基于“学为中心”的概念教学优化策略
吴志权 张红
数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，是进行数学思维的基本单位.众所周知，学生获得概念的方式有两种：一种是由学生从大量同类事物的不同例证中独立发现其共同的关键属性，叫做概念形成；一种是用定义的方式向学生直接揭示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，叫做概念同化.无论是哪一种概念获得方式，对学生而言，概念都是抽象的，要让学生顺利获得概念、理解概念、应用概念，就需要教师以“学为中心”的理念进行精心的教学设计.
1数学概念教学的现状分析
1.1概念引入过程缩水
图1为了解一线教师在常态课中对概念引入过程的具体操作，笔者对不同学校的近100位数学教师进行了走访，并对走访结果绘制成图（图1）.可以看出，许多教师在概念教学中将探究过程一笔带过，匆忙地帮助学生获得概念，将课堂中心放在如何运用所学知识解决问题上，课堂时间的分配向例、习题教学倾斜，使学生对概念理解不到位.
1.2概念理解程度不深
在概念引入后，通常要进行概念的辨析.但常有流于表面的现象，或不能抓住概念的本质属性进行问题设计，这不仅不能帮助学生理解，还会干扰学生对数学概念本质属性的把握.学生既不能对所学概念进行巩固，又不能很好地把新概念纳入到自身的知识体系中，不利于数学能力的提高.
1.3概念应用层次不明
对于概念的应用，较多的做法是进行习题练习，习题的设置考虑题目本身的难易程度，但对数学概念的应用体现却是层次不明.此时，教师更多地关注解题思路的点拨，方法的归纳和思想的渗透，对数学概念应用层次常常是淡忘的.这对学生解题思路的形成是不利的，对数学思维的培养也是不足的.
2数学概念教学的优化策略
数学概念对学生来说是抽象的，不易理解的，简单的说教只能让学生知其然而不知其所以然.要让学生能对数学概念融会贯通，教师要做好向导，而导向工具当然是精心的问题设计.从概念的引入、概念的理解和概念的应用三方面谈一下概念教学的优化策略.
2.1概念引入的优化策略
数学概念教学的关键在于概念的引入，概念的引入要从学生的数学现实和学生熟悉的生活背景出发进行设计，引入要合理自然.
策略1实例引入，抽象本质
数学许多概念是从实际生活中抽象出来的，在数学教学中要引导学生观察实物和模型，让学生在感性认知的基础上，抓住事物的共同特点，建立概念.
案例浙教版八（上）52《函数（1）》，关于函数的概念.
给出三个实际问题（水杯中水的体积和水的高度，温度随时间的变化，20米长的绳子围成长方形的面积和长），每个实例出现都这样提问：
问题1：在这个变化过程中，有几个变量，分别是什么？
问题2：给定其中一个变量的值，另一个变量相应的有几个值？
问题3：以上每个变化过程中，共同特点是什么？
如此，学生较好地抓住了函数概念的两个本质属性：两个变量；一个变量确定，另一个变量唯一确定.此时抽象出函数的概念已是水到渠成.当然，通过实例抽象引入概念时，所举实例必须是学生生活中见过或有所接触的，对于学生不熟悉的实例，是很难抽象出概念的.
策略2推广引入，关注合理
通过对已有概念进行推广而引入新的概念，是一种相关归属学习.通常是将数学概念从小领域推广到大领域（如相反数由有理数到实数），或是从特殊到一般的发展过程（如勾股定理的探索），这体现了概念间的联系和概念的深化.
在运用概念的推广来引入新概念时，要通过问题设计说明推广的合理性.因此，在进行问题设计时，要关注如何引导才能使推广顺理成章，而非牵强附会.
案例浙教版七（上）《有理数加法（2）》，关于运算律的概念.
问题1：小学时，已经学习过加法交换律和结合律，你能举例说一说吗？
问题2：它们在有理数范围内还成立吗？利用
（-3）+（-4），（-3）+4+（-5）尝试一下？
问题3：换两个不同的算式试一试，结果如何？和同桌交流，说说你的发现.
事实上，按课本合作学习进行引导，虽有一定趣味性，却让问题指向不明确.加法的交换律和结合律学生并不陌生，只是数系进行了扩充，在概念引入时问题的设计应关注其合理性，让学生在有理数的范围内接受两个运算律.
策略3类比引入，求同存异
当新概念与已有概念有相似之处时，可以采用类比的方法引入新概念.我们知道，概念是对同类事物的共同、本质属性的抽象.例如，一元一次方程的本质属性有等号左右两边为整式、只含有一个未知数、未知数的指数是一次.以问题类比引入概念，新概念的本质属性和旧概念的本质属性通常大同小异，因此问题设计要把握“同”，更要关注“异”，才能有效类比得出新概念.
案例浙教版七（下）《二元一次方程》，关于二元一次方程的概念.
通过实际问题，得出几个方程，设计下列问题：
问题1：一元一次方程具有哪些特征？
问题2：06x+08y=38，2a=3b+20是一元一次方程吗？
问题3：它们不具备一元一次方程的哪个特征？
问题4：你能类比一元一次方程给它们命名吗？
通过类比，学生较清晰地对新概念的本质属性把握住了，在对同类概念进行了比较的同时，既有助于新概念的掌握，又对旧概念进一步理解.这种概念教学方式是我们常用的方式之一，在进行问题设计时，要引导学生发现相同和不同，将相同迁移过来，在不同处做文章，最后得出概念.
2.2概念理解的优化策略
学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物共同、关键属性的过程.在进行概念理解的问题设计时，要厘清概念的本质属性（关键属性）和无关属性，进行合理运用，可以有效地帮助学生理解概念.例如，同类项的本质属性是字母相同和相同字母的指数相同，而系数和字母的位置则是它的无关属性.数学概念理解的问题设计可以从以下四方面入手：
策略1以本质属性切入
实践表明，概念的本质属性越明显，学习越容易，非本质属性越多、越明显，学习越困难.为了让学生抓住概念的本质属性，对概念进一步理解，我们常采用扩大本质属性的办法，减少学习困难，也就是常说的概念辨析.
案例浙教版九（上）《圆周角》，关于圆周角概念的理解.
圆周角有两个本质属性：顶点在圆上，两边和圆相交.为了突出本质属性，设计问题：下列各图形（图2）中的角是不是圆周角，并说明理由.
图2通过改变本质属性，突出本质属性在概念中的作用，让学生对概念转换角度从新审视.在问题设计中，不能简单地让学生判断是否符合概念，还得让学生说出缘由.学生说理由的过程实际上是对概念的理解和内化过程.
策略2以无关属性切入
数学概念中的无关属性往往是干扰学生理解概念的重要因素，在概念教学中要借力打牛，借助无关属性来衬托本质属性.通过变更对象的无关属性和表现形式，变更观察实物的角度和方法，让概念的本质属性更加凸显.通常意义上的变式就是这个原理.
案例浙教版八（下）《反比例函数》，关于反比例函数概念的理解.
问题1：下列函数是y关于x的反比例函数吗？
①y=23x，②y=π-x，③y=3x-1
问题2：y=2xm-1是y关于x的反比例函数，则m=.
学生在解决这类问题时，就不得不从概念的本质属性入手.例如，要解决案例中的问题，学生就不能从形式上看出了，而是必须抓住反比例函数的两个变量成反比这一本质去判断.这样，学生对概念的无关属性也会淡化，逐步消除其对概念学习的影响.
策略3以关联属性切入
有些新概念与旧概念之间是有联系的，通过对新旧概念的属性比较，揭示他们之间的联系，从而把新概念纳入到学生原有的认知结构中，使新概念得到同化，形成新的认知结构.在新旧概念的联系中寻找它们的异同，能有效帮助学生区分概念，为概念的灵活运用提供保障.
案例浙教版八（上）《探索勾股定理》，关于“勾股定理的逆定理”的理解.
问题1：勾股定理的条件是什么？结论是什么？勾股定理的作用是什么？
问题2：勾股定理的逆定理的条件是什么？结论是什么？它的作用是什么？
问题3：它们之间有什么联系？
正确地理解和掌握数学概念是极为重要的，这是提高数学学习能力的基础.无论从哪个角度设计问题促进概念理解，都是为了突出概念的关键属性.
2.3概念应用的优化策略
概念应用在概念教学中是最容易被忽视的一个环节，许多教师将它等同与例、习题的讲解，这显然是不全面的.一般来说，概念的应用有两个层次：一是直觉水平上的运用，是指学生在获得同类事物的概念以后，就能辨认这类事物的特例；二是思维水平上的应用，新概念的应用是对所给问题建立已有概念的模型.
策略1以“概念识别”为基础
概念识别主要是对概念的简单运用，比较直接的用概念解决简单问题.可以针对概念中容易出错的地方进行问题设计，问题可以增加一些干扰因素，问题设计的目标应指向弥补对概念的认识不足.
案例浙教版九（上）《二次函数的性质》，关于“最值”概念的应用.
在最值的教学中学生都清楚，当二次项系数a>0时，函数有最小值，在顶点处取到，当二次项系数a<0时，函数有最大值，在顶点处取到.但这一结果隐含着“自变量的取值范围是全体实数”这一前提.为了弥补这一点认识不足，可以设计这样的问题：
求二次函数y=x2-2x-3x≥2的最小值.
由于受到取值范围的限制，就需要判断x=-b2a是否在取值范围内.
在概念应用的第一层次，可以对概念的易错点、易漏点或是概念理解时不到位的地方，进行问题设计.这一层次实际是在应用中寻找概念学习的漏洞.
策略2以“概念应用”为提升
课本中直接运用概念解题的例子很多，教学中要充分利用.同时，对学生不能灵活运用的概念，要设计一些有针对性的问题，通过练习、思考，使学生对概念的理解更深刻、更透彻.灵活应用概念是对概念理解的升华，是从一定高度对概念的重新认识.
数学概念是掌握数学知识的基础，只有透彻理解、把握数学概念，才能做到灵活应用，从概念应用设计问题也是对学生是否理解概念的一种检测.例如，给出抛物线上三个点的横坐标，比较纵坐标的大小.问题设计可以将三点放在对称轴同侧、异侧且函数值相差较大、异侧且函数值相差较小.通过三个问题就可以看出学生对这一概念理解到哪一个层次.
策略3以“概念拓展”为突破
在数学概念教学中，设计一些拓展问题，可以让学生对这些抽象的数学概念得到进一步体验、理解、内化，得到课堂教学所不能抵达的效果.拓展还要把握好相应的度，拓展的过偏、过难，将会增加学生的学习负担.拓展要在掌握知识的基础上，归纳思想方法，把握问题规律，从而达到提升学习能力的目的.
案例浙教版九（上）《二次函数》，关于“抛物线与x轴的交点坐标”.
问题1：求二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标？
问题2：求二次函数y=x2-2x-3的图象与直线y=5的交点坐标？
问题3：若二次函数y=x2-2x-3的图象与直线y=k有交点，求k的取值范围？
3结语
数学概念教学是数学教学中极其重要的一个环节，教师要着力于提高学生对数学概念的把握能力.在概念教学中，我们应以学生为中心，积极引导学生改变学习方式，促进学生自主学习，使学生能认真地思考，积极地寻找解决问题的思路和方法.要达到这一效果，一个重要因素就是教师要设计恰当的问题，架构概念与学生间的桥梁.
参考文献
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]钟淑芳.初中数学概念教学例谈[J].中学课程辅导·教学研究，2012（6）：13～14.
[3]郄利霞.凸显核心——初中数学概念教学的突破口[J].中学数学（初中版），2014（2）：24～25.
[4]吕小兵.重视概念生成，强化数学能力[J].数学教学通讯（初等教育），2014（2）：33～34.
[5]施秋华.有序促进初中数学概念教学更有效[J].理科考试研究·数学版，2013（10）：8.
作者简介吴志权，男，1985年8月生，浙江长兴人，中教一级.曾获湖州市优质课一等奖，多次参与省、市级课题研究，所撰写的论文（案例）多次获奖或发表，曾获县教坛新秀、教学名师等称号.
数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，是进行数学思维的基本单位.众所周知，学生获得概念的方式有两种：一种是由学生从大量同类事物的不同例证中独立发现其共同的关键属性，叫做概念形成；一种是用定义的方式向学生直接揭示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，叫做概念同化.无论是哪一种概念获得方式，对学生而言，概念都是抽象的，要让学生顺利获得概念、理解概念、应用概念，就需要教师以“学为中心”的理念进行精心的教学设计.
1数学概念教学的现状分析
1.1概念引入过程缩水
图1为了解一线教师在常态课中对概念引入过程的具体操作，笔者对不同学校的近100位数学教师进行了走访，并对走访结果绘制成图（图1）.可以看出，许多教师在概念教学中将探究过程一笔带过，匆忙地帮助学生获得概念，将课堂中心放在如何运用所学知识解决问题上，课堂时间的分配向例、习题教学倾斜，使学生对概念理解不到位.
1.2概念理解程度不深
在概念引入后，通常要进行概念的辨析.但常有流于表面的现象，或不能抓住概念的本质属性进行问题设计，这不仅不能帮助学生理解，还会干扰学生对数学概念本质属性的把握.学生既不能对所学概念进行巩固，又不能很好地把新概念纳入到自身的知识体系中，不利于数学能力的提高.
1.3概念应用层次不明
对于概念的应用，较多的做法是进行习题练习，习题的设置考虑题目本身的难易程度，但对数学概念的应用体现却是层次不明.此时，教师更多地关注解题思路的点拨，方法的归纳和思想的渗透，对数学概念应用层次常常是淡忘的.这对学生解题思路的形成是不利的，对数学思维的培养也是不足的.
2数学概念教学的优化策略
数学概念对学生来说是抽象的，不易理解的，简单的说教只能让学生知其然而不知其所以然.要让学生能对数学概念融会贯通，教师要做好向导，而导向工具当然是精心的问题设计.从概念的引入、概念的理解和概念的应用三方面谈一下概念教学的优化策略.
2.1概念引入的优化策略
数学概念教学的关键在于概念的引入，概念的引入要从学生的数学现实和学生熟悉的生活背景出发进行设计，引入要合理自然.
策略1实例引入，抽象本质
数学许多概念是从实际生活中抽象出来的，在数学教学中要引导学生观察实物和模型，让学生在感性认知的基础上，抓住事物的共同特点，建立概念.
案例浙教版八（上）52《函数（1）》，关于函数的概念.
给出三个实际问题（水杯中水的体积和水的高度，温度随时间的变化，20米长的绳子围成长方形的面积和长），每个实例出现都这样提问：
问题1：在这个变化过程中，有几个变量，分别是什么？
问题2：给定其中一个变量的值，另一个变量相应的有几个值？
问题3：以上每个变化过程中，共同特点是什么？
如此，学生较好地抓住了函数概念的两个本质属性：两个变量；一个变量确定，另一个变量唯一确定.此时抽象出函数的概念已是水到渠成.当然，通过实例抽象引入概念时，所举实例必须是学生生活中见过或有所接触的，对于学生不熟悉的实例，是很难抽象出概念的.
策略2推广引入，关注合理
通过对已有概念进行推广而引入新的概念，是一种相关归属学习.通常是将数学概念从小领域推广到大领域（如相反数由有理数到实数），或是从特殊到一般的发展过程（如勾股定理的探索），这体现了概念间的联系和概念的深化.
在运用概念的推广来引入新概念时，要通过问题设计说明推广的合理性.因此，在进行问题设计时，要关注如何引导才能使推广顺理成章，而非牵强附会.
案例浙教版七（上）《有理数加法（2）》，关于运算律的概念.
问题1：小学时，已经学习过加法交换律和结合律，你能举例说一说吗？
问题2：它们在有理数范围内还成立吗？利用
（-3）+（-4），（-3）+4+（-5）尝试一下？
问题3：换两个不同的算式试一试，结果如何？和同桌交流，说说你的发现.
事实上，按课本合作学习进行引导，虽有一定趣味性，却让问题指向不明确.加法的交换律和结合律学生并不陌生，只是数系进行了扩充，在概念引入时问题的设计应关注其合理性，让学生在有理数的范围内接受两个运算律.
策略3类比引入，求同存异
当新概念与已有概念有相似之处时，可以采用类比的方法引入新概念.我们知道，概念是对同类事物的共同、本质属性的抽象.例如，一元一次方程的本质属性有等号左右两边为整式、只含有一个未知数、未知数的指数是一次.以问题类比引入概念，新概念的本质属性和旧概念的本质属性通常大同小异，因此问题设计要把握“同”，更要关注“异”，才能有效类比得出新概念.
案例浙教版七（下）《二元一次方程》，关于二元一次方程的概念.
通过实际问题，得出几个方程，设计下列问题：
问题1：一元一次方程具有哪些特征？
问题2：06x+08y=38，2a=3b+20是一元一次方程吗？
问题3：它们不具备一元一次方程的哪个特征？
问题4：你能类比一元一次方程给它们命名吗？
通过类比，学生较清晰地对新概念的本质属性把握住了，在对同类概念进行了比较的同时，既有助于新概念的掌握，又对旧概念进一步理解.这种概念教学方式是我们常用的方式之一，在进行问题设计时，要引导学生发现相同和不同，将相同迁移过来，在不同处做文章，最后得出概念.
2.2概念理解的优化策略
学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物共同、关键属性的过程.在进行概念理解的问题设计时，要厘清概念的本质属性（关键属性）和无关属性，进行合理运用，可以有效地帮助学生理解概念.例如，同类项的本质属性是字母相同和相同字母的指数相同，而系数和字母的位置则是它的无关属性.数学概念理解的问题设计可以从以下四方面入手：
策略1以本质属性切入
实践表明，概念的本质属性越明显，学习越容易，非本质属性越多、越明显，学习越困难.为了让学生抓住概念的本质属性，对概念进一步理解，我们常采用扩大本质属性的办法，减少学习困难，也就是常说的概念辨析.
案例浙教版九（上）《圆周角》，关于圆周角概念的理解.
圆周角有两个本质属性：顶点在圆上，两边和圆相交.为了突出本质属性，设计问题：下列各图形（图2）中的角是不是圆周角，并说明理由.
图2通过改变本质属性，突出本质属性在概念中的作用，让学生对概念转换角度从新审视.在问题设计中，不能简单地让学生判断是否符合概念，还得让学生说出缘由.学生说理由的过程实际上是对概念的理解和内化过程.
策略2以无关属性切入
数学概念中的无关属性往往是干扰学生理解概念的重要因素，在概念教学中要借力打牛，借助无关属性来衬托本质属性.通过变更对象的无关属性和表现形式，变更观察实物的角度和方法，让概念的本质属性更加凸显.通常意义上的变式就是这个原理.
案例浙教版八（下）《反比例函数》，关于反比例函数概念的理解.
问题1：下列函数是y关于x的反比例函数吗？
①y=23x，②y=π-x，③y=3x-1
问题2：y=2xm-1是y关于x的反比例函数，则m=.
学生在解决这类问题时，就不得不从概念的本质属性入手.例如，要解决案例中的问题，学生就不能从形式上看出了，而是必须抓住反比例函数的两个变量成反比这一本质去判断.这样，学生对概念的无关属性也会淡化，逐步消除其对概念学习的影响.
策略3以关联属性切入
有些新概念与旧概念之间是有联系的，通过对新旧概念的属性比较，揭示他们之间的联系，从而把新概念纳入到学生原有的认知结构中，使新概念得到同化，形成新的认知结构.在新旧概念的联系中寻找它们的异同，能有效帮助学生区分概念，为概念的灵活运用提供保障.
案例浙教版八（上）《探索勾股定理》，关于“勾股定理的逆定理”的理解.
问题1：勾股定理的条件是什么？结论是什么？勾股定理的作用是什么？
问题2：勾股定理的逆定理的条件是什么？结论是什么？它的作用是什么？
问题3：它们之间有什么联系？
正确地理解和掌握数学概念是极为重要的，这是提高数学学习能力的基础.无论从哪个角度设计问题促进概念理解，都是为了突出概念的关键属性.
2.3概念应用的优化策略
概念应用在概念教学中是最容易被忽视的一个环节，许多教师将它等同与例、习题的讲解，这显然是不全面的.一般来说，概念的应用有两个层次：一是直觉水平上的运用，是指学生在获得同类事物的概念以后，就能辨认这类事物的特例；二是思维水平上的应用，新概念的应用是对所给问题建立已有概念的模型.
策略1以“概念识别”为基础
概念识别主要是对概念的简单运用，比较直接的用概念解决简单问题.可以针对概念中容易出错的地方进行问题设计，问题可以增加一些干扰因素，问题设计的目标应指向弥补对概念的认识不足.
案例浙教版九（上）《二次函数的性质》，关于“最值”概念的应用.
在最值的教学中学生都清楚，当二次项系数a>0时，函数有最小值，在顶点处取到，当二次项系数a<0时，函数有最大值，在顶点处取到.但这一结果隐含着“自变量的取值范围是全体实数”这一前提.为了弥补这一点认识不足，可以设计这样的问题：
求二次函数y=x2-2x-3x≥2的最小值.
由于受到取值范围的限制，就需要判断x=-b2a是否在取值范围内.
在概念应用的第一层次，可以对概念的易错点、易漏点或是概念理解时不到位的地方，进行问题设计.这一层次实际是在应用中寻找概念学习的漏洞.
策略2以“概念应用”为提升
课本中直接运用概念解题的例子很多，教学中要充分利用.同时，对学生不能灵活运用的概念，要设计一些有针对性的问题，通过练习、思考，使学生对概念的理解更深刻、更透彻.灵活应用概念是对概念理解的升华，是从一定高度对概念的重新认识.
数学概念是掌握数学知识的基础，只有透彻理解、把握数学概念，才能做到灵活应用，从概念应用设计问题也是对学生是否理解概念的一种检测.例如，给出抛物线上三个点的横坐标，比较纵坐标的大小.问题设计可以将三点放在对称轴同侧、异侧且函数值相差较大、异侧且函数值相差较小.通过三个问题就可以看出学生对这一概念理解到哪一个层次.
策略3以“概念拓展”为突破
在数学概念教学中，设计一些拓展问题，可以让学生对这些抽象的数学概念得到进一步体验、理解、内化，得到课堂教学所不能抵达的效果.拓展还要把握好相应的度，拓展的过偏、过难，将会增加学生的学习负担.拓展要在掌握知识的基础上，归纳思想方法，把握问题规律，从而达到提升学习能力的目的.
案例浙教版九（上）《二次函数》，关于“抛物线与x轴的交点坐标”.
问题1：求二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标？
问题2：求二次函数y=x2-2x-3的图象与直线y=5的交点坐标？
问题3：若二次函数y=x2-2x-3的图象与直线y=k有交点，求k的取值范围？
3结语
数学概念教学是数学教学中极其重要的一个环节，教师要着力于提高学生对数学概念的把握能力.在概念教学中，我们应以学生为中心，积极引导学生改变学习方式，促进学生自主学习，使学生能认真地思考，积极地寻找解决问题的思路和方法.要达到这一效果，一个重要因素就是教师要设计恰当的问题，架构概念与学生间的桥梁.
参考文献
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]钟淑芳.初中数学概念教学例谈[J].中学课程辅导·教学研究，2012（6）：13～14.
[3]郄利霞.凸显核心——初中数学概念教学的突破口[J].中学数学（初中版），2014（2）：24～25.
[4]吕小兵.重视概念生成，强化数学能力[J].数学教学通讯（初等教育），2014（2）：33～34.
[5]施秋华.有序促进初中数学概念教学更有效[J].理科考试研究·数学版，2013（10）：8.
作者简介吴志权，男，1985年8月生，浙江长兴人，中教一级.曾获湖州市优质课一等奖，多次参与省、市级课题研究，所撰写的论文（案例）多次获奖或发表，曾获县教坛新秀、教学名师等称号.
