中考探索规律问题常见考法赏析
杨本慧
新课标中明确提出：“探索具体问题中的数量关系和变化规律”．数学中的探索规律问题是指发现数学对象所具有的规律性与不变性的问题．探索规律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出一列数、一列等式、一列图形的前几个，然后通过我们观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论或条件．解决探索规律问题，让学生经历观察、比较、归纳、猜想的过程，可以培养学生的探究创新能力，也为高中学习数列知识打下一定的基础．因此，探索规律问题，常常出现在各省、市的中考试题中．下面结合2008年部分省、市的中考相关试题，分析初中的常见考法．
探索规律探索数式规律探索数值结果ぬ剿魇量关系
ぬ剿魍夹喂媛商剿魍夹蔚陌诜殴媛瑟ぬ剿魍夹蔚陌诜拧⑴帕懈鍪等ぬ剿魍夹蔚某ざ取⒅艹ぁ⒚婊等
1 探索数值结果
例1 （湖北十堰）观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64，…①
5，7，11，19，35，67，…②
根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果）．
评析 容易发现第①行的规律是2琻的形式，第②行的规律是2琻+3的形式．因此，两行的第10个数的和是210+210+3=2051．
例2 (江苏泰州)让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=5，计算n21+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n23+1得a3；
……
依此类推，则a2008.
评析 按游戏步骤，要得到a2008的值，表面上要进行2008次才能完成，但这是不现实的．像出现这种形式的问题，一般通过计算几个就会发现这些值存在一定的（循环）规律，然后按规律写出结果．本题中，a1=26，a2=65，a3=122，a4=26，a5=65，…．通过计算发现，a1、a2、a3、a4、a5、…的值每三个循环出现，因此a2008=a1=26．
例3 （湖南常德）下面是一个三角形数阵：
1
2 4 2
3 6 9 6 3
4 8 12 16 12 8 4
……
根据该数阵的规律，猜想第十行所有数的和是.
评析 观察“三角形数阵”发现，第n行的数依次是n,2n,3n,…,n2，…,3n,2n,n,第n行所有数的和n+2n+3n+…+n2+…+3n+2n+n=n3，因此是第十行所有数的和103（或1000）．
2 探索数量关系
例4 （广东梅州）观察下列等式:
1．32-12=4×2；
2．42-22=4×3；
3．52-32=4×4；
4．( )2-( )2=( )×( )；
…
则第4个等式为；第n个等式为（n是正整数）．
评析 探索数量关系，要认真分析所给等式的左边与右边的代数式共同特征，以及与对应序号的关系，用字母表示出来即可．本题等式的特征是：左边是平方差形式，右边都是4的倍数，答案：62-42=4×5;(n+2)2-n2=4×(n+1).
3 探索图形的长度、周长、面积等
例5 （广东湛江）如下图所示，已知等边三角形ABC的边长为1．按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( ).
A.2008 B.2009 C.2010 D.2011
评析 按图中所示的规律，每增加1个三角形，镶嵌而成的四边形的周长相应只增加1，答案选C．
例6 （黑龙江齐齐哈尔）如图1，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°；…，依此类推，这样做的第n个菱形AB璶C璶D璶的边AD璶的长是．
ね1图2
评析 AD2=32，通过计算发现AD璶=32AD﹏-1．因此AD璶的长是(32)﹏-1．
例7 （广西桂林）如图2，矩形A1B1C1D1的面积为4，顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3，依此类推，求四边形A璶B璶C璶D璶的面积是．
评析 “顺次连结各边中点”问题，在找规律问题中经常容易出现．容易发现，本题中四边形A璶B璶C璶D璶面积是四边形A﹏-1狟﹏-1狢﹏-1狣﹏-1面积的一半，按此规律可得四边形A璶B璶C璶D璶的面积是23-n．
4 探索图形的摆放、排列个数等
例8 （海南省）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.
评析 仔细观察发现，若以前一个图为基础，增加3个棋子就可得到后一个图．按此规律第个图形需棋子（3n+1）枚．
例9 （辽宁沈阳）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有个圆．
评析 经过观察发现，第n个图形中有（n2+1）个圆．因此第8个图形中有65个圆．
例10 （湖北襄樊）如图3，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…，照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．
ね3
评析 通过在锐角内部画射线，容易发现画n条不同射线，多画1条射线，就可多得锐角（n+1）个．照此规律，画10条不同射线，可得锐角1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝66个．
例11 （重庆）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个.
评析 观察发现，n×n个正方形图案比(n-1)×(n-1)个正方形图案中完整的圆多4(n-1)个．
5 探索图形的摆放规律
例12 （青海）观察下列图形的排列规律（其中☆、□、●分别表示五角星、正方形、圆）．●评析 观察图形排列规律发现，图形的排列是按“●□☆●●□☆”顺序循环排列的，因此第2008个图形与第6个图形（正方形）是一样的，即第2008个图形是正方形．
其实，初中探索规律问题常见的数学模型有： n2型、n2+1（或n2-1）型、2琻型、等差数列型、等比数列型，另外，也有以数学史料为背景设计的问题（如斐波拉契数列、杨辉三角等）．以上分析的仅是结合常见类型的一些考法，与大家共飧，还有许多问题需要我们继续共同探索．
新课标中明确提出：“探索具体问题中的数量关系和变化规律”．数学中的探索规律问题是指发现数学对象所具有的规律性与不变性的问题．探索规律性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出一列数、一列等式、一列图形的前几个，然后通过我们观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论或条件．解决探索规律问题，让学生经历观察、比较、归纳、猜想的过程，可以培养学生的探究创新能力，也为高中学习数列知识打下一定的基础．因此，探索规律问题，常常出现在各省、市的中考试题中．下面结合2008年部分省、市的中考相关试题，分析初中的常见考法．
探索规律探索数式规律探索数值结果ぬ剿魇量关系
ぬ剿魍夹喂媛商剿魍夹蔚陌诜殴媛瑟ぬ剿魍夹蔚陌诜拧⑴帕懈鍪等ぬ剿魍夹蔚某ざ取⒅艹ぁ⒚婊等
1 探索数值结果
例1 （湖北十堰）观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64，…①
5，7，11，19，35，67，…②
根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果）．
评析 容易发现第①行的规律是2琻的形式，第②行的规律是2琻+3的形式．因此，两行的第10个数的和是210+210+3=2051．
例2 (江苏泰州)让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=5，计算n21+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n23+1得a3；
……
依此类推，则a2008.
评析 按游戏步骤，要得到a2008的值，表面上要进行2008次才能完成，但这是不现实的．像出现这种形式的问题，一般通过计算几个就会发现这些值存在一定的（循环）规律，然后按规律写出结果．本题中，a1=26，a2=65，a3=122，a4=26，a5=65，…．通过计算发现，a1、a2、a3、a4、a5、…的值每三个循环出现，因此a2008=a1=26．
例3 （湖南常德）下面是一个三角形数阵：
1
2 4 2
3 6 9 6 3
4 8 12 16 12 8 4
……
根据该数阵的规律，猜想第十行所有数的和是.
评析 观察“三角形数阵”发现，第n行的数依次是n,2n,3n,…,n2，…,3n,2n,n,第n行所有数的和n+2n+3n+…+n2+…+3n+2n+n=n3，因此是第十行所有数的和103（或1000）．
2 探索数量关系
例4 （广东梅州）观察下列等式:
1．32-12=4×2；
2．42-22=4×3；
3．52-32=4×4；
4．( )2-( )2=( )×( )；
…
则第4个等式为；第n个等式为（n是正整数）．
评析 探索数量关系，要认真分析所给等式的左边与右边的代数式共同特征，以及与对应序号的关系，用字母表示出来即可．本题等式的特征是：左边是平方差形式，右边都是4的倍数，答案：62-42=4×5;(n+2)2-n2=4×(n+1).
3 探索图形的长度、周长、面积等
例5 （广东湛江）如下图所示，已知等边三角形ABC的边长为1．按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( ).
A.2008 B.2009 C.2010 D.2011
评析 按图中所示的规律，每增加1个三角形，镶嵌而成的四边形的周长相应只增加1，答案选C．
例6 （黑龙江齐齐哈尔）如图1，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°；…，依此类推，这样做的第n个菱形AB璶C璶D璶的边AD璶的长是．
ね1图2
评析 AD2=32，通过计算发现AD璶=32AD﹏-1．因此AD璶的长是(32)﹏-1．
例7 （广西桂林）如图2，矩形A1B1C1D1的面积为4，顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3，依此类推，求四边形A璶B璶C璶D璶的面积是．
评析 “顺次连结各边中点”问题，在找规律问题中经常容易出现．容易发现，本题中四边形A璶B璶C璶D璶面积是四边形A﹏-1狟﹏-1狢﹏-1狣﹏-1面积的一半，按此规律可得四边形A璶B璶C璶D璶的面积是23-n．
4 探索图形的摆放、排列个数等
例8 （海南省）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）.
评析 仔细观察发现，若以前一个图为基础，增加3个棋子就可得到后一个图．按此规律第个图形需棋子（3n+1）枚．
例9 （辽宁沈阳）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有个圆．
评析 经过观察发现，第n个图形中有（n2+1）个圆．因此第8个图形中有65个圆．
例10 （湖北襄樊）如图3，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…，照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．
ね3
评析 通过在锐角内部画射线，容易发现画n条不同射线，多画1条射线，就可多得锐角（n+1）个．照此规律，画10条不同射线，可得锐角1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＝66个．
例11 （重庆）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个.
评析 观察发现，n×n个正方形图案比(n-1)×(n-1)个正方形图案中完整的圆多4(n-1)个．
5 探索图形的摆放规律
例12 （青海）观察下列图形的排列规律（其中☆、□、●分别表示五角星、正方形、圆）．●评析 观察图形排列规律发现，图形的排列是按“●□☆●●□☆”顺序循环排列的，因此第2008个图形与第6个图形（正方形）是一样的，即第2008个图形是正方形．
其实，初中探索规律问题常见的数学模型有： n2型、n2+1（或n2-1）型、2琻型、等差数列型、等比数列型，另外，也有以数学史料为背景设计的问题（如斐波拉契数列、杨辉三角等）．以上分析的仅是结合常见类型的一些考法，与大家共飧，还有许多问题需要我们继续共同探索．
