以“波利亚怎样解题”探索数学思维的形成

    邓丽雯

    

    摘 要：数学解题能力是数学学习的核心能力之一，而数学思维是数学学习的翅膀。解直角三角形是与生活密不可分的应用，又是中考的热点。本文通过以解直角三角形的案例来剖析波利亚的《怎样解题表》，从四个阶段层层递进，帮助学生养成数学解题思维，并为教师在授课过程中如何就学生学会高效解题思路指明方向，并提出相关建议。

    关键词：波利亚解题表; 锐角三角函数; 解题能力; 数学思维

    中图分类号：G633.6 ? ? ? ? ? ? 文獻标识码：A ? ? 文章编号：1006-3315（2019）06-027-001

    波利亚的《怎样解题表》给予了人类在数学方面的学习以全新的思路和明确的方向，他的《怎样解题表》并不关注于答案的本身，而是着重突出题解思维。解题表的四步骤：理解题目，拟定方案，执行方案，回顾。对于一道数学题，首先重点在于认真审题，熟悉题目，将题目的条件、已知量、未知量逐个分离，转化成简洁明了的语言印入脑海。而拟定方案则是难点，不但要求厘清各知识点之间的联系以及内在逻辑。有时需要从过去出现过类似的题目来找到方向或是各种转换、修改题目来获得解题思路。执行方案则稍显简单，根据方案的程序写出细节，要仔细并快速作答。最后通过回顾，重新斟酌、审查结果及导出结果的途径，体会数学题之间的联系，他们能巩固知识，并为下一次解题提供思路。

    本文以九年级下人教版教材中的习题为例，该题难度一般，但具有典型性，主要是让学生理解基本常识，基本概念-方位角，将实际问题转化为数学问题，构建直角三角形，领悟其方法。

    题目：如图，海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上。如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

    第一阶段：理解题目：抓住题干主要内容

    问题一：已知数据是什么？

    北偏东60°、北偏东30°和BD的距离。这两个角度是方位角，是从某点思维指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，因此能在图上标注角度。

    问题二：未知量是什么？

    A到BD的最短距离是否小于8海里。

    教学目的：渔船是否有触礁危险是以A为圆心，8海里为半径的圆与BD的位置关系，将点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系一起处理，学生对于添加辅助线AC更清晰A到BD的最短距离小于8海里，没有触礁危险，大于8海里就有触礁危险，因此需要添加辅助线，判断辅助线的长度即可。

    第二阶段：拟定方案：把握题目内在逻辑关系，并回忆相同的解题技巧

    问题三：是否存在其他需要转化成解题所需内容的条件？

    除了△ABC是直角三角形，还有△ADC是直角三角形。

    问题四：能不能由过去的方法直接求AC？

    已知BD和∠ABD但是BC的长度未知，不能在△ABC求出AC。

    问题五：过去有没有遇到类似的题目？

    已知直角三角形的一个角和一条边求另一条边。

    这道题已知直角三角形的一个角，而直角三角形除直角外的五个元素若已知其中两个，就能求得其余三个。

    教学目的：在直角三角形中知道一条边一个角就能得到其他元素，由于AD又在△ABD中，且∠BDA由条件可以知道，从而能获得AD和∠ADC的大小。

    第三阶段：执行方案：心中有数，快速作答

    解：过A点作BD边上的垂线于点C

    以A为半径做圆，圆与BC相切是最小距离为半径

    ∵∠ABD=30°

    通过方位角北偏东60°得知

    ∠BDA=120°

    通过方位角北偏东60°得知

    ∴∠BAD=30°

    由三角形的内角和180°

    ∴BD=AD=12

    由于等角对等边

    又∵在△ADC中，∠ADC=60°

    ∠ABD和∠ADC组成平角，平角为180°

    ∴AC=AC·sin60°=6[3]<8

    在直角三角形中，已知一条斜边和一个角可以得到该角的对边，因此如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险。

    第四阶段：回顾：总结分析，转化归纳，举一反三

    问题六：是否存在其他解法？

    这道题最后的解题方法不是唯一的，找对各个角和边的大小，添加辅助线构建直角三角形，通过边角关系，找到所求长度。

    问题七：该题解法如何运用于别题？

    无论是测量建筑、航海航天、水利工程等，解答这类问题主要是转化为解三角形问题，转化为求解三角形元素问题，做出必要的辅助线来解决，这类问题的关键是构造直角三角形。

    建议

    数学教学本该是教师组织学生拓展数学思维的活动，目的在于建构和深化学生的认知，然而以此制定的题海战术却让学生更像是一个做抛球游戏的小丑，应接不暇地接住老师抛来的题。学生自然也就失去了思考的时间，无法体会题目本身的意义，更难以融会贯通，举一反三。波利亚《怎样解题》中提出了解题过程中的重要问题，是锻炼数学思维，从而提高解题能力，并启发教师应该抛出能让学生思考的问题，止步于题海。让学生在做题的过程中感悟数学题之间的联系，在脑海中思考类似的题，深化解题思维的形成。

    参考文献：

    [1]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M]涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社， 2011.11

    [2]林燕群.怎样解题表在解题中的应用[J]北京：教育观察， 2018