对离散数学课程教学的探索与思考
张军好+胡军浩
[摘 要]离散数学是研究离散量的结构和相互关系的一门重要的基础课程。它可以为数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等专业课程作必要的数学知识准备。同时离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等重要的数学工具。在离散数学教学过程中，教师可根据不同专业的不同要求，合理地选择教学内容的侧重点，同时再结合一些有效的教学方法，可以解决课时少与教学内容繁多的矛盾。
[关键词]离散数学；教学内容；教学方法
[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）04-0009-02
一、离散数学的重要性
离散数学是现代数学的一个重要分支。它是以研究离散量的结构和相互关系为主要目的的一门计算机专业的重要基础课程。它不仅为计算机有关专业课如数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论作必要的数学知识准备，而且为学生今后从事计算机科学各方面的工作提供重要的理论工具。此外离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等重要的数学工具。因此通过对离散数学的学习，学生不但可以为后续课程的学习打下基础，同时还可以进一步培养抽象思维和逻辑推理能力，使自己具有较强的独立学习与工作的能力。
二、教学内容
离散数学课程具有概念多、内容广泛、知识点分、理论性强而不系统、高度抽象等特点。
从着眼于为计算机与自动化等专业的学生的后续课程的学习提供必要的数学工具，同时遵循有利于教学、有利于学生学习、有利于培养学生分析问题和解决问题的能力的原则，离散数学的教学内容从大体系上可以分为四部分：集合论、代数结构（系统论）、图论、数理逻辑论。
（一）集合论
集合论主要包含集合的概念、运算、成员表、分划、关系及其性质、几种重要的二元关系、函数等。集合论在计算机科学、开关理论、有限自动机、形式语言、人工智能等领域有着重要的应用。
（二）代数结构（系统论）
系统论主要包含代数系统、群环域、格与布尔代数。代数系统是研究元素的运算规律和与这些运算相关的理论及定义的各种数学结构的性质，其中群论在代码的差错、纠错及自动机理论等方面有着重要的应用。格与布尔代数在有限自动机、开关理论等方面有着重要的应用。
（三）图论
图论主要包含图的基本概念、图的矩阵表示。有向图、树、有向树、最小生成树、最优树、关键路径、平面图、欧拉图与哈密而顿图等方面的内容。图论在数据结构、形式语言、管理科学、信息论、操作系统、编译程序等方面有着重要的应用。
（四）数理逻辑论
逻辑论主要包含命题、谓词、公式与范式及逻辑推理理论。通过对数理逻辑的学习不但可以培养学生的逻辑推理能力，而且这些理论在机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等方面有着重要的理论应用。
对以上的知识框架体系应本着“精简、实用、够用”的原则，同时根据不同专业要求组织教学内容，并对教学内容进行必要的优化整合。既要考虑到相关内容的层次衔接，又要考虑到与后续课程的联系，同时还要突出重点内容。简而言之，就是既要注意课程内容的纵向与横向联系，又要注意培养学生的分析问题、解决问题的能力。
三、教学方法
（一）推行相互联系式教学
在离散数学的教学过程中，教师不但要传授基本知识及讲授各个知识点的来龙去脉，还要将离散数学最基本的方法及与其他学科的联系讲授给学生。通过典型问题、典型方法的讲解，引导学生对解决问题方法与其他学科进行广泛式联系，提出自己的想法。例如在讲解函数复合时，引导学生注意其与高等数学中的函数复合的区别与联系。
（二）注意培养学生的学习兴趣
我们知道，“兴趣是最好的老师”，因而在离散数学的教学过程中要始终贯彻以培养学生的兴趣来增强学生学习动力的方针，提高学生的学习效果，从而保证教师的教学质量。例如对离散数学中的苏格拉底三段论、哥尼斯堡城七桥问题、周游世界问题、四着色问题等这些典型问题进行透彻的讲解能唤起学生对离散数学的学习欲望，让学生感受到离散数学在现实生活中有着重要而广泛的应用，而不是空洞的理论，同时也让学生感受到数学的美之所在，力量之所在。
（三）注意理论联系实际
在离散数学的教学过程中要始终贯彻理论联系实际的教学理念。例如在集合论部分可以对集合等式与不等式的证明注意集合成员表的应用。在讲解几种特殊的二元关系时要注意与现实生活的事实相联系。例如邻居关系是相容关系，三角形的相似关系是等价关系等。再例如图论中邮路问题是欧拉图问题，通信线路的架设、水渠的布置是最小生成树问题，以及张三、李四、王五说真话问题是逻辑推理问题等。通过对这些现实问题的讲解，学生清楚地认识到离散数学知识与方法可以很好地解决某些现实生活问题，从而体现出离散数学广泛而现实的应用；学生也感受到可以学以致用，进而产生学习的动力，故而学好也就不难了。
（四）注意图示法的应用
在离散数学的教学过程中要注重图形法在某些章节的应用。例如在集合论的部分，表示集合的关系与运算可以利用文氏图来解决；在求关系的幂、关系的传递闭包时可以利用关系图的复合规则来解决。当然在图论部分图形的应用的重要性是不言而喻的。图形法形象直观，图文并茂，在某些情况下可以解决复杂而繁琐的理论问题。
（五）注意生动形象语言的应用
在课堂教学过程中，对于某些知识点的讲解利用生动形象的语言可以使问题简单明了，达到事半功倍的效果。例如在讲解关系复合时可用尾首对应划去法即“过河拆桥”方法来讲解；在画偏序关系的次序图（哈斯图）时可用传递的结点间不连线的语言来讲解；在求最小生成树时可以利用加边法（盖房子）或去边法（拆房子）的语言来讲述；在判断一个偏序集是否是格时，对次序图可以利用只判断平行结点（兄弟结点）的语言来讲解。通过一些生动形象的语言来讲解某些难点问题，可以使问题深入浅出，让学生形成深刻的记忆，从而不容易忘记。
（六）注意反例法与类比法的应用
在离散数学教学过程中，正面掌握和理解知识点当然重要，但在某些情况下，适当引入一些反例可以指出某些知识点的此正彼非，以反辅正。利用反例可帮助学生辨别复杂概念，深化知识理解，建立起主动思考和学习的模式，从而提高学习效果。另一方面，在教学过程中还要注意类比法的应用。例如将集合论中的集合运算的十条定律与布尔代数以及逻辑论中的运算定律、命题公式的运算定律做类比可以发现它们基本是相同的。这样通过类比教学，可以有效简化知识的学习和证明，从而使学生学起来更轻松、更有效。
（七）注意现代化教学手段的应用
一方面，有效利用多媒体教学，可以使一些知识点在教授过程中更加形象、直观、有效。例如在某些算法编程演算时，教师可以充分利用多媒体进行演示、演算，使学生理解起来更轻松，学习起来更有效。另一方面，要充分利用网络资源建立网络课堂。将离散数学的教学资料上传网络，包含教学大纲、考试大纲、教学计划、教学重点难点、课件习题以及主要的算法演示。将这些内容上传网络，建立起教师与学生的课下交流平台，以最大限度地满足学生的课外学习要求，从而达到及时交流问题、及时发现问题、及时解决问题的目的。
四、结语
经过以上阐述，我们可以看出，在离散数学教学过程中，教师可根据不同专业的不同要求，合理地选择教学内容的侧重点，同时再结合一些有效的教学方法，可以解决课时少与教学内容繁多的矛盾。总而言之，通过对教学内容的合理选择以及教学方法的有效实施，可以培养学生的学习兴趣，提高学生分析问题、解决問题的能力，进而提高教师的教学效果，保证课程的教学质量。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 洪帆.离散数学基础[M].武汉：华中科技大学出版社，2013.
[2] 左孝凌，李为监，刘永才.离散数学[M].上海：上海科学献出版社，2012.
[3] 傅彦.离散数学教学方法系列讨论[J].电子高等教育的理论与实践，2002（2）：225-230.
[4] 屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，1999.
[责任编辑：刘凤华]
[摘 要]离散数学是研究离散量的结构和相互关系的一门重要的基础课程。它可以为数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等专业课程作必要的数学知识准备。同时离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等重要的数学工具。在离散数学教学过程中，教师可根据不同专业的不同要求，合理地选择教学内容的侧重点，同时再结合一些有效的教学方法，可以解决课时少与教学内容繁多的矛盾。
[关键词]离散数学；教学内容；教学方法
[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）04-0009-02
一、离散数学的重要性
离散数学是现代数学的一个重要分支。它是以研究离散量的结构和相互关系为主要目的的一门计算机专业的重要基础课程。它不仅为计算机有关专业课如数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论作必要的数学知识准备，而且为学生今后从事计算机科学各方面的工作提供重要的理论工具。此外离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等重要的数学工具。因此通过对离散数学的学习，学生不但可以为后续课程的学习打下基础，同时还可以进一步培养抽象思维和逻辑推理能力，使自己具有较强的独立学习与工作的能力。
二、教学内容
离散数学课程具有概念多、内容广泛、知识点分、理论性强而不系统、高度抽象等特点。
从着眼于为计算机与自动化等专业的学生的后续课程的学习提供必要的数学工具，同时遵循有利于教学、有利于学生学习、有利于培养学生分析问题和解决问题的能力的原则，离散数学的教学内容从大体系上可以分为四部分：集合论、代数结构（系统论）、图论、数理逻辑论。
（一）集合论
集合论主要包含集合的概念、运算、成员表、分划、关系及其性质、几种重要的二元关系、函数等。集合论在计算机科学、开关理论、有限自动机、形式语言、人工智能等领域有着重要的应用。
（二）代数结构（系统论）
系统论主要包含代数系统、群环域、格与布尔代数。代数系统是研究元素的运算规律和与这些运算相关的理论及定义的各种数学结构的性质，其中群论在代码的差错、纠错及自动机理论等方面有着重要的应用。格与布尔代数在有限自动机、开关理论等方面有着重要的应用。
（三）图论
图论主要包含图的基本概念、图的矩阵表示。有向图、树、有向树、最小生成树、最优树、关键路径、平面图、欧拉图与哈密而顿图等方面的内容。图论在数据结构、形式语言、管理科学、信息论、操作系统、编译程序等方面有着重要的应用。
（四）数理逻辑论
逻辑论主要包含命题、谓词、公式与范式及逻辑推理理论。通过对数理逻辑的学习不但可以培养学生的逻辑推理能力，而且这些理论在机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计等方面有着重要的理论应用。
对以上的知识框架体系应本着“精简、实用、够用”的原则，同时根据不同专业要求组织教学内容，并对教学内容进行必要的优化整合。既要考虑到相关内容的层次衔接，又要考虑到与后续课程的联系，同时还要突出重点内容。简而言之，就是既要注意课程内容的纵向与横向联系，又要注意培养学生的分析问题、解决问题的能力。
三、教学方法
（一）推行相互联系式教学
在离散数学的教学过程中，教师不但要传授基本知识及讲授各个知识点的来龙去脉，还要将离散数学最基本的方法及与其他学科的联系讲授给学生。通过典型问题、典型方法的讲解，引导学生对解决问题方法与其他学科进行广泛式联系，提出自己的想法。例如在讲解函数复合时，引导学生注意其与高等数学中的函数复合的区别与联系。
（二）注意培养学生的学习兴趣
我们知道，“兴趣是最好的老师”，因而在离散数学的教学过程中要始终贯彻以培养学生的兴趣来增强学生学习动力的方针，提高学生的学习效果，从而保证教师的教学质量。例如对离散数学中的苏格拉底三段论、哥尼斯堡城七桥问题、周游世界问题、四着色问题等这些典型问题进行透彻的讲解能唤起学生对离散数学的学习欲望，让学生感受到离散数学在现实生活中有着重要而广泛的应用，而不是空洞的理论，同时也让学生感受到数学的美之所在，力量之所在。
（三）注意理论联系实际
在离散数学的教学过程中要始终贯彻理论联系实际的教学理念。例如在集合论部分可以对集合等式与不等式的证明注意集合成员表的应用。在讲解几种特殊的二元关系时要注意与现实生活的事实相联系。例如邻居关系是相容关系，三角形的相似关系是等价关系等。再例如图论中邮路问题是欧拉图问题，通信线路的架设、水渠的布置是最小生成树问题，以及张三、李四、王五说真话问题是逻辑推理问题等。通过对这些现实问题的讲解，学生清楚地认识到离散数学知识与方法可以很好地解决某些现实生活问题，从而体现出离散数学广泛而现实的应用；学生也感受到可以学以致用，进而产生学习的动力，故而学好也就不难了。
（四）注意图示法的应用
在离散数学的教学过程中要注重图形法在某些章节的应用。例如在集合论的部分，表示集合的关系与运算可以利用文氏图来解决；在求关系的幂、关系的传递闭包时可以利用关系图的复合规则来解决。当然在图论部分图形的应用的重要性是不言而喻的。图形法形象直观，图文并茂，在某些情况下可以解决复杂而繁琐的理论问题。
（五）注意生动形象语言的应用
在课堂教学过程中，对于某些知识点的讲解利用生动形象的语言可以使问题简单明了，达到事半功倍的效果。例如在讲解关系复合时可用尾首对应划去法即“过河拆桥”方法来讲解；在画偏序关系的次序图（哈斯图）时可用传递的结点间不连线的语言来讲解；在求最小生成树时可以利用加边法（盖房子）或去边法（拆房子）的语言来讲述；在判断一个偏序集是否是格时，对次序图可以利用只判断平行结点（兄弟结点）的语言来讲解。通过一些生动形象的语言来讲解某些难点问题，可以使问题深入浅出，让学生形成深刻的记忆，从而不容易忘记。
（六）注意反例法与类比法的应用
在离散数学教学过程中，正面掌握和理解知识点当然重要，但在某些情况下，适当引入一些反例可以指出某些知识点的此正彼非，以反辅正。利用反例可帮助学生辨别复杂概念，深化知识理解，建立起主动思考和学习的模式，从而提高学习效果。另一方面，在教学过程中还要注意类比法的应用。例如将集合论中的集合运算的十条定律与布尔代数以及逻辑论中的运算定律、命题公式的运算定律做类比可以发现它们基本是相同的。这样通过类比教学，可以有效简化知识的学习和证明，从而使学生学起来更轻松、更有效。
（七）注意现代化教学手段的应用
一方面，有效利用多媒体教学，可以使一些知识点在教授过程中更加形象、直观、有效。例如在某些算法编程演算时，教师可以充分利用多媒体进行演示、演算，使学生理解起来更轻松，学习起来更有效。另一方面，要充分利用网络资源建立网络课堂。将离散数学的教学资料上传网络，包含教学大纲、考试大纲、教学计划、教学重点难点、课件习题以及主要的算法演示。将这些内容上传网络，建立起教师与学生的课下交流平台，以最大限度地满足学生的课外学习要求，从而达到及时交流问题、及时发现问题、及时解决问题的目的。
四、结语
经过以上阐述，我们可以看出，在离散数学教学过程中，教师可根据不同专业的不同要求，合理地选择教学内容的侧重点，同时再结合一些有效的教学方法，可以解决课时少与教学内容繁多的矛盾。总而言之，通过对教学内容的合理选择以及教学方法的有效实施，可以培养学生的学习兴趣，提高学生分析问题、解决問题的能力，进而提高教师的教学效果，保证课程的教学质量。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 洪帆.离散数学基础[M].武汉：华中科技大学出版社，2013.
[2] 左孝凌，李为监，刘永才.离散数学[M].上海：上海科学献出版社，2012.
[3] 傅彦.离散数学教学方法系列讨论[J].电子高等教育的理论与实践，2002（2）：225-230.
[4] 屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].北京：清华大学出版社，1999.
[责任编辑：刘凤华]
