基于数学文化的一则教学设计
徐初晓 周均华 徐玉蓉
数学可以塑造人的灵魂. 这里的数学不仅是数字、符号、公式，而是浸润其中的（数学）文化. 只有把抽象的、严谨的数学，即冰冷的数学，转化为生动的、人文的、思考的数学，即火热的数学文化，数学课堂才会变成陶冶人的炉膛. 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在基本理念中充分肯定了数学的社会文化价值，特别是在课程实施建议的教材编写建议中强调了各学段都要注重数学的文化价值，介绍有关的数学背景知识（数学家的故事、数学趣闻与数学史料）. 在数学新课程这一理念指导下，结合我们承担的浙江省教育科学规划2008年度研究课题“基于数学文化的教学模式研究”，笔者以八年级“中心对称”这一重要内容为载体，进行了基于“数学文化”的教学设计探索，以下是数学课堂教学实录与我们的思考.
1 教学实录
1.1 创设情景，引入课题
师：剪纸是中国民间传统艺术的一种，剪纸艺术距今已有两千多年的历史，经过民间艺术家的不断继承与创新，已经达到了相当高的艺术水平. 在日常生活中我们也经常看到一些精美的剪纸图案（多媒体展示）（略）. （展示的这些剪纸图案都是中心对称图形. 通过这些剪纸图案的展示，不仅能让学生感受到中国民间艺术的璀璨，而且让学生感受到艺术存在于学生身边，中心对称图形广泛存在于我们的实际生活中. 同时也让学生对中心对称图形有一个感性认识. ）
师：下面我们再来欣赏一些同学们自己的作品（略）.
师：在上节课中，我们已经看到不少图形绕着某一点旋转一定的角度后能与自身重合，那么这些图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合？
生:绕着中心点旋转72°或144°或216°或288°或90°或180°后能与自身重合.
（同时进行多媒体演示，得出问题的结论，从而引出本节课的课题《中心对称》. ）
师：很好！其中绕着中心点旋转180°后能与自身重合的图形我们就叫做中心对称图形（a figure of central symmetry）. 这个中心点叫做对称中心(centre of symmetry).
1.2 感受生活，识别图形
师:请大家从旋转角度上来说一说中心对称图形和旋转对称图形的联系与区别.
ド:因为旋转对称图形是指一个图形绕着某一点转动一定角度后能与自身重合，其中这个角度只要小于360°，所以中心对称图形一定是旋转对称图形，而旋转对称图形不一定是中心对称图形，如老师给出的图中有些只是旋转对称图形，而有些既是中心对称图形，又是旋转对称图形.
师:很好，这说明中心对称图形是旋转对称图形的特殊情况，聪明的你还能不能在日常生活中找到一些中心对称图形呢？
生：……（举例子）
师：现在播放一个Flash动画（蝴蝶飞呀），请大家欣赏，找出影片中哪些是中心对称图形. 看哪一组说得更多. （通过举例子以及播放Flash影片，加深对中心对称图形的理解，给学生视觉上的享受，让学生感觉到生活中处处都有中心对称图形，感受数学来源于生活，在日常生活中数学无处不在. ）
师：这些是我们日常生活中常见的图案，大家能不能在我们已经学过的几何图形中找一些中心对称图形呢？
生:有线段、长方形、正方形、平行四边形、圆.
师:那么它们的对称中心在哪里呢？
生:线段的对称中心是它的中点；长方形、正方形和平行四边形的对称中心都是对角线的交点；圆的对称中心就是圆心.
师:很好！刚才大家所举例的都是我们学过的一些基本图形，下面让我们来挑战一些更复杂的图形，判断他们是否是中心对称图形？（同时进行多媒体演示以帮助学生）（图略）
1.3 合作交流，探索新知
师:如果一个图形绕着某一点旋转180°后不是与自身重合，而是与另一个图形重合（如图1），那么我们称这两个图形成中心对称，这个点称为对称中心，两个图形中的对应点称为关于中心的对称点.
ね1图2
师:下面我们一起来探索成中心对称的两个图形有什么特征？如图2，点A和点A′关于点O成中心对称图形，那么你能从图中发现什么吗？
生:点A绕着点O旋转180°到达点A′，因此点A、O、A′三点在同一条直线上，并且OA=OA′.
师:不错，我们也可以这么说：线段AA′经过点O，并且点A和点A′到点O的距离相等或者说线段AA′被点O平分 . ナ:如果线段AB和线段A′B′关于点O成中心对称图形，如图3所示，那么你又能从图中发现什么吗？
ね3
生:根据前面的结论，同理可得：点A、O、A′三点在同一条直线上，点B、O、B′三点在同一条直线上，并且OA=OA′，OB=OB′.
ナ:我们还可以进一步往下探索，因为点O关于点O的对称图形就是它本身，所以可以得到△AOB和△A′OB′关于点O成中心对称，那么大家还能发现什么结论吗？
生:因为△AOB绕着点O旋转180°后与△A′OB′重合，所以两个三角形中所有的对应线段、对应角都相等，其中有∠A=∠A′，那么我们可以得到AB∥A′B′的结论. 图4
师:很好，在两个成中心对称的图形中，对应线段不仅相等（由旋转的特征可得），而且互相平行. 有没有特殊情况呢？
生:有，如图4所示，对应线段AB和A′B′正好在同一条直线上.
师:对，所以刚才的结论应该怎么说才比较完整？
生:在两个成中心对称的图形中，对应线段相等，并且互相平行或在同一条直线上.
师:由于△AOB和△A′OB′也关于点O成中心对称，我们可以得出:如果两个三角形的三对对应点关于同一点成中心对称，那么这两个三角形关于这一点成中心对称.
根据刚才所得结论，说一说由图5能得到什么结论：ネ5
△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称.
生:(1)OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′；
(2)A、O、A′三点在同一条直线上；B、O、B′三点在同一条直线上；C、O、C′三点在同一条直线上；
(3)AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
师:请大家归纳一下刚才所得的几个结论.
生:(1)在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.
(2)在成中心对称的两个图形中，对应线段相等，并且互相平行或在同一条直线上.
(3)如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称. ナ:结论中的(1)和(2)是成中心对称的两个图形的特征，结论(3)是判别两个图形是否成中心对称的方法. 另外还有一个很明显的特征：成中心对称的两个图形互相重合，由此我们可以得出，这两个成中心对称的图形中对应线段相等，对应角相等. （本环节的设置从中心对称概念出发，到最后归纳出中心对称的性质，思路清晰. 整个设计过程让学生从感性到理性，经历了概念的形成过程. 学生通过自己探索得到了知识，体会到了成功的喜悦. ）
1.4 指导应用，深化理解
ネ6师：图6是“本田”汽车标志的一部分，已知它是关于点P的一个中心对称图形，你能运用你所学的中心对称的知识画出它的另一部分吗？（合作探讨，协作完成. ）（此环节旨在加强学生对概念的理解与巩固；设计的问题注意了感性与理性认识的结合，以便于学生更深地理解；注意向学生渗透类比学习的思想方法；注意了知识的应用设计，体现了知识来源于生活又反作用于生活的辩证关系；注意了学生合作、创新意识的培养. ）
1.5 归纳总结，反思提高
想一想：通过本节课的学习，你有哪些收获？（自由发言）
说一说：通过本节课的学习，你学会了解决什么问题？（自由发言）
2 课后反思
“中心对称”是义务教育阶段第三学段中“图形与变换”的一个内容. 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》并不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而只要求“通过实例认识变换”，借助图形的直观探索旋转的基本性质，以及一些基本图形的性质，并能利用图形变换设计、欣赏图形. 本文基于数学文化对“中心对称”做教学设计，以下一些方面值得反思.
(1)通过挖掘数学中的美，用中国传统民间艺术“剪纸”作为情景进行导入，特别是采用学生自己创作的剪纸图案，让学生体会、感受、欣赏数学美，让学生受到数学文化的震撼. 以此引导并激发学生进一步发现、探索数学的美，最后达到创造数学美的境界.
(2)中心对称和中心对称图形渗透了旋转变换思想，但学生已经习惯静态图形的学习，对运动变化不适应. 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. ……数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程. ”通过图形的动态演示以及让学生从“做中学”，让学生掌握这种变换思想，使学生的思维更加活跃，处理问题更加灵活. 在教学设计“中心对称性质”的形成中，让学生通过交流归纳，使他们感觉到自己在活动中“研究”的成果，对最终形成规范、正确的结论有重要贡献，从而激发他们更加注意数学学习方式.
(3)数学来源与生活，又必须回归于生活. 本教学设计采用的大部分都是与生活紧密相关的各种图形标志，让学生感知学习数学可以让生活增添许多乐趣，同时也让学生感知到数学就在我们身边，学习的数学就应当是生活中的数学，是“自己身边的数学”，并且进一步感悟到把实际问题抽象成数学问题的训练，同时培养学生的数学应用意识，提高了学生数学的学习兴趣, 进一步拓宽了学生的数学视野.
げ慰嘉南
ぃ1］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育《数学课程标准》(实验)［S］.北京师范大学出版社，2001.
ぃ2］ 张维忠.文化视野中的数学与数学教育［M］. 北京：人民教育出版社，2005.
ぃ3］ 钟向军，周均华.数学文化走进课堂的一次尝试［J］. 数学教学研究，2008,（2）.
数学可以塑造人的灵魂. 这里的数学不仅是数字、符号、公式，而是浸润其中的（数学）文化. 只有把抽象的、严谨的数学，即冰冷的数学，转化为生动的、人文的、思考的数学，即火热的数学文化，数学课堂才会变成陶冶人的炉膛. 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在基本理念中充分肯定了数学的社会文化价值，特别是在课程实施建议的教材编写建议中强调了各学段都要注重数学的文化价值，介绍有关的数学背景知识（数学家的故事、数学趣闻与数学史料）. 在数学新课程这一理念指导下，结合我们承担的浙江省教育科学规划2008年度研究课题“基于数学文化的教学模式研究”，笔者以八年级“中心对称”这一重要内容为载体，进行了基于“数学文化”的教学设计探索，以下是数学课堂教学实录与我们的思考.
1 教学实录
1.1 创设情景，引入课题
师：剪纸是中国民间传统艺术的一种，剪纸艺术距今已有两千多年的历史，经过民间艺术家的不断继承与创新，已经达到了相当高的艺术水平. 在日常生活中我们也经常看到一些精美的剪纸图案（多媒体展示）（略）. （展示的这些剪纸图案都是中心对称图形. 通过这些剪纸图案的展示，不仅能让学生感受到中国民间艺术的璀璨，而且让学生感受到艺术存在于学生身边，中心对称图形广泛存在于我们的实际生活中. 同时也让学生对中心对称图形有一个感性认识. ）
师：下面我们再来欣赏一些同学们自己的作品（略）.
师：在上节课中，我们已经看到不少图形绕着某一点旋转一定的角度后能与自身重合，那么这些图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合？
生:绕着中心点旋转72°或144°或216°或288°或90°或180°后能与自身重合.
（同时进行多媒体演示，得出问题的结论，从而引出本节课的课题《中心对称》. ）
师：很好！其中绕着中心点旋转180°后能与自身重合的图形我们就叫做中心对称图形（a figure of central symmetry）. 这个中心点叫做对称中心(centre of symmetry).
1.2 感受生活，识别图形
师:请大家从旋转角度上来说一说中心对称图形和旋转对称图形的联系与区别.
ド:因为旋转对称图形是指一个图形绕着某一点转动一定角度后能与自身重合，其中这个角度只要小于360°，所以中心对称图形一定是旋转对称图形，而旋转对称图形不一定是中心对称图形，如老师给出的图中有些只是旋转对称图形，而有些既是中心对称图形，又是旋转对称图形.
师:很好，这说明中心对称图形是旋转对称图形的特殊情况，聪明的你还能不能在日常生活中找到一些中心对称图形呢？
生：……（举例子）
师：现在播放一个Flash动画（蝴蝶飞呀），请大家欣赏，找出影片中哪些是中心对称图形. 看哪一组说得更多. （通过举例子以及播放Flash影片，加深对中心对称图形的理解，给学生视觉上的享受，让学生感觉到生活中处处都有中心对称图形，感受数学来源于生活，在日常生活中数学无处不在. ）
师：这些是我们日常生活中常见的图案，大家能不能在我们已经学过的几何图形中找一些中心对称图形呢？
生:有线段、长方形、正方形、平行四边形、圆.
师:那么它们的对称中心在哪里呢？
生:线段的对称中心是它的中点；长方形、正方形和平行四边形的对称中心都是对角线的交点；圆的对称中心就是圆心.
师:很好！刚才大家所举例的都是我们学过的一些基本图形，下面让我们来挑战一些更复杂的图形，判断他们是否是中心对称图形？（同时进行多媒体演示以帮助学生）（图略）
1.3 合作交流，探索新知
师:如果一个图形绕着某一点旋转180°后不是与自身重合，而是与另一个图形重合（如图1），那么我们称这两个图形成中心对称，这个点称为对称中心，两个图形中的对应点称为关于中心的对称点.
ね1图2
师:下面我们一起来探索成中心对称的两个图形有什么特征？如图2，点A和点A′关于点O成中心对称图形，那么你能从图中发现什么吗？
生:点A绕着点O旋转180°到达点A′，因此点A、O、A′三点在同一条直线上，并且OA=OA′.
师:不错，我们也可以这么说：线段AA′经过点O，并且点A和点A′到点O的距离相等或者说线段AA′被点O平分 . ナ:如果线段AB和线段A′B′关于点O成中心对称图形，如图3所示，那么你又能从图中发现什么吗？
ね3
生:根据前面的结论，同理可得：点A、O、A′三点在同一条直线上，点B、O、B′三点在同一条直线上，并且OA=OA′，OB=OB′.
ナ:我们还可以进一步往下探索，因为点O关于点O的对称图形就是它本身，所以可以得到△AOB和△A′OB′关于点O成中心对称，那么大家还能发现什么结论吗？
生:因为△AOB绕着点O旋转180°后与△A′OB′重合，所以两个三角形中所有的对应线段、对应角都相等，其中有∠A=∠A′，那么我们可以得到AB∥A′B′的结论. 图4
师:很好，在两个成中心对称的图形中，对应线段不仅相等（由旋转的特征可得），而且互相平行. 有没有特殊情况呢？
生:有，如图4所示，对应线段AB和A′B′正好在同一条直线上.
师:对，所以刚才的结论应该怎么说才比较完整？
生:在两个成中心对称的图形中，对应线段相等，并且互相平行或在同一条直线上.
师:由于△AOB和△A′OB′也关于点O成中心对称，我们可以得出:如果两个三角形的三对对应点关于同一点成中心对称，那么这两个三角形关于这一点成中心对称.
根据刚才所得结论，说一说由图5能得到什么结论：ネ5
△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称.
生:(1)OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′；
(2)A、O、A′三点在同一条直线上；B、O、B′三点在同一条直线上；C、O、C′三点在同一条直线上；
(3)AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
师:请大家归纳一下刚才所得的几个结论.
生:(1)在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.
(2)在成中心对称的两个图形中，对应线段相等，并且互相平行或在同一条直线上.
(3)如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称. ナ:结论中的(1)和(2)是成中心对称的两个图形的特征，结论(3)是判别两个图形是否成中心对称的方法. 另外还有一个很明显的特征：成中心对称的两个图形互相重合，由此我们可以得出，这两个成中心对称的图形中对应线段相等，对应角相等. （本环节的设置从中心对称概念出发，到最后归纳出中心对称的性质，思路清晰. 整个设计过程让学生从感性到理性，经历了概念的形成过程. 学生通过自己探索得到了知识，体会到了成功的喜悦. ）
1.4 指导应用，深化理解
ネ6师：图6是“本田”汽车标志的一部分，已知它是关于点P的一个中心对称图形，你能运用你所学的中心对称的知识画出它的另一部分吗？（合作探讨，协作完成. ）（此环节旨在加强学生对概念的理解与巩固；设计的问题注意了感性与理性认识的结合，以便于学生更深地理解；注意向学生渗透类比学习的思想方法；注意了知识的应用设计，体现了知识来源于生活又反作用于生活的辩证关系；注意了学生合作、创新意识的培养. ）
1.5 归纳总结，反思提高
想一想：通过本节课的学习，你有哪些收获？（自由发言）
说一说：通过本节课的学习，你学会了解决什么问题？（自由发言）
2 课后反思
“中心对称”是义务教育阶段第三学段中“图形与变换”的一个内容. 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》并不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而只要求“通过实例认识变换”，借助图形的直观探索旋转的基本性质，以及一些基本图形的性质，并能利用图形变换设计、欣赏图形. 本文基于数学文化对“中心对称”做教学设计，以下一些方面值得反思.
(1)通过挖掘数学中的美，用中国传统民间艺术“剪纸”作为情景进行导入，特别是采用学生自己创作的剪纸图案，让学生体会、感受、欣赏数学美，让学生受到数学文化的震撼. 以此引导并激发学生进一步发现、探索数学的美，最后达到创造数学美的境界.
(2)中心对称和中心对称图形渗透了旋转变换思想，但学生已经习惯静态图形的学习，对运动变化不适应. 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. ……数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程. ”通过图形的动态演示以及让学生从“做中学”，让学生掌握这种变换思想，使学生的思维更加活跃，处理问题更加灵活. 在教学设计“中心对称性质”的形成中，让学生通过交流归纳，使他们感觉到自己在活动中“研究”的成果，对最终形成规范、正确的结论有重要贡献，从而激发他们更加注意数学学习方式.
(3)数学来源与生活，又必须回归于生活. 本教学设计采用的大部分都是与生活紧密相关的各种图形标志，让学生感知学习数学可以让生活增添许多乐趣，同时也让学生感知到数学就在我们身边，学习的数学就应当是生活中的数学，是“自己身边的数学”，并且进一步感悟到把实际问题抽象成数学问题的训练，同时培养学生的数学应用意识，提高了学生数学的学习兴趣, 进一步拓宽了学生的数学视野.
げ慰嘉南
ぃ1］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育《数学课程标准》(实验)［S］.北京师范大学出版社，2001.
ぃ2］ 张维忠.文化视野中的数学与数学教育［M］. 北京：人民教育出版社，2005.
ぃ3］ 钟向军，周均华.数学文化走进课堂的一次尝试［J］. 数学教学研究，2008,（2）.
