寓“过程教育”于“探索确定位置的方法”的教学探索及点评
胡奇观+邬云德
1 课例的背景
“过程教育”是旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后的反思过程的育人活动.“探索确定位置的方法”是浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第4章第1节的内容.其涉及的坐标思想和确定位置的方法是学习“图形与坐标”、“函数与图象”和“曲线与方程”的理论基础.生成确定位置的方法的过程、用生成的方法解决两类基本问题的过程和蕴含的数形结合思想、一一对应思想、符号表示思想等，对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响.基于“过程教育”的“探索确定位置的方法”的教学应该怎样操作以发挥其蕴含的教育价值？笔者在反思性研究的基础上对这节课的教学进行了设计，并在象山县骨干教师带徒活动中进行了实践验证，课后获得了观课老师的广泛好评.现把它整理出来，以飨读者.
2 教学实录
环节1 经历再认确定物体位置的过程——渗透坐标思想
师：生活中经常需要确定物体的位置，如棋盘上棋子的位置，影院里的座位，城市地图上车站、学校、医院、风景区的位置，我国钓鱼岛的位置等.
师：图1是象山丹城某区域局部示意图（表示各单位的点正好在正方形网格的格点上），假定小正方形的边长为1个单位长度.问：怎样描述象山中学的位置？请你用已有的知识与经验提供尽可能多的方法.（提示：参照物具有不唯一性，描述方式具有多样性，数对次序具有规定性）
生1：从财富中心出发，先向东走11个单位
长度，再向北走4个单位长度.
师：不错！可用有序数对（11，4）来表示象
山中学的位置.
生2：从财富中心出发，先向北走4个单位
长度，再向东走11个单位长度.
师：不错！也可用有序数对（4，11）来表示象山中学的位置.
生3：从丹城中学出发，向北走4个单位长度.
师：不错！也可用有序数对（0，4）来表示象山中学的位置.
生4：从大润发出发，先向东走9个单位长度，再向北走2个单位长度.
师：不错！也可用有序数对（9，2）来表示象山中学的位置.
生5：有多种描述方法.因为参照物具有不唯一性，并且有两种走的方式.
生6：即使选择同一个参照物，也有不同的描述方法.因为可以用“距离和距离”的方式来描述；也可以用“方向和距离”的方式来描述；又可以用“角度和角度”的方式来描述.
师：很好！这就是说，当参照物、描述方式、数对次序不确定时，就会产生同一个物体可用多种有序数对来表示.怎样解决“一对多”的问题？这节课就来研究这个问题.（揭示课题）
环节2 探索确定位置的方法——显化坐标思想
师：怎样能使数对与物体（点）建立一一对应呢？请大家结合上述表示象山中学位置的经验来谈谈你的见解！
生7：当参照物、描述方式、数对次序确定时，就能使数对与物体（点）一一对应.
师：大家同意生7的观点吗？
众生：同意.
师：既然参照物具有不唯一性、描述方式具有多样性、数对次序具有规定性，那么，怎样选择参照物？怎样选择描述方式？怎样规定数对的次序？
众生：困惑、期待.
师：选择参照物的原则是使刻画物体（点）的有序数对中的数尽量简单.选择描述方式的依据是根据实际的需要.一般地，数对次序是这样规定的：若用“距离和距离”的方式来描述，则规定列号写在前面，行号写在后面；若用“角度和距离”的方式来描述，则规定距离写在前面，角度写在后面；若用“角度和角度”的方式来描述，则规定经度写在前面，纬度写在后面.
师：现在请大家结合上述表示象山中学位置的经验来说说描述或确定物体的位置需要经历哪几个步骤？
生8：确定参照物→选择描述方式→规定数对次序→用有序数对描述物体的位置.
师：基本正确.描述或确定物体（点）的位置要经历这样几个步骤：确定参照物（点）→选择描述方式→测量线段的长度或角的度数→规定数对的次序→用有序数对描述或确定物体的位置.
师：现在老师提出一个挑战性问题：用有序数对表示物体（点）的位置有何意义？
众生：困惑、期待.
师：由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何.这就是法国数学家笛卡尔的想法.
环节3 参与尝试方法应用的活动——强化坐标思想
师：现在我们先用确定位置的方法来解决下列问题1：
（1）怎样用有序数对表示象山、钓鱼岛的位置？
（2）据气象报告，2012年8月7号15时，台
风“海葵”的中心位于北纬24°，东经133°.怎样用有
序数对（东经度写在前面）表示此时台风中心的位置？
能在图4上标出台风中心的位置吗？
（3）渔民接到警报，台风可能在象山一带登陆，图中
黄线表示台风移动的主要路径.渔船E（125，30），渔船F（125，27）是否位于这条路径上？
先要求学生独立学习（允许小组合作），再组织学生交互反馈，然后教师进行点评.
环节4 参与回顾与思考的活动——再认坐标思想
首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.
（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？
（2）确定位置的方法包括哪些内容？
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对是否一一对应？用有序数对表示点有何意义？
（4）表示直线上的点需要几个数据？表示平面上的点需要几个数据？表示空间中的点需要几个数据？
（5）“确定”的含义是什么？
（6）如图3，若规定列号写在前面，行号写在后面，则购物中心相对于中心广场的位置可以用怎样的有序数对来表示？
其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价.
第三，在此基础上教师进行总结性讲解：
（1）本节课研究了确定位置的方法及用确定位置的方法解决两类问题（已知点求有序数对；已知有序数对找点）.研究的基本过程是：用已有的知识与经验确定具体物体的位置→反思确定具体物体位置的过程并概括出确定物体（点）位置的方法→用确定物体（点）位置的方法解决两类基本问题.（语句教师作了修改）
（2）确定位置的方法包括：确定物体（点）位置的步骤、选择参照物的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等.
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对一一对应；用有序数对表示点可以用代数的方法来研究几何.
（4）表示直线上的点需要1个数据；表示平面上的点需要2个数据；表示空间中的点需要3个数据.
（5）确定就是有序数对能只能表示一个点.
（6）购物中心相对于中心广场的位置可用怎样的有序数对来表示？这个问题待下节课再来研究.
3 教学点评
尽管培养学生的智慧需要关注“过程”，但关注“过程”也不意味着可以轻视“结果”.因此，“过程教育”的基本要求是教学内容全面、认知过程完整、教学方法和谐.这节课的教学内容、认知过程和教学方法符合“过程教育”的基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.
3.1 “经历再认确定物体位置的过程”的教学符合“过程教育”
确定物体位置的方法是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段涉及的是定性描述物体的方位（第一学段）和用有序自然数对定量刻画物体的位置（第二学段），并且问题相对比较封闭（参照点固定、描述方式固定）.这个经历性数学活动的内容基于小学，但又高于小学（问题具有开放性——参照点可以选择、描述方式可以选择）；认知过程既有描述具体物体的位置，以再认描述物体位置的方法，也有描述物体位置之后的深入思考，以认识参照物的不唯一性、描述方式的多样性、数对次序的规定性；教学采用了教师问题引导和适度暗示下的学生合作交流的方法.这符合“过程教育”，能激活学生已有的知识与经验，能使学生感受当参照物、描述方式、数对次序不确定时，同一物体可用多种有序数对来表示，从而能使学生感受建立有序数对与物体（点）一一对应的必要性.
3.2 “探索确定位置的方法”的教学符合“过程教育”
法国数学家笛卡尔的坐标思想包括“由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何”的想法及能使数与点建立一一对应的具体方法.这个探索性数学活动的内容不仅包括确定位置的方法（确定位置的步骤、选择参照点的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等），也包括生成确定位置的方法的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有教师问题引导下的合作研讨，以生成确定位置的方法，也有教师问题引导下的合作反思，以显化坐标思想；教学采用了教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作研讨和合作研讨基础上的教师总结性讲解的方法.这符合“过程教育”，能使学生经历生成确定位置的方法的实质性思维过程，也能使学生感悟用有序数对表示点的意义等.
3.3 “参与尝试方法应用的活动”的教学符合“过程教育”
用生成的确定位置的方法解答具体问题是整节课认知过程的后半段，其主要涉及解答两类基本问题——已知物体（点）的位置求有序数对和已知有序数对找物体（点）的位置.这个参与式数学活动的内容不仅包括解答两类基本问题，也包括解决两类基本问题的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有用确定位置的方法解答具体问题，以再认确定位置的方法，也有解答之后的反思——参照点是什么？选用的是哪种描述方式？数对次序是怎样规定的？以深化对确定位置的方法的认识；教学采用了教师有代表性问题引导下的学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师点评的方法.这符合“过程教育”，能发展学生的智慧技能，能进一步认识坐标思想和积累数学活动的经验.
3.4 “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义.这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容和研究方法，也包括内容的“延伸点”——“确定”的含义是什么？表示空间中的点需要几个数据？第三象限的点怎样表示？等；认知过程既有教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作交流，也有学生交互反馈基础上的教师概括；教学采用了教师价值引导下的先放后收的适度开放的方法.这符合“过程教育”，能使学生将所学的知识纳入自己的认知结构，能使学生知道进一步需要研究的问题，并对增强学生的反思意识和发展学生语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要.而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合“过程教育”的精神实质，特别是根据“数学思想”的“隐喻性”、“过程性”和“活动性”的特点，在确定位置的方法形成与应用的过程中作了“渗透、显化、强化”.这能满足学生全面、和谐发展的需要，并具有普遍的适用性，值得参考研究.
作者简介 胡奇观，男，1975年生，浙江象山人，中学高级教师，从事数学教育教学研究.邬云德，男，1956年生，浙江奉化人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.
（4）表示直线上的点需要几个数据？表示平面上的点需要几个数据？表示空间中的点需要几个数据？
（5）“确定”的含义是什么？
（6）如图3，若规定列号写在前面，行号写在后面，则购物中心相对于中心广场的位置可以用怎样的有序数对来表示？
其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价.
第三，在此基础上教师进行总结性讲解：
（1）本节课研究了确定位置的方法及用确定位置的方法解决两类问题（已知点求有序数对；已知有序数对找点）.研究的基本过程是：用已有的知识与经验确定具体物体的位置→反思确定具体物体位置的过程并概括出确定物体（点）位置的方法→用确定物体（点）位置的方法解决两类基本问题.（语句教师作了修改）
（2）确定位置的方法包括：确定物体（点）位置的步骤、选择参照物的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等.
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对一一对应；用有序数对表示点可以用代数的方法来研究几何.
（4）表示直线上的点需要1个数据；表示平面上的点需要2个数据；表示空间中的点需要3个数据.
（5）确定就是有序数对能只能表示一个点.
（6）购物中心相对于中心广场的位置可用怎样的有序数对来表示？这个问题待下节课再来研究.
3 教学点评
尽管培养学生的智慧需要关注“过程”，但关注“过程”也不意味着可以轻视“结果”.因此，“过程教育”的基本要求是教学内容全面、认知过程完整、教学方法和谐.这节课的教学内容、认知过程和教学方法符合“过程教育”的基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.
3.1 “经历再认确定物体位置的过程”的教学符合“过程教育”
确定物体位置的方法是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段涉及的是定性描述物体的方位（第一学段）和用有序自然数对定量刻画物体的位置（第二学段），并且问题相对比较封闭（参照点固定、描述方式固定）.这个经历性数学活动的内容基于小学，但又高于小学（问题具有开放性——参照点可以选择、描述方式可以选择）；认知过程既有描述具体物体的位置，以再认描述物体位置的方法，也有描述物体位置之后的深入思考，以认识参照物的不唯一性、描述方式的多样性、数对次序的规定性；教学采用了教师问题引导和适度暗示下的学生合作交流的方法.这符合“过程教育”，能激活学生已有的知识与经验，能使学生感受当参照物、描述方式、数对次序不确定时，同一物体可用多种有序数对来表示，从而能使学生感受建立有序数对与物体（点）一一对应的必要性.
3.2 “探索确定位置的方法”的教学符合“过程教育”
法国数学家笛卡尔的坐标思想包括“由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何”的想法及能使数与点建立一一对应的具体方法.这个探索性数学活动的内容不仅包括确定位置的方法（确定位置的步骤、选择参照点的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等），也包括生成确定位置的方法的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有教师问题引导下的合作研讨，以生成确定位置的方法，也有教师问题引导下的合作反思，以显化坐标思想；教学采用了教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作研讨和合作研讨基础上的教师总结性讲解的方法.这符合“过程教育”，能使学生经历生成确定位置的方法的实质性思维过程，也能使学生感悟用有序数对表示点的意义等.
3.3 “参与尝试方法应用的活动”的教学符合“过程教育”
用生成的确定位置的方法解答具体问题是整节课认知过程的后半段，其主要涉及解答两类基本问题——已知物体（点）的位置求有序数对和已知有序数对找物体（点）的位置.这个参与式数学活动的内容不仅包括解答两类基本问题，也包括解决两类基本问题的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有用确定位置的方法解答具体问题，以再认确定位置的方法，也有解答之后的反思——参照点是什么？选用的是哪种描述方式？数对次序是怎样规定的？以深化对确定位置的方法的认识；教学采用了教师有代表性问题引导下的学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师点评的方法.这符合“过程教育”，能发展学生的智慧技能，能进一步认识坐标思想和积累数学活动的经验.
3.4 “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义.这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容和研究方法，也包括内容的“延伸点”——“确定”的含义是什么？表示空间中的点需要几个数据？第三象限的点怎样表示？等；认知过程既有教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作交流，也有学生交互反馈基础上的教师概括；教学采用了教师价值引导下的先放后收的适度开放的方法.这符合“过程教育”，能使学生将所学的知识纳入自己的认知结构，能使学生知道进一步需要研究的问题，并对增强学生的反思意识和发展学生语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要.而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合“过程教育”的精神实质，特别是根据“数学思想”的“隐喻性”、“过程性”和“活动性”的特点，在确定位置的方法形成与应用的过程中作了“渗透、显化、强化”.这能满足学生全面、和谐发展的需要，并具有普遍的适用性，值得参考研究.
作者简介 胡奇观，男，1975年生，浙江象山人，中学高级教师，从事数学教育教学研究.邬云德，男，1956年生，浙江奉化人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.
（4）表示直线上的点需要几个数据？表示平面上的点需要几个数据？表示空间中的点需要几个数据？
（5）“确定”的含义是什么？
（6）如图3，若规定列号写在前面，行号写在后面，则购物中心相对于中心广场的位置可以用怎样的有序数对来表示？
其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价.
第三，在此基础上教师进行总结性讲解：
（1）本节课研究了确定位置的方法及用确定位置的方法解决两类问题（已知点求有序数对；已知有序数对找点）.研究的基本过程是：用已有的知识与经验确定具体物体的位置→反思确定具体物体位置的过程并概括出确定物体（点）位置的方法→用确定物体（点）位置的方法解决两类基本问题.（语句教师作了修改）
（2）确定位置的方法包括：确定物体（点）位置的步骤、选择参照物的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等.
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对一一对应；用有序数对表示点可以用代数的方法来研究几何.
（4）表示直线上的点需要1个数据；表示平面上的点需要2个数据；表示空间中的点需要3个数据.
（5）确定就是有序数对能只能表示一个点.
（6）购物中心相对于中心广场的位置可用怎样的有序数对来表示？这个问题待下节课再来研究.
3 教学点评
尽管培养学生的智慧需要关注“过程”，但关注“过程”也不意味着可以轻视“结果”.因此，“过程教育”的基本要求是教学内容全面、认知过程完整、教学方法和谐.这节课的教学内容、认知过程和教学方法符合“过程教育”的基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.
3.1 “经历再认确定物体位置的过程”的教学符合“过程教育”
确定物体位置的方法是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段涉及的是定性描述物体的方位（第一学段）和用有序自然数对定量刻画物体的位置（第二学段），并且问题相对比较封闭（参照点固定、描述方式固定）.这个经历性数学活动的内容基于小学，但又高于小学（问题具有开放性——参照点可以选择、描述方式可以选择）；认知过程既有描述具体物体的位置，以再认描述物体位置的方法，也有描述物体位置之后的深入思考，以认识参照物的不唯一性、描述方式的多样性、数对次序的规定性；教学采用了教师问题引导和适度暗示下的学生合作交流的方法.这符合“过程教育”，能激活学生已有的知识与经验，能使学生感受当参照物、描述方式、数对次序不确定时，同一物体可用多种有序数对来表示，从而能使学生感受建立有序数对与物体（点）一一对应的必要性.
3.2 “探索确定位置的方法”的教学符合“过程教育”
法国数学家笛卡尔的坐标思想包括“由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何”的想法及能使数与点建立一一对应的具体方法.这个探索性数学活动的内容不仅包括确定位置的方法（确定位置的步骤、选择参照点的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等），也包括生成确定位置的方法的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有教师问题引导下的合作研讨，以生成确定位置的方法，也有教师问题引导下的合作反思，以显化坐标思想；教学采用了教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作研讨和合作研讨基础上的教师总结性讲解的方法.这符合“过程教育”，能使学生经历生成确定位置的方法的实质性思维过程，也能使学生感悟用有序数对表示点的意义等.
3.3 “参与尝试方法应用的活动”的教学符合“过程教育”
用生成的确定位置的方法解答具体问题是整节课认知过程的后半段，其主要涉及解答两类基本问题——已知物体（点）的位置求有序数对和已知有序数对找物体（点）的位置.这个参与式数学活动的内容不仅包括解答两类基本问题，也包括解决两类基本问题的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有用确定位置的方法解答具体问题，以再认确定位置的方法，也有解答之后的反思——参照点是什么？选用的是哪种描述方式？数对次序是怎样规定的？以深化对确定位置的方法的认识；教学采用了教师有代表性问题引导下的学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师点评的方法.这符合“过程教育”，能发展学生的智慧技能，能进一步认识坐标思想和积累数学活动的经验.
3.4 “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义.这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容和研究方法，也包括内容的“延伸点”——“确定”的含义是什么？表示空间中的点需要几个数据？第三象限的点怎样表示？等；认知过程既有教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作交流，也有学生交互反馈基础上的教师概括；教学采用了教师价值引导下的先放后收的适度开放的方法.这符合“过程教育”，能使学生将所学的知识纳入自己的认知结构，能使学生知道进一步需要研究的问题，并对增强学生的反思意识和发展学生语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要.而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合“过程教育”的精神实质，特别是根据“数学思想”的“隐喻性”、“过程性”和“活动性”的特点，在确定位置的方法形成与应用的过程中作了“渗透、显化、强化”.这能满足学生全面、和谐发展的需要，并具有普遍的适用性，值得参考研究.
作者简介 胡奇观，男，1975年生，浙江象山人，中学高级教师，从事数学教育教学研究.邬云德，男，1956年生，浙江奉化人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.
1 课例的背景
“过程教育”是旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后的反思过程的育人活动.“探索确定位置的方法”是浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第4章第1节的内容.其涉及的坐标思想和确定位置的方法是学习“图形与坐标”、“函数与图象”和“曲线与方程”的理论基础.生成确定位置的方法的过程、用生成的方法解决两类基本问题的过程和蕴含的数形结合思想、一一对应思想、符号表示思想等，对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响.基于“过程教育”的“探索确定位置的方法”的教学应该怎样操作以发挥其蕴含的教育价值？笔者在反思性研究的基础上对这节课的教学进行了设计，并在象山县骨干教师带徒活动中进行了实践验证，课后获得了观课老师的广泛好评.现把它整理出来，以飨读者.
2 教学实录
环节1 经历再认确定物体位置的过程——渗透坐标思想
师：生活中经常需要确定物体的位置，如棋盘上棋子的位置，影院里的座位，城市地图上车站、学校、医院、风景区的位置，我国钓鱼岛的位置等.
师：图1是象山丹城某区域局部示意图（表示各单位的点正好在正方形网格的格点上），假定小正方形的边长为1个单位长度.问：怎样描述象山中学的位置？请你用已有的知识与经验提供尽可能多的方法.（提示：参照物具有不唯一性，描述方式具有多样性，数对次序具有规定性）
生1：从财富中心出发，先向东走11个单位
长度，再向北走4个单位长度.
师：不错！可用有序数对（11，4）来表示象
山中学的位置.
生2：从财富中心出发，先向北走4个单位
长度，再向东走11个单位长度.
师：不错！也可用有序数对（4，11）来表示象山中学的位置.
生3：从丹城中学出发，向北走4个单位长度.
师：不错！也可用有序数对（0，4）来表示象山中学的位置.
生4：从大润发出发，先向东走9个单位长度，再向北走2个单位长度.
师：不错！也可用有序数对（9，2）来表示象山中学的位置.
生5：有多种描述方法.因为参照物具有不唯一性，并且有两种走的方式.
生6：即使选择同一个参照物，也有不同的描述方法.因为可以用“距离和距离”的方式来描述；也可以用“方向和距离”的方式来描述；又可以用“角度和角度”的方式来描述.
师：很好！这就是说，当参照物、描述方式、数对次序不确定时，就会产生同一个物体可用多种有序数对来表示.怎样解决“一对多”的问题？这节课就来研究这个问题.（揭示课题）
环节2 探索确定位置的方法——显化坐标思想
师：怎样能使数对与物体（点）建立一一对应呢？请大家结合上述表示象山中学位置的经验来谈谈你的见解！
生7：当参照物、描述方式、数对次序确定时，就能使数对与物体（点）一一对应.
师：大家同意生7的观点吗？
众生：同意.
师：既然参照物具有不唯一性、描述方式具有多样性、数对次序具有规定性，那么，怎样选择参照物？怎样选择描述方式？怎样规定数对的次序？
众生：困惑、期待.
师：选择参照物的原则是使刻画物体（点）的有序数对中的数尽量简单.选择描述方式的依据是根据实际的需要.一般地，数对次序是这样规定的：若用“距离和距离”的方式来描述，则规定列号写在前面，行号写在后面；若用“角度和距离”的方式来描述，则规定距离写在前面，角度写在后面；若用“角度和角度”的方式来描述，则规定经度写在前面，纬度写在后面.
师：现在请大家结合上述表示象山中学位置的经验来说说描述或确定物体的位置需要经历哪几个步骤？
生8：确定参照物→选择描述方式→规定数对次序→用有序数对描述物体的位置.
师：基本正确.描述或确定物体（点）的位置要经历这样几个步骤：确定参照物（点）→选择描述方式→测量线段的长度或角的度数→规定数对的次序→用有序数对描述或确定物体的位置.
师：现在老师提出一个挑战性问题：用有序数对表示物体（点）的位置有何意义？
众生：困惑、期待.
师：由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何.这就是法国数学家笛卡尔的想法.
环节3 参与尝试方法应用的活动——强化坐标思想
师：现在我们先用确定位置的方法来解决下列问题1：
（1）怎样用有序数对表示象山、钓鱼岛的位置？
（2）据气象报告，2012年8月7号15时，台
风“海葵”的中心位于北纬24°，东经133°.怎样用有
序数对（东经度写在前面）表示此时台风中心的位置？
能在图4上标出台风中心的位置吗？
（3）渔民接到警报，台风可能在象山一带登陆，图中
黄线表示台风移动的主要路径.渔船E（125，30），渔船F（125，27）是否位于这条路径上？
先要求学生独立学习（允许小组合作），再组织学生交互反馈，然后教师进行点评.
环节4 参与回顾与思考的活动——再认坐标思想
首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.
（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？
（2）确定位置的方法包括哪些内容？
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对是否一一对应？用有序数对表示点有何意义？
（4）表示直线上的点需要几个数据？表示平面上的点需要几个数据？表示空间中的点需要几个数据？
（5）“确定”的含义是什么？
（6）如图3，若规定列号写在前面，行号写在后面，则购物中心相对于中心广场的位置可以用怎样的有序数对来表示？
其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价.
第三，在此基础上教师进行总结性讲解：
（1）本节课研究了确定位置的方法及用确定位置的方法解决两类问题（已知点求有序数对；已知有序数对找点）.研究的基本过程是：用已有的知识与经验确定具体物体的位置→反思确定具体物体位置的过程并概括出确定物体（点）位置的方法→用确定物体（点）位置的方法解决两类基本问题.（语句教师作了修改）
（2）确定位置的方法包括：确定物体（点）位置的步骤、选择参照物的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等.
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对一一对应；用有序数对表示点可以用代数的方法来研究几何.
（4）表示直线上的点需要1个数据；表示平面上的点需要2个数据；表示空间中的点需要3个数据.
（5）确定就是有序数对能只能表示一个点.
（6）购物中心相对于中心广场的位置可用怎样的有序数对来表示？这个问题待下节课再来研究.
3 教学点评
尽管培养学生的智慧需要关注“过程”，但关注“过程”也不意味着可以轻视“结果”.因此，“过程教育”的基本要求是教学内容全面、认知过程完整、教学方法和谐.这节课的教学内容、认知过程和教学方法符合“过程教育”的基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.
3.1 “经历再认确定物体位置的过程”的教学符合“过程教育”
确定物体位置的方法是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段涉及的是定性描述物体的方位（第一学段）和用有序自然数对定量刻画物体的位置（第二学段），并且问题相对比较封闭（参照点固定、描述方式固定）.这个经历性数学活动的内容基于小学，但又高于小学（问题具有开放性——参照点可以选择、描述方式可以选择）；认知过程既有描述具体物体的位置，以再认描述物体位置的方法，也有描述物体位置之后的深入思考，以认识参照物的不唯一性、描述方式的多样性、数对次序的规定性；教学采用了教师问题引导和适度暗示下的学生合作交流的方法.这符合“过程教育”，能激活学生已有的知识与经验，能使学生感受当参照物、描述方式、数对次序不确定时，同一物体可用多种有序数对来表示，从而能使学生感受建立有序数对与物体（点）一一对应的必要性.
3.2 “探索确定位置的方法”的教学符合“过程教育”
法国数学家笛卡尔的坐标思想包括“由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何”的想法及能使数与点建立一一对应的具体方法.这个探索性数学活动的内容不仅包括确定位置的方法（确定位置的步骤、选择参照点的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等），也包括生成确定位置的方法的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有教师问题引导下的合作研讨，以生成确定位置的方法，也有教师问题引导下的合作反思，以显化坐标思想；教学采用了教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作研讨和合作研讨基础上的教师总结性讲解的方法.这符合“过程教育”，能使学生经历生成确定位置的方法的实质性思维过程，也能使学生感悟用有序数对表示点的意义等.
3.3 “参与尝试方法应用的活动”的教学符合“过程教育”
用生成的确定位置的方法解答具体问题是整节课认知过程的后半段，其主要涉及解答两类基本问题——已知物体（点）的位置求有序数对和已知有序数对找物体（点）的位置.这个参与式数学活动的内容不仅包括解答两类基本问题，也包括解决两类基本问题的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有用确定位置的方法解答具体问题，以再认确定位置的方法，也有解答之后的反思——参照点是什么？选用的是哪种描述方式？数对次序是怎样规定的？以深化对确定位置的方法的认识；教学采用了教师有代表性问题引导下的学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师点评的方法.这符合“过程教育”，能发展学生的智慧技能，能进一步认识坐标思想和积累数学活动的经验.
3.4 “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义.这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容和研究方法，也包括内容的“延伸点”——“确定”的含义是什么？表示空间中的点需要几个数据？第三象限的点怎样表示？等；认知过程既有教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作交流，也有学生交互反馈基础上的教师概括；教学采用了教师价值引导下的先放后收的适度开放的方法.这符合“过程教育”，能使学生将所学的知识纳入自己的认知结构，能使学生知道进一步需要研究的问题，并对增强学生的反思意识和发展学生语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要.而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合“过程教育”的精神实质，特别是根据“数学思想”的“隐喻性”、“过程性”和“活动性”的特点，在确定位置的方法形成与应用的过程中作了“渗透、显化、强化”.这能满足学生全面、和谐发展的需要，并具有普遍的适用性，值得参考研究.
作者简介 胡奇观，男，1975年生，浙江象山人，中学高级教师，从事数学教育教学研究.邬云德，男，1956年生，浙江奉化人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.
（4）表示直线上的点需要几个数据？表示平面上的点需要几个数据？表示空间中的点需要几个数据？
（5）“确定”的含义是什么？
（6）如图3，若规定列号写在前面，行号写在后面，则购物中心相对于中心广场的位置可以用怎样的有序数对来表示？
其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价.
第三，在此基础上教师进行总结性讲解：
（1）本节课研究了确定位置的方法及用确定位置的方法解决两类问题（已知点求有序数对；已知有序数对找点）.研究的基本过程是：用已有的知识与经验确定具体物体的位置→反思确定具体物体位置的过程并概括出确定物体（点）位置的方法→用确定物体（点）位置的方法解决两类基本问题.（语句教师作了修改）
（2）确定位置的方法包括：确定物体（点）位置的步骤、选择参照物的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等.
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对一一对应；用有序数对表示点可以用代数的方法来研究几何.
（4）表示直线上的点需要1个数据；表示平面上的点需要2个数据；表示空间中的点需要3个数据.
（5）确定就是有序数对能只能表示一个点.
（6）购物中心相对于中心广场的位置可用怎样的有序数对来表示？这个问题待下节课再来研究.
3 教学点评
尽管培养学生的智慧需要关注“过程”，但关注“过程”也不意味着可以轻视“结果”.因此，“过程教育”的基本要求是教学内容全面、认知过程完整、教学方法和谐.这节课的教学内容、认知过程和教学方法符合“过程教育”的基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.
3.1 “经历再认确定物体位置的过程”的教学符合“过程教育”
确定物体位置的方法是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段涉及的是定性描述物体的方位（第一学段）和用有序自然数对定量刻画物体的位置（第二学段），并且问题相对比较封闭（参照点固定、描述方式固定）.这个经历性数学活动的内容基于小学，但又高于小学（问题具有开放性——参照点可以选择、描述方式可以选择）；认知过程既有描述具体物体的位置，以再认描述物体位置的方法，也有描述物体位置之后的深入思考，以认识参照物的不唯一性、描述方式的多样性、数对次序的规定性；教学采用了教师问题引导和适度暗示下的学生合作交流的方法.这符合“过程教育”，能激活学生已有的知识与经验，能使学生感受当参照物、描述方式、数对次序不确定时，同一物体可用多种有序数对来表示，从而能使学生感受建立有序数对与物体（点）一一对应的必要性.
3.2 “探索确定位置的方法”的教学符合“过程教育”
法国数学家笛卡尔的坐标思想包括“由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何”的想法及能使数与点建立一一对应的具体方法.这个探索性数学活动的内容不仅包括确定位置的方法（确定位置的步骤、选择参照点的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等），也包括生成确定位置的方法的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有教师问题引导下的合作研讨，以生成确定位置的方法，也有教师问题引导下的合作反思，以显化坐标思想；教学采用了教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作研讨和合作研讨基础上的教师总结性讲解的方法.这符合“过程教育”，能使学生经历生成确定位置的方法的实质性思维过程，也能使学生感悟用有序数对表示点的意义等.
3.3 “参与尝试方法应用的活动”的教学符合“过程教育”
用生成的确定位置的方法解答具体问题是整节课认知过程的后半段，其主要涉及解答两类基本问题——已知物体（点）的位置求有序数对和已知有序数对找物体（点）的位置.这个参与式数学活动的内容不仅包括解答两类基本问题，也包括解决两类基本问题的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有用确定位置的方法解答具体问题，以再认确定位置的方法，也有解答之后的反思——参照点是什么？选用的是哪种描述方式？数对次序是怎样规定的？以深化对确定位置的方法的认识；教学采用了教师有代表性问题引导下的学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师点评的方法.这符合“过程教育”，能发展学生的智慧技能，能进一步认识坐标思想和积累数学活动的经验.
3.4 “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义.这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容和研究方法，也包括内容的“延伸点”——“确定”的含义是什么？表示空间中的点需要几个数据？第三象限的点怎样表示？等；认知过程既有教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作交流，也有学生交互反馈基础上的教师概括；教学采用了教师价值引导下的先放后收的适度开放的方法.这符合“过程教育”，能使学生将所学的知识纳入自己的认知结构，能使学生知道进一步需要研究的问题，并对增强学生的反思意识和发展学生语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要.而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合“过程教育”的精神实质，特别是根据“数学思想”的“隐喻性”、“过程性”和“活动性”的特点，在确定位置的方法形成与应用的过程中作了“渗透、显化、强化”.这能满足学生全面、和谐发展的需要，并具有普遍的适用性，值得参考研究.
作者简介 胡奇观，男，1975年生，浙江象山人，中学高级教师，从事数学教育教学研究.邬云德，男，1956年生，浙江奉化人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.
（4）表示直线上的点需要几个数据？表示平面上的点需要几个数据？表示空间中的点需要几个数据？
（5）“确定”的含义是什么？
（6）如图3，若规定列号写在前面，行号写在后面，则购物中心相对于中心广场的位置可以用怎样的有序数对来表示？
其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价.
第三，在此基础上教师进行总结性讲解：
（1）本节课研究了确定位置的方法及用确定位置的方法解决两类问题（已知点求有序数对；已知有序数对找点）.研究的基本过程是：用已有的知识与经验确定具体物体的位置→反思确定具体物体位置的过程并概括出确定物体（点）位置的方法→用确定物体（点）位置的方法解决两类基本问题.（语句教师作了修改）
（2）确定位置的方法包括：确定物体（点）位置的步骤、选择参照物的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等.
（3）当参照物（点）、描述方式、数对次序确定后，点与有序数对一一对应；用有序数对表示点可以用代数的方法来研究几何.
（4）表示直线上的点需要1个数据；表示平面上的点需要2个数据；表示空间中的点需要3个数据.
（5）确定就是有序数对能只能表示一个点.
（6）购物中心相对于中心广场的位置可用怎样的有序数对来表示？这个问题待下节课再来研究.
3 教学点评
尽管培养学生的智慧需要关注“过程”，但关注“过程”也不意味着可以轻视“结果”.因此，“过程教育”的基本要求是教学内容全面、认知过程完整、教学方法和谐.这节课的教学内容、认知过程和教学方法符合“过程教育”的基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.
3.1 “经历再认确定物体位置的过程”的教学符合“过程教育”
确定物体位置的方法是在小学阶段初步认识基础上的再认识，但小学阶段涉及的是定性描述物体的方位（第一学段）和用有序自然数对定量刻画物体的位置（第二学段），并且问题相对比较封闭（参照点固定、描述方式固定）.这个经历性数学活动的内容基于小学，但又高于小学（问题具有开放性——参照点可以选择、描述方式可以选择）；认知过程既有描述具体物体的位置，以再认描述物体位置的方法，也有描述物体位置之后的深入思考，以认识参照物的不唯一性、描述方式的多样性、数对次序的规定性；教学采用了教师问题引导和适度暗示下的学生合作交流的方法.这符合“过程教育”，能激活学生已有的知识与经验，能使学生感受当参照物、描述方式、数对次序不确定时，同一物体可用多种有序数对来表示，从而能使学生感受建立有序数对与物体（点）一一对应的必要性.
3.2 “探索确定位置的方法”的教学符合“过程教育”
法国数学家笛卡尔的坐标思想包括“由于点不能运算而数可以运算，如果能使数与点一一对应，就可以将点转化为数，从而可以用代数方法来研究几何”的想法及能使数与点建立一一对应的具体方法.这个探索性数学活动的内容不仅包括确定位置的方法（确定位置的步骤、选择参照点的原则、选择描述方式的依据、数对次序的约定等），也包括生成确定位置的方法的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有教师问题引导下的合作研讨，以生成确定位置的方法，也有教师问题引导下的合作反思，以显化坐标思想；教学采用了教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作研讨和合作研讨基础上的教师总结性讲解的方法.这符合“过程教育”，能使学生经历生成确定位置的方法的实质性思维过程，也能使学生感悟用有序数对表示点的意义等.
3.3 “参与尝试方法应用的活动”的教学符合“过程教育”
用生成的确定位置的方法解答具体问题是整节课认知过程的后半段，其主要涉及解答两类基本问题——已知物体（点）的位置求有序数对和已知有序数对找物体（点）的位置.这个参与式数学活动的内容不仅包括解答两类基本问题，也包括解决两类基本问题的过程和蕴含的坐标思想等；认知过程既有用确定位置的方法解答具体问题，以再认确定位置的方法，也有解答之后的反思——参照点是什么？选用的是哪种描述方式？数对次序是怎样规定的？以深化对确定位置的方法的认识；教学采用了教师有代表性问题引导下的学生独立学习基础上的合作交流和合作交流基础上的教师点评的方法.这符合“过程教育”，能发展学生的智慧技能，能进一步认识坐标思想和积累数学活动的经验.
3.4 “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义.这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容和研究方法，也包括内容的“延伸点”——“确定”的含义是什么？表示空间中的点需要几个数据？第三象限的点怎样表示？等；认知过程既有教师问题引导下的学生独立思考基础上的合作交流，也有学生交互反馈基础上的教师概括；教学采用了教师价值引导下的先放后收的适度开放的方法.这符合“过程教育”，能使学生将所学的知识纳入自己的认知结构，能使学生知道进一步需要研究的问题，并对增强学生的反思意识和发展学生语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要.而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合“过程教育”的精神实质，特别是根据“数学思想”的“隐喻性”、“过程性”和“活动性”的特点，在确定位置的方法形成与应用的过程中作了“渗透、显化、强化”.这能满足学生全面、和谐发展的需要，并具有普遍的适用性，值得参考研究.
作者简介 胡奇观，男，1975年生，浙江象山人，中学高级教师，从事数学教育教学研究.邬云德，男，1956年生，浙江奉化人，中学高级教师，浙江省数学特级教师，从事数学教育教学研究.
