对一道ＩＭＯ试题的探究
熊光汉
命题1 在△ABC中，∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交点R，与BC的垂直平分线交点P，与AC的垂直平分线交点Q.设K、L分别是BC、AC的中点，证明：△RPK和△RQL的面积相等.(图1)
这是2007年7月第48届国际数学奥林匹克第4题[1]，经笔者深入探究，发现当直线CR是∠BCA的外角平分线时，仍有此结论.于是我们可以得到.
命题2 在△ABC中，∠BCA的外角平分线所在直线与△ABC的外接圆交点R，与BC的垂直平分线交点P，与AC的垂直平分线交点Q.设K、L分别是BC、AC的中点.
则△RPK和△RQL的面积相等.
证明 如图2，设AC>BC，△ABC的外心为O，显然BC、AC的垂直平分线经过点O.连结AQ、BP，AQ与BP相交于E，连结OE，OE与CR相交于D.
那么有：AQ=CQ，BP=CP，且∠ACQ=∠BCP=∠CAQ=∠CBP=α.
因∠QPO=∠KPC=90°-α=∠LQC=∠PQO，∠EQP=∠RQA=2(90°-α)=∠RPB=∠EPQ.
所以有PO=QO，EP=QE，
于是有EO⊥QP，即EO⊥CP.
那么CP=RQ，CQ=PR，
参考文献
[1] 朱伟华. 第48届IMO试题解答[J]. 中等数学，2007，(9).
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
命题1 在△ABC中，∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交点R，与BC的垂直平分线交点P，与AC的垂直平分线交点Q.设K、L分别是BC、AC的中点，证明：△RPK和△RQL的面积相等.(图1)
这是2007年7月第48届国际数学奥林匹克第4题[1]，经笔者深入探究，发现当直线CR是∠BCA的外角平分线时，仍有此结论.于是我们可以得到.
命题2 在△ABC中，∠BCA的外角平分线所在直线与△ABC的外接圆交点R，与BC的垂直平分线交点P，与AC的垂直平分线交点Q.设K、L分别是BC、AC的中点.
则△RPK和△RQL的面积相等.
证明 如图2，设AC>BC，△ABC的外心为O，显然BC、AC的垂直平分线经过点O.连结AQ、BP，AQ与BP相交于E，连结OE，OE与CR相交于D.
那么有：AQ=CQ，BP=CP，且∠ACQ=∠BCP=∠CAQ=∠CBP=α.
因∠QPO=∠KPC=90°-α=∠LQC=∠PQO，∠EQP=∠RQA=2(90°-α)=∠RPB=∠EPQ.
所以有PO=QO，EP=QE，
于是有EO⊥QP，即EO⊥CP.
那么CP=RQ，CQ=PR，
参考文献
[1] 朱伟华. 第48届IMO试题解答[J]. 中等数学，2007，(9).
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