初中数学中的测量方案设计问题
郭 文 周冬梅
1 测量平面内不可直接到达的两点之间的距离
问题1 图1为公园内的人工湖，现要测量此人工湖两旁A，B两点的距离(A，B两点不能直接到达)，请你根据所学知识，以卷尺和测角仪为工具设计一种测量方案.
要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，写出测量数据(长度用a，b，c，…表示，角度用α，β，γ，…表示)；
(3)根据你测量的数据，计算AB间的距离.
方案设计1 利用等边三角形知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图2.
(3)测量步骤：
①用测角仪在A处测得∠BAC=60°；
②用测角仪在B处测得∠ABC=60°；
③用卷尺量出BC=a.
(4)根据等边三角形的知识，可得A，B之间的距离为a.
方案设计2 利用全等三角形知识.
(1)测量工具：卷尺.
(2)测量平面图：如图3.
(3)测量步骤：
①在地面上取一点C，使C点与A，B两点均可直接到达；
②用卷尺量出AC=b，并延长AC到D，使DC=b；
③用卷尺量出BC=a，并延长BC到E，使CE=a；
④用卷尺量出DE=c.
(4)根据三角形全等的知识，可得A，B两点间的距离为c.
方案设计3 利用勾股定理的知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图4.
(3)测量步骤：
①用测角仪在B处测得∠ABC=90°，
②用卷尺测得AC=a，BC=b.
(4)根据勾股定理可计算得AB=a2-b2.
方案设计4 利用解直角三角形的知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图4.
(3)测量步骤：
①用测角仪在B处测得∠ABC=90°；
②用测角仪在C处测得∠BCA=α；
③用卷尺测得BC=a.
(4)根据解直角三角形的知识，可得A，B两点间的距离为a·tanα.
方案设计5 利用三角形中位线的知识.
(1)测量工具：卷尺.
(2)测量平面图：如图5.
(3)测量步骤：
①在地面上取一点C，使C点与A，B两点均可直接到达；
②用卷尺量出AC=b，CB=a，并分别找出AC，CB的中点D，E；
③用卷尺量出DE=c.
(4)根据三角形中位线的知识，可得A，B两点间的距离为2c.
问题2 如图6所示为大运河的某一河段，先要测量这一河段的宽度(我们不能直接测量得到)，请根据所学知识，用适当的工具设计一种测量方案.
要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，写出测量数据；
(3)根据测量数据，计算河的宽度.
图6 图7 图8方案设计1 利用相似三角形的知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图7.
(3)测量步骤：
①在河对面找一个特别明显的标志点O；
②在河的这一侧选点A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB；
③确定DO和AB的交点C，用卷尺测得AC=a，BC=b，BD=c；
(4)根据三角形相似的知识，可以计算得出AO=acb.
方案设计2 利用解直角三角形的知识
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图8.
(3)测量步骤：
①在河对岸选一明显的标志点A，在河这岸取两点B，C；
②用测角仪测得∠ABC=α∠ACB=β；
③用卷尺测得BC的长为m米；
(4)根据解直角三角形的知识，可得河的宽度为mcotα+cotβ.
特别的，当α=β=60°时，利用等边三角形的知识，当α=β=45°时，利用等腰直角三角形的知识.
2 求地面上某物体的高度
2.1 测量底部可直接到达的物体的高度.
问题1 在一次实践活动中，某课题学习小组要测量学校旗杆的高度，如图9，请你帮他们设计一种测量方案.
要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，写出测量数据
(3)根据你测量的数据，计算旗杆的高度.
图9 图10 图11方案设计1 利用阳光下的影子，根据同一时刻物高与影长成正比例的知识.
(1)测量工具：卷尺，标杆.
(2)测量背景：晴朗的天气.
(3)测量平面图：如图10.
(4)测量步骤：
①测量旗杆的影长为AB=a；
②测量标杆的影长为CD=b；
③测出标杆的长为c.
(5)根据同一时刻物高与影长成正比例，算的旗杆的高度为acb.
方案设计2 利用标杆，根据三角形相似的知识.
(1)测量工具：卷尺，标杆.
(2)测量平面图：如图11.
(3)测量步骤：
①在观测者与旗杆之间的地上直立一根高度适当的标杆；
②观测者调整自己的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在一条直线上；
③测出观测者与旗杆底端的距离BF=a，以及观测者的脚到旗杆底端的距离FD=b.
④测出标杆的高度CD=c，以及观测者的身高EF=d
(4)根据相似三角形的知识，可得旗杆的高度为ac-ad+bdb.
方案设计3 利用镜子的反射，根据三角形相似的知识.
(1)测量工具：镜子，卷尺.
(2)测量平面图：如图12.
(3)测量步骤：
①在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；
②观测者看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.
③用卷尺测量出观测者的身高DE=a，以及观测者与镜子的距离DC=b，旗杆底部与镜子的距离BC=c.
(4)根据相似三角形的知识，可得旗杆的高度为acb.
方案设计4 利用解直角三角形的知识.
(1)测量工具：卷尺，测倾仪.
(2)测量平面图：如图13.
(3)测量步骤：
①在测点D处安置测倾仪，测得旗杆顶部A的仰角∠ACE=α；
②测出测点D与旗杆底部B的水平距离DB=m；
③测出测倾仪的高度CD=h.
(4)根据解直角三角形的知识，可算得旗杆的高度为mtanα+h.
2.2 测量底部不可直接到达的物体的高度.
问题2 如果把问题1中的旗杆换成一座小山，请设计一个测量小山高度的方案. 如图14.
要求：
(1)在图14中画出你测量小山高度MN的示意图，标上适当的字母；
(2)写出你的设计方案.
设计方案：利用解直角三角形知识.
(1)测量工具：卷尺，测倾仪.
(2)测量平面图：如图15.
(3)测量步骤：
图14 图15①在观测点A处安放测倾仪，测得此时山顶M的仰角∠MCE=α；
②在观测点A与小山间的B处安置测倾仪(A，B与M在同一条直线上)，测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾仪的高度AC=BD=h；量出AB之间的距离为m.
(4)根据解直角三角形的知识，可求得小山的高度MN为mcotα-cotβ+h.
数学测量方案设计问题的实践活动，充分调动了学生的积极性. 在实践活动的过程中，每一个学生都认真思考、积极参与，不仅培养了学生的观察能力、动手能力、更重要的是培养了学生解决问题的灵活性、多样性，增强了学生对数学的创新意识，让学生理解到数学就在我们身边，体现了数学在社会实践中的应用价值.
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1 测量平面内不可直接到达的两点之间的距离
问题1 图1为公园内的人工湖，现要测量此人工湖两旁A，B两点的距离(A，B两点不能直接到达)，请你根据所学知识，以卷尺和测角仪为工具设计一种测量方案.
要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，写出测量数据(长度用a，b，c，…表示，角度用α，β，γ，…表示)；
(3)根据你测量的数据，计算AB间的距离.
方案设计1 利用等边三角形知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图2.
(3)测量步骤：
①用测角仪在A处测得∠BAC=60°；
②用测角仪在B处测得∠ABC=60°；
③用卷尺量出BC=a.
(4)根据等边三角形的知识，可得A，B之间的距离为a.
方案设计2 利用全等三角形知识.
(1)测量工具：卷尺.
(2)测量平面图：如图3.
(3)测量步骤：
①在地面上取一点C，使C点与A，B两点均可直接到达；
②用卷尺量出AC=b，并延长AC到D，使DC=b；
③用卷尺量出BC=a，并延长BC到E，使CE=a；
④用卷尺量出DE=c.
(4)根据三角形全等的知识，可得A，B两点间的距离为c.
方案设计3 利用勾股定理的知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图4.
(3)测量步骤：
①用测角仪在B处测得∠ABC=90°，
②用卷尺测得AC=a，BC=b.
(4)根据勾股定理可计算得AB=a2-b2.
方案设计4 利用解直角三角形的知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图4.
(3)测量步骤：
①用测角仪在B处测得∠ABC=90°；
②用测角仪在C处测得∠BCA=α；
③用卷尺测得BC=a.
(4)根据解直角三角形的知识，可得A，B两点间的距离为a·tanα.
方案设计5 利用三角形中位线的知识.
(1)测量工具：卷尺.
(2)测量平面图：如图5.
(3)测量步骤：
①在地面上取一点C，使C点与A，B两点均可直接到达；
②用卷尺量出AC=b，CB=a，并分别找出AC，CB的中点D，E；
③用卷尺量出DE=c.
(4)根据三角形中位线的知识，可得A，B两点间的距离为2c.
问题2 如图6所示为大运河的某一河段，先要测量这一河段的宽度(我们不能直接测量得到)，请根据所学知识，用适当的工具设计一种测量方案.
要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，写出测量数据；
(3)根据测量数据，计算河的宽度.
图6 图7 图8方案设计1 利用相似三角形的知识.
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图7.
(3)测量步骤：
①在河对面找一个特别明显的标志点O；
②在河的这一侧选点A，B，D，使AB⊥AO，DB⊥AB；
③确定DO和AB的交点C，用卷尺测得AC=a，BC=b，BD=c；
(4)根据三角形相似的知识，可以计算得出AO=acb.
方案设计2 利用解直角三角形的知识
(1)测量工具：卷尺，测角仪.
(2)测量平面图：如图8.
(3)测量步骤：
①在河对岸选一明显的标志点A，在河这岸取两点B，C；
②用测角仪测得∠ABC=α∠ACB=β；
③用卷尺测得BC的长为m米；
(4)根据解直角三角形的知识，可得河的宽度为mcotα+cotβ.
特别的，当α=β=60°时，利用等边三角形的知识，当α=β=45°时，利用等腰直角三角形的知识.
2 求地面上某物体的高度
2.1 测量底部可直接到达的物体的高度.
问题1 在一次实践活动中，某课题学习小组要测量学校旗杆的高度，如图9，请你帮他们设计一种测量方案.
要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，写出测量数据
(3)根据你测量的数据，计算旗杆的高度.
图9 图10 图11方案设计1 利用阳光下的影子，根据同一时刻物高与影长成正比例的知识.
(1)测量工具：卷尺，标杆.
(2)测量背景：晴朗的天气.
(3)测量平面图：如图10.
(4)测量步骤：
①测量旗杆的影长为AB=a；
②测量标杆的影长为CD=b；
③测出标杆的长为c.
(5)根据同一时刻物高与影长成正比例，算的旗杆的高度为acb.
方案设计2 利用标杆，根据三角形相似的知识.
(1)测量工具：卷尺，标杆.
(2)测量平面图：如图11.
(3)测量步骤：
①在观测者与旗杆之间的地上直立一根高度适当的标杆；
②观测者调整自己的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在一条直线上；
③测出观测者与旗杆底端的距离BF=a，以及观测者的脚到旗杆底端的距离FD=b.
④测出标杆的高度CD=c，以及观测者的身高EF=d
(4)根据相似三角形的知识，可得旗杆的高度为ac-ad+bdb.
方案设计3 利用镜子的反射，根据三角形相似的知识.
(1)测量工具：镜子，卷尺.
(2)测量平面图：如图12.
(3)测量步骤：
①在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；
②观测者看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.
③用卷尺测量出观测者的身高DE=a，以及观测者与镜子的距离DC=b，旗杆底部与镜子的距离BC=c.
(4)根据相似三角形的知识，可得旗杆的高度为acb.
方案设计4 利用解直角三角形的知识.
(1)测量工具：卷尺，测倾仪.
(2)测量平面图：如图13.
(3)测量步骤：
①在测点D处安置测倾仪，测得旗杆顶部A的仰角∠ACE=α；
②测出测点D与旗杆底部B的水平距离DB=m；
③测出测倾仪的高度CD=h.
(4)根据解直角三角形的知识，可算得旗杆的高度为mtanα+h.
2.2 测量底部不可直接到达的物体的高度.
问题2 如果把问题1中的旗杆换成一座小山，请设计一个测量小山高度的方案. 如图14.
要求：
(1)在图14中画出你测量小山高度MN的示意图，标上适当的字母；
(2)写出你的设计方案.
设计方案：利用解直角三角形知识.
(1)测量工具：卷尺，测倾仪.
(2)测量平面图：如图15.
(3)测量步骤：
图14 图15①在观测点A处安放测倾仪，测得此时山顶M的仰角∠MCE=α；
②在观测点A与小山间的B处安置测倾仪(A，B与M在同一条直线上)，测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾仪的高度AC=BD=h；量出AB之间的距离为m.
(4)根据解直角三角形的知识，可求得小山的高度MN为mcotα-cotβ+h.
数学测量方案设计问题的实践活动，充分调动了学生的积极性. 在实践活动的过程中，每一个学生都认真思考、积极参与，不仅培养了学生的观察能力、动手能力、更重要的是培养了学生解决问题的灵活性、多样性，增强了学生对数学的创新意识，让学生理解到数学就在我们身边，体现了数学在社会实践中的应用价值.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
