情感，形成正确的学习观、人生观，为学生的健康成长引航，由此可见教学设计的重要性.
要进行教学设计之前教师必须把握好三个方面：有效地把握学生认知基础，有效地定位教学目标，有效地设计教学过程.美国著名的教学设计研究专家马杰（R.Mager）指出：教学设计依次由三个基本问题组成.首先是“我去哪里”，即教学目标的制订；接着是“我如何去那里”，包括学习者起始状态的分析、教学内容的分析与组织、教学方法与教学媒介的选择；最后是“我怎么判断我已到达了那里”，即教学的评价.教学设计是由目标设计、达成目标的诸要素的分析与设计、教学效果的评价所构成的有机整体.所以，要进行有效的数学教学设计，必须围绕以上三个基本问题展开.
3有效教学理念指导下数学教学设计的结构
从教学实践看，一堂课的效果如何，常常取决于课堂教学设计是否优化.课堂教学设计越合理，各要素之间的相互作用就越协调，课堂教学就会进入最优境界.因此，优化教学结构要求：一是优化智能结构，即具体、明晰、可测的课堂教学目标（它包括认知的容量、思想教育的要点和技能训练的重点）.二是优化时间结构，即在明确教学的主攻方向，摆正教与学、教师与学生、讲解与练习、重点与一般等关系的基础上，合理分配时间.三是优化认知结构，即按人的认识规律安排教学过程，组织学生的认知活动，力求使教学过程符合学生的认识规律，使教师教的思路和学生学的思路合拍，并想方设法为学生创造良好的认知条件.四是优化信息结构，即充分发挥教师的主导作用，确保学生的主体地位，使教学信息传递迅速，反馈及时，师生活动积极，配合默契.五是优化训练结构，即规定训练内容、训练方式、训练步骤，以达到巩固知识、培养能力、发展智力的目的.基于上述有效教学的理念，有效的数学教学设计结构大致包括问题情境、建构活动、数学认识、基础训练、拓展延伸等五个环节.下面从有效的数学教学设计结构的五个方面谈谈教学设计.
3.1问题情境的设计
情境的心理学定义是：“对人有直接刺激作用，有一定的生物学和社会意义的具体环境”，问题情境指为学生的思维创造一种良好的内外条件.其中包括学生所处的内环境（生物学意义）和外环境（社会学意义），以及内外环境相互作用产生的思维渴求和能力水平.“创设问题情境，让学生在情境中学习数学”是《数学课程标准》倡导的一个重要理念.高质量的数学问题情境，不仅可以使抽象的教学内容充满亲和力和吸引力，而且能极大地激发学生的学习兴趣，使数学课堂教学变得富有成效且充满诗意.我们究竟应该如何设计创设高质量的数学问题情境？首先在数学课堂教学中，任何数学问题情境的创设都应该围绕“为课堂教学提供有效的服务”这一根本目标来进行.我们教师必须紧扣课堂的教学内容和学习任务来进行设计数学问题情境，因此问题本身要有一定的数学内涵，体现一定的数学价值，要有一定针对性，与教学内容相辅相成，有“鱼与水”的关联.其次建构主义认为，学习者是基于自身的经验基础来建构新知的.因此，创设数学问题情境的设计要符合学生的认知规律，要符合“最近发展区”理论，教师必须高度关注学生已有的知识和经验（包括生活经验和学习新内容的经验）基础.最后必须考虑问题情境的设计能否引起更多学生的兴趣，引起学生认知的冲突，引起更多学生的深入思考.2008年笔者有幸参加苏科版教材年会，在会议上聆听了南京市梅园中学陆艳老师的一节（苏科版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册第七章第一节）课题为“正切”的说课.下面以此为例谈谈“问题情境”的设计.教师先给出引例，带领学生进入到实际问题的情境中，教师首先提出问题：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？问题的设计一是基于学生的生活背景，梯子的倾斜程度是学生熟悉的生活问题；二是基于学生对“倾斜”的直观感受.然后让学生进行下面的自主探索，通过讨论，尝试从不同角度、用不同方法探究规律，这样的设计易于激发学生学习兴趣.
问题一：如图1（①—⑥），你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
问题二：比较下列图形中倾斜角的大小.
学生在本节课的学习中最大的困难主要是如何自主探究发现到可以用直角边的比值来刻画一个角的大小，为了突破这一难点，设计将实际情境抽象成数学图形，让学生通过讨论，尝试从不同角度、用不同方法探究规律.这样的情境实际包含了两个层次的问题，一个是实际生活的问题，一个是数学内部的问题，由浅入深，由单一到多样，能很好引起学生认知冲突，具有很强的“数学性”，可谓匠心独运.
3.2建构活动的设计
概念是思维的细胞.数学概念是数学的逻辑起点，是学生学习数学知识的基石，也是数学思维的出发点，在数学教学中具有重要地位，数学模型的提炼与建构是数学教学的本质任务.因此教学设计时要对概念的核心及数学模型的本质进行解构.把握概念的核心及数学模型的本质就是把握教学的重点和难点：重点就是在数学知识结构中处于核心地位的那些概念和数学模型的本质及其所反映的思想方法，具体落实在一节课的设计上时，就是相应概念的核心及数学模型的本质；难点就是难于解构的内容，表现为难于理解或难于掌握，或较抽象、或较复杂.难点和重点，有时兼备，有时不同.难，包括学生难学和教师难教，究其本质应该还是难于解构.而难点的解构正是要解决“怎么干”的问题.如果说“教学设计是使天才能够做到的事一般人也能去做”，那么对重难点的解构应该成为教学设计的核心之一.良好的解构，若再有教师旁征博引、循循善诱、精益求精、深入浅出的教学，学生也就能真正体验概念形成的“心路历程”.
下面仍然就在上面谈到的“正切”为例谈谈“建构活动”的设计.上面谈到本课设计的问题情境能很好引起学生认知冲突，具有很强的“数学性”，但同时也具有一定“风险性”，问题的设置障碍性与学生的认知水平是否辩证统一，会不会严重阻碍学生的接受，这就需要通过有效的建构活动的设计才能消除“风险性”，换句话说，本课设计的问题具有较高的挑战性，需要教师根据学生具体情况设置具有一定梯度的建构活动问题串才能达到预设的目的.本课的设计如下：对于学习能力较好的学生可以同时给出这六幅图，这样问题有挑战性，有利于学生理性思维的培养.对于学习能力较低的学生，可以分成三个层次组织探究.首先是在一条直角边相同的情况下进行比较，然后给出两直角边对应成比例的图形进行比较，最后研究两直角边既不相等也不成比例的情况.分类探究，降低了学习难度，有利于学生发现问题的实质，即得出锐角与两直角边的比值存在一一对应的关系.学生在经历观察、思考、交流、归纳等过程感受数形结合的思想方法，从而达到培养学生理性思维的习惯和提高学生运用数学知识解决实际问题的能力的目标.剪下所画的三角形，与同学在小组交流探索中发现：三类情况的验证方法各不相同，第二、三类困难.教师适时引导学生认识到：“分类验证的必要性”，并归纳学生的说理的成果.
这样的建构活动设计让学生有自主探索、合作交流的时间和空间.学生在动手实践和充分的独立思考的基础上如有遇到个人难以独立解决的问题可以小组合作解决，在这个过程中教师深入课堂对学生适时的点拨指导，适时的评价、激励和有度的批评、督促.师生互动，彼此形成一个“学习共同体”.这样的建构活动设计对于“正切”的本质进行解构，把握该数学结论的核心及本质，教师循循善诱、精益求精、深入浅出的教学，学生真正体验了数学结论形成的“心路历程”.
3.3数学认识的设计
数学化即数学模型（概念）的提炼与内化，是教学的重要环节.心理学告诉我们，数学模型（概念）一旦获得如不及时巩固与内化就会遗忘.所以巩固与内化数学模型（概念）概念具有十分重要的意义.在进行教学设计时必须考虑通过多种途径，采用多种不同方法进行分析、讲解，使学生对概念有较透彻的理解.数学模型（概念）本身就较为抽象，加上符号表示，从而使概念更抽象化，因此教学中必须使学生真正理解符号的含义.教师设计时应一开始就帮助学生正确地理解这些符号的意义.另外教师设计时需要充分考虑如何揭示概念的内涵和外延，如何在应用中巩固概念，如何利用承前启后巩固数学模型（概念），如何利用系统归类来巩固数学模型（概念）.
下面仍然就在上面谈到的“正切”为例谈谈“数学认识”的设计.在经历了丰富的自主探索活动之后，学生不难归纳出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定.到此为止可以理解为“建构活动”暂时告一段落.下面的“数学认识”的设计就是如何帮助学生更好地从纯数学的角度理解这一概念，并用数学语言加以描述.设计如下：锐角的对边与这个角的邻边的比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系.由这种一一对应的关系建立函数模型，并用符号化的语言进行描述，即正切的定义：直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比称为∠A的正切，记作tanA，然后设计如下的内化练习：如图2，求下列直角三角形中锐角A的正切值.第（1）小题可以直接利用定义加以解决，是对定义的正面内化，第（2）小题则不可以直接利用定义加以解决，具有一定的迷惑性，这是通过对定义的辨析达到内化的目的，这样设计层层递进，达到良好的“数学化认识正切”的目的，从而提高课堂教学的有效性.
3.4基础训练的设计
基础训练的设计是数学教学设计的重要环节，主要包括典型例题教学设计与课堂练习的设置.在课堂教学中存在两种倾向，一是过于重视解题和练习，把数学教学等同于解题教学；另一种偏向不太重视例题与练习的作用.前者用大部分时间进行题型训练，结果让机械的模仿代替了主动的分析，死板的记忆代替了理解，具体的解题技巧掩盖了深刻的数学思考.后者则不太注意例题的设计，有的课堂给予例题讲解与习题训练的时间太少，学生听的看的说的机会多了而动脑动笔的机会少了，这种课堂给人一种“发飘”的感觉，学生的数学知识很难转化为能力.在进行课堂教学设计时应该避免以上两种偏向.基础训练的设计中所选例题具有典型性、启发性、创造性和审美性.课本例题一般具有典型性和示范性，设计时要善于对它进行剖析、改造与深化，课堂学习训练的设计要有层次，根据学生的数学学习水平提出不同的训练要求，重视学习训练的质量和效益.笔者有幸参加一次市级公开课的课前设计集体研讨活动，课题是“探索三角形全等的条件（1）”（苏科版数学八年级（上）第一章《全等三角形》第三节的第一课时）.下面结合这一课题谈谈对“基础训练的设计”的认识.
原设计：
例1：如图3，AB=AD，∠BAC=∠DAC，△ABC和△ADC全等吗？为什么？
例2：小明做了一个如图4所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴进行交流.
改后设计：
例1：保留不动
例题变式1：
如果把△ABC和△ADC拉开成如图5形状，若要使得它们全等，还需要什么条件？
例题变式2：
如图6，AB=AD，AC=AE.△ABC和△ADE全等吗？请说明理由.
原设计的两个问题具有一定层次性，例1可直接运用前面探索出“SAS”加以解决，例2是一个具有实际背景的生活问题，首先要将生活问题转化为数学问题（本题转化不难）然后直接运用前面探索出“SAS”加以解决.所选例题具有一定的典型性，但两种图形几乎没有变化，不利于学生分析问题能力的培养.而改后的设计所选例题具有典型性、启发性、创造性，图5可以由图3中的△ADC绕点A逆时针旋转一定的角度得到，图6可以由图5中的△ABC绕点A逆时针旋转∠BAE的角度得到.这种对课本例题进行剖析、改造与深化的“基础性训练”的设计，有助于提高学习训练的质量和效益.
3.5拓展延伸的设计
一堂课拓展延伸题设计得巧妙，对于提高课堂教学效率、优化课堂教学结构，起到画龙点睛的作用，可以让学有余力的学生吃得饱，使学生的思维处于兴奋状态.反之，设计得不恰当，不适度，学生跳一跳也摘不到果子，这样的设计适得其反，弄巧成拙.《数学课程标准》指出：教师应根据学生的学习愿望及其发展的可能性，因材施教.笔者认为，拓展延伸题的安排，必须在教师认真钻研教材，明确本堂课教学目标的基础上来设计.对于不同的课型，不同的教学内容，设计要求也不尽相同.教学设计要有利于培养学生的思维能力，“数学是思维的体操”，教学设计中，教师应注重拓展学生思维的空间，不能让学生只停留对课本的理解和掌握上，要努力扩大学生的视野，设计要达到对知识的巩固和提高.教学设计要有利于培养学生的综合应用能力，有利于培养学生运用知识的能力，有利于提高学生的数学文化素养，有利于完善学生的知识结构.下面结合课题“探索三角形全等的条件（1）”谈谈对“拓展延伸的设计”的认识.
设计一：如图7，是一个可以自由旋转的木制玩具.其中点O为木条AB、CD的中点.调皮的小明过两木条的四个端点拉上一根橡皮筋（如图8）.当小明转动木条AB时，发现了有两段橡皮筋始终保持相等.聪明的您知道是哪两段吗？在一旁的小亮说：“我可以让四段都相等.”你认为有可能吗？
设计二：刚才同学通过自己努力探索出“三角形全等的条件之一：SAS”，下面老师提出一个更有挑战性的问题：“你能探索出两个长方形全等的条件吗？”，你准备如何探索，同学之间交流交流.
上述两种设计都很巧妙，可以让学有余力的学生的思维处于兴奋状态.但仔细品味两种设计却又是指向不同，设计一实际上是在本节课的知识的灵活运用方面做了纵向的拓展，设计二是在本节课的数学活动经验方面做了一次横向的迁移，那一种更有效呢？笔者认为，拓展延伸题的安排，必须在教师认真钻研教材，明确本堂课教学目标的基础上来设计.让我们回到本节课的教学重点：让学生经历探索三角形全等条件的过程，并会用“边角边”这个条件，那到底哪个更重要呢？本节课作为探索三角形全等的条件的第一课时，笔者认为是不是把“探索”当作重中之重更好些？如果是这样，那是不是把设计二当作本节课“拓展延伸”的设计更合适些？
数学高效课堂是科学和艺术的高度统一和完美结合，而教学设计正是通达这种境界的重要载体，它以现代数学教育理论和现代科学技术理论为基础，根据数学教与学的基本规律，编制合理而明确的教学目标，确定教学内容和方法，建立一定的策略体系，合理有效地安排教学活动，努力实现数学课堂教学过程的最优化，因此我们应不断地探索数学课堂教学设计的有效性，同时充分发挥它的艺术价值，不断地创新，追求数学课堂教学设计的完美境界.
