巧用一元一次方程，将循环小数转化成分数
左效平
循环小数如何化为分数呢？同学们，你一定想知道转化的办法吧. 其实，转化的方法，就是同学们刚刚学到的一元一次方程. 相信你读了下文一定会有所收获的.
1把纯循环小数化成分数
定义：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数.
例1 把（1）0.9?, （2）0.2?35?化成分数.
分析 把纯纯循环小数化成分数时，我们可以采用列一元一次方程的方法去求解. 在解答时，要把握的关键是：在方程的两边同时乘以常数m，并且m=10琻，其中，n是循环节数.
解 （1）设x=0.9?=0.9999…①
因为,在这里循环节数n=1,所以, m=10琻=101 =10,
所以,在方程的两边同时乘以10,得：
10x=9.9999…②
用（2）-（1），得：9x=9，
解得：x=1,
同学们，你不觉得的惊奇吗？原来循环小数0.9?的结果确是整数1.
（2）设y=0.2?35?=0.235235235…①
因为,在这里循环节数n=3,所以, m=10琻=103 =1000,
所以,在方程的两边同时乘以1000,得：1000y=235.235235… ②
用②-①，得：999y=235，
解得：y=235999,即0.2?35?=235999 .
规律探寻：
把纯循环小数化为分数的方法是：利用一元一次方程法.
但是，在应用起来还是比较麻烦，有没有更简洁的方法呢？回答是：有. 这就是我们总结的规律：
把纯循环小数化为分数时，分子是一个循环节的数字构成的数；分母中是a个数字9；其中a等于循环节的位数.
同学们，你们明白了吗？请同学们用最简便的方法，把下列循环小数化成分数.
连一连：参考答案
0.3?79
0.7?7?737
0.1?89?13
ツ懔对了吗？对照一下答案吧.
2 把混循环小数化成分数
定义 如果小数点后面的开头几位不循环，从后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数.
例2 把（1）0.239?, （2）0.91?8?,（3）0.351?35?化成分数.
分析 把纯纯循环小数化成分数时，我们可以采用列一元一次方程的方法去求解. 在解答时，要把握的关键是：先把不循环的小数,转移到等号的左边,其次,在方程的两边同时乘以常数m，并且m=10琻，其中，n是小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数,最后转化成纯循环小数问题求解.
解 （1） 设x=0.239?=0.23+0.009?,所以，x-0.23=0.009?,
因为,在这里,小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数是2，
所以，n=2，所以, m=10琻=102=100,
所以,在方程的两边同时乘以100,得：100x-23=0.9?,所以, 100x-23=1,得：100x=24，
解得：x=625；
（2）设x=0.918?=0.9+0.01?8?,所以，x-0.9=0.01?8?,
因为,在这里,小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数是1，
所以，n=1，所以, m=10琻=101=10,
所以,在方程的两边同时乘以10,
サ茫10x-9=0.1?8? ,
所以, 10x-9=1899=211，
得：10x=211+9=10111，解得：x=101110；
（3）设x=0.351?35?=0.35+0.001?3?5?,所以，x-0.35=0.001?35?,
因为,在这里,小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数是2，
所以，n=2，所以, m=10琻=102=100,
所以,在方程的两边同时乘以100,得：100x-35=0.1?35? ,所以100x-35=135999，
得：100x=135999+35=35100999，
解得：x=351999=1337；
规律探寻：
把混循环小数化为分数的方法是：利用一元一次方程法.
但是，在应用起来还是比较麻烦，有没有更简洁的方法呢？回答是：有. 这就是我们总结的规律：
把混循环小数化为分数时，分子是一个循环节的数字构成的数加上小数点后面与第一个循环节数字之间的整数与（10琻-1）的积，其中，n是循环节数；
分母中是（10琻-1）×10琺，其中，n是循环节数，m为小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数.
同学们，你们明白了吗？
例3 在计算一个正数乘以3.57?的运算时，某同学误将3.57?错写作3.57，结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是.
解 设这个正数为x，依题意，得
(3.57?-3.57)x=1.4,
因为：3.57?=3+7+5×9(10-1)×10=35290，
所以上述方程可化为（35290-357100）x=1.4，
解得：x=180，
所以正确的乘积结果应为：
3.57?×180=32290×180=664.
试一试：
在计算一个正数乘以3.7?29?的运算时，某同学误将3.7?29?错写作3.729?，结果与正确答案相差0.01．求正确的乘积结果.
参考答案：
解 设这个正数为x，依题意，得
(3.7?29?-3.729?)x=0.01,
因为：3.7?29?=3+729999=3729999，
3.729?=3+9+72×9(10-1)×100=3657900,
所以上述方程可化为（3657900-3729999）x=0.01，
解得：x=37，
所以正确的乘积结果应为：3.7?29?×37=3729999×37=13837×37=138.
オプ髡呒蚪椋鹤笮平, 1967年11月生，中学高级教师， 先后获得省论文评选二等奖，市优秀教育工作者、县优秀班主任，县先进德育工作者.发表论文多篇.
循环小数如何化为分数呢？同学们，你一定想知道转化的办法吧. 其实，转化的方法，就是同学们刚刚学到的一元一次方程. 相信你读了下文一定会有所收获的.
1把纯循环小数化成分数
定义：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数.
例1 把（1）0.9?, （2）0.2?35?化成分数.
分析 把纯纯循环小数化成分数时，我们可以采用列一元一次方程的方法去求解. 在解答时，要把握的关键是：在方程的两边同时乘以常数m，并且m=10琻，其中，n是循环节数.
解 （1）设x=0.9?=0.9999…①
因为,在这里循环节数n=1,所以, m=10琻=101 =10,
所以,在方程的两边同时乘以10,得：
10x=9.9999…②
用（2）-（1），得：9x=9，
解得：x=1,
同学们，你不觉得的惊奇吗？原来循环小数0.9?的结果确是整数1.
（2）设y=0.2?35?=0.235235235…①
因为,在这里循环节数n=3,所以, m=10琻=103 =1000,
所以,在方程的两边同时乘以1000,得：1000y=235.235235… ②
用②-①，得：999y=235，
解得：y=235999,即0.2?35?=235999 .
规律探寻：
把纯循环小数化为分数的方法是：利用一元一次方程法.
但是，在应用起来还是比较麻烦，有没有更简洁的方法呢？回答是：有. 这就是我们总结的规律：
把纯循环小数化为分数时，分子是一个循环节的数字构成的数；分母中是a个数字9；其中a等于循环节的位数.
同学们，你们明白了吗？请同学们用最简便的方法，把下列循环小数化成分数.
连一连：参考答案
0.3?79
0.7?7?737
0.1?89?13
ツ懔对了吗？对照一下答案吧.
2 把混循环小数化成分数
定义 如果小数点后面的开头几位不循环，从后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数.
例2 把（1）0.239?, （2）0.91?8?,（3）0.351?35?化成分数.
分析 把纯纯循环小数化成分数时，我们可以采用列一元一次方程的方法去求解. 在解答时，要把握的关键是：先把不循环的小数,转移到等号的左边,其次,在方程的两边同时乘以常数m，并且m=10琻，其中，n是小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数,最后转化成纯循环小数问题求解.
解 （1） 设x=0.239?=0.23+0.009?,所以，x-0.23=0.009?,
因为,在这里,小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数是2，
所以，n=2，所以, m=10琻=102=100,
所以,在方程的两边同时乘以100,得：100x-23=0.9?,所以, 100x-23=1,得：100x=24，
解得：x=625；
（2）设x=0.918?=0.9+0.01?8?,所以，x-0.9=0.01?8?,
因为,在这里,小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数是1，
所以，n=1，所以, m=10琻=101=10,
所以,在方程的两边同时乘以10,
サ茫10x-9=0.1?8? ,
所以, 10x-9=1899=211，
得：10x=211+9=10111，解得：x=101110；
（3）设x=0.351?35?=0.35+0.001?3?5?,所以，x-0.35=0.001?35?,
因为,在这里,小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数是2，
所以，n=2，所以, m=10琻=102=100,
所以,在方程的两边同时乘以100,得：100x-35=0.1?35? ,所以100x-35=135999，
得：100x=135999+35=35100999，
解得：x=351999=1337；
规律探寻：
把混循环小数化为分数的方法是：利用一元一次方程法.
但是，在应用起来还是比较麻烦，有没有更简洁的方法呢？回答是：有. 这就是我们总结的规律：
把混循环小数化为分数时，分子是一个循环节的数字构成的数加上小数点后面与第一个循环节数字之间的整数与（10琻-1）的积，其中，n是循环节数；
分母中是（10琻-1）×10琺，其中，n是循环节数，m为小数点后面与第一个循环节数字之间的整数位数.
同学们，你们明白了吗？
例3 在计算一个正数乘以3.57?的运算时，某同学误将3.57?错写作3.57，结果与正确答案相差1.4．则正确的乘积结果是.
解 设这个正数为x，依题意，得
(3.57?-3.57)x=1.4,
因为：3.57?=3+7+5×9(10-1)×10=35290，
所以上述方程可化为（35290-357100）x=1.4，
解得：x=180，
所以正确的乘积结果应为：
3.57?×180=32290×180=664.
试一试：
在计算一个正数乘以3.7?29?的运算时，某同学误将3.7?29?错写作3.729?，结果与正确答案相差0.01．求正确的乘积结果.
参考答案：
解 设这个正数为x，依题意，得
(3.7?29?-3.729?)x=0.01,
因为：3.7?29?=3+729999=3729999，
3.729?=3+9+72×9(10-1)×100=3657900,
所以上述方程可化为（3657900-3729999）x=0.01，
解得：x=37，
所以正确的乘积结果应为：3.7?29?×37=3729999×37=13837×37=138.
オプ髡呒蚪椋鹤笮平, 1967年11月生，中学高级教师， 先后获得省论文评选二等奖，市优秀教育工作者、县优秀班主任，县先进德育工作者.发表论文多篇.
