分式新题连连看
张正平 许生友
分式是中考的必考内容.近年来,有关分式问题的创新型题目精彩纷呈,令人目不暇接.它的背景更丰富、更贴近学生的生活实际.为帮助同学们熟悉新题型,迎接新挑战,本文特采撷部分新型中考题并加以精析,供同学们参考.
1 求值开放型
例1 (2008年四川省宜宾市)请先将下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值.
(aa-1-1)÷1a2-2a+1.
分析 这类题原本是化简求值题,但一改往常形式,给了我们“自主”的空间,解它时,一是按常规化简,二是在取值时既要注意使运算更简单,同时又要考虑到“隐含条件”的约束(a取不等于1的其它值).
解 原式=a-a+1a-1?(a-1)2=a-1.
点评 这类问题的答案往往不惟一,主要考查分式有意义的条件,分式的四则混合运算.对字母自主取值体现了对考生的人文关怀,又考查了学生思维的缜密性.
2 情景型
例2 (2008年江苏省扬州市)课堂上,李老师出了这样一道题:
已知x=2008-53,求代数式x2-2x+1x2-1÷(1+x-3x+1)的值.
小明觉得直接代入计算太繁了,请你来帮他解决,并写出具体过程.
分析 正如题中小明一样,初看此题时,确实有点“怯题”,但只要将待求式化简后,发现结果是一个常数,根本与x的值无关.
解 原式=(x-1)2(x-1)(x+1)÷(x+1x+1+x-3x+1)=x-1x+1÷2(x-1)x+1
=x-1x+1×x+12(x-1)=12.
此题与x的取值无关,所以当x=2008-53,原式为12.
点评 本题以学生熟悉的课堂情景为背景进行命题,使严肃的“考场”变成轻松的“课堂”,体现了对考生的人文关怀.
3 说理型
例3 (2008年广西省桂林)有一道题:“先化简再求值:(x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1,其中x=-2008”,小明做题时把“x=-2008”错抄成了“x=2008”,但他的计算结果也是正确,请你通过计算解释这是怎么回事?
分析 读罢此题,疑窦顿生,种种猜测,难以定夺.但依题意,先“化简”,其结果是x2+1,至此,茅塞顿开.
解 (x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1
=[x-1x+1+2x(x+1)(x-1)]×(x+1)(x-1)
=(x-1)2+2x
=x2+1
因为当x=-2008或x=2008时,x2的值均为2008,
所以小明虽然把值抄错,但结果也是正确的.
点评 这是一道说理性问题.本题巧设悬念,扣人心弦,让考生透过现象看本质,有效地培养了同学们“打破沙锅——纹(问)到底”的探究精神.
4 全开放型
例4 (2008年恩施自治州)请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式:
x-4xy+4y2;x2-4y2;x-2y.
分析 每两个代数式组合都可以构成2个分式,因此共可构成6个分式.
解 本题答案不惟一,如x2-4xy+4y2x2-4y2=(x-2y)2(x+2y)(x-2y)=x-2yx+2y .
点评 本题是一道全开放型试题,更有利于培养同学们的创新思维能力.
5 阅读理解型
例5 (2008年广东湛江市)先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题.
11×2=1-12
12×3=12-13
13×4=13-14
ァ
ィ1)计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=.
ィ2)探究11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=.(用含n有的式子表示)
(3)若11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)的值为1735,求n的值.
分析 观察题中各列等式,可发现是将分式“拆分”后,再相加,那么所求式的计算可借鉴这一方法,先将所求式中的每个分式进行“拆分”.即15×6=15-16;1n(n+1)=1n-1n+1;…然后再相加.
解 (1)原式=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.
(2)原式=1-1n+1=nn+1.
(3)11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)
=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(12n-1-12n+1)
=12(1-12n+1)=n2n+1 .
由n2n+1=1735,解得n=17.
经检验n=17是方程的根,所以n=17.
点评 解决这类问题时,首先要通过阅读,发现题目中所隐含的解决问题的方法,然后运用这种方法来解决类似问题,这类问题能有效的考查同学们的阅读理解能力以及转化问题的能力.プ髡呒蚪椋盒砩友,男,1967年生.中学高级教师. 近几年致力于初中数学教学的改革,曾在多家省级以上报刊杂志上正式发表教育教学文章2000余篇,参编或主编教辅用书15部,为多家报刊社特约编辑及特约撰稿人.
分式是中考的必考内容.近年来,有关分式问题的创新型题目精彩纷呈,令人目不暇接.它的背景更丰富、更贴近学生的生活实际.为帮助同学们熟悉新题型,迎接新挑战,本文特采撷部分新型中考题并加以精析,供同学们参考.
1 求值开放型
例1 (2008年四川省宜宾市)请先将下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值.
(aa-1-1)÷1a2-2a+1.
分析 这类题原本是化简求值题,但一改往常形式,给了我们“自主”的空间,解它时,一是按常规化简,二是在取值时既要注意使运算更简单,同时又要考虑到“隐含条件”的约束(a取不等于1的其它值).
解 原式=a-a+1a-1?(a-1)2=a-1.
点评 这类问题的答案往往不惟一,主要考查分式有意义的条件,分式的四则混合运算.对字母自主取值体现了对考生的人文关怀,又考查了学生思维的缜密性.
2 情景型
例2 (2008年江苏省扬州市)课堂上,李老师出了这样一道题:
已知x=2008-53,求代数式x2-2x+1x2-1÷(1+x-3x+1)的值.
小明觉得直接代入计算太繁了,请你来帮他解决,并写出具体过程.
分析 正如题中小明一样,初看此题时,确实有点“怯题”,但只要将待求式化简后,发现结果是一个常数,根本与x的值无关.
解 原式=(x-1)2(x-1)(x+1)÷(x+1x+1+x-3x+1)=x-1x+1÷2(x-1)x+1
=x-1x+1×x+12(x-1)=12.
此题与x的取值无关,所以当x=2008-53,原式为12.
点评 本题以学生熟悉的课堂情景为背景进行命题,使严肃的“考场”变成轻松的“课堂”,体现了对考生的人文关怀.
3 说理型
例3 (2008年广西省桂林)有一道题:“先化简再求值:(x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1,其中x=-2008”,小明做题时把“x=-2008”错抄成了“x=2008”,但他的计算结果也是正确,请你通过计算解释这是怎么回事?
分析 读罢此题,疑窦顿生,种种猜测,难以定夺.但依题意,先“化简”,其结果是x2+1,至此,茅塞顿开.
解 (x-1x+1+2xx2-1)÷1x2-1
=[x-1x+1+2x(x+1)(x-1)]×(x+1)(x-1)
=(x-1)2+2x
=x2+1
因为当x=-2008或x=2008时,x2的值均为2008,
所以小明虽然把值抄错,但结果也是正确的.
点评 这是一道说理性问题.本题巧设悬念,扣人心弦,让考生透过现象看本质,有效地培养了同学们“打破沙锅——纹(问)到底”的探究精神.
4 全开放型
例4 (2008年恩施自治州)请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式:
x-4xy+4y2;x2-4y2;x-2y.
分析 每两个代数式组合都可以构成2个分式,因此共可构成6个分式.
解 本题答案不惟一,如x2-4xy+4y2x2-4y2=(x-2y)2(x+2y)(x-2y)=x-2yx+2y .
点评 本题是一道全开放型试题,更有利于培养同学们的创新思维能力.
5 阅读理解型
例5 (2008年广东湛江市)先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题.
11×2=1-12
12×3=12-13
13×4=13-14
ァ
ィ1)计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=.
ィ2)探究11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=.(用含n有的式子表示)
(3)若11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)的值为1735,求n的值.
分析 观察题中各列等式,可发现是将分式“拆分”后,再相加,那么所求式的计算可借鉴这一方法,先将所求式中的每个分式进行“拆分”.即15×6=15-16;1n(n+1)=1n-1n+1;…然后再相加.
解 (1)原式=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.
(2)原式=1-1n+1=nn+1.
(3)11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)
=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(12n-1-12n+1)
=12(1-12n+1)=n2n+1 .
由n2n+1=1735,解得n=17.
经检验n=17是方程的根,所以n=17.
点评 解决这类问题时,首先要通过阅读,发现题目中所隐含的解决问题的方法,然后运用这种方法来解决类似问题,这类问题能有效的考查同学们的阅读理解能力以及转化问题的能力.プ髡呒蚪椋盒砩友,男,1967年生.中学高级教师. 近几年致力于初中数学教学的改革,曾在多家省级以上报刊杂志上正式发表教育教学文章2000余篇,参编或主编教辅用书15部,为多家报刊社特约编辑及特约撰稿人.