方程：永远的好帮手
徐章韬 贾志刚 徐京榕
1 引言
我们生活的世界充满着未知因素，方程正是已知通往未知的桥梁，是人们认识物质运动规律的好帮手. 方程的历史源远流长，可以追溯到公元2000多年. 所谓“古典代数”主要是研究方程的解法的. 历史上，方程曾经是代数研究的中心课题，方程的解法曾作为代数的基本特征，而被长期保留. 直到17世纪，法国哲学家、数学家笛卡还认为：“一切问题可以转化成数学问题，一切数学问题可以转化成代数问题，一切代数问题可以化成方程求解的问题. ”当代数学大师陈省身曾谈到什么是好的数学，什么是不好的数学时，特别提到方程永远是好的数学. 中科院院士张景中先生成功地用导数定义了导数，使导数概念变得更容易[1]. 方程的理论与方法是科学大厦的坚实基础. 对于新的一代，方程的思想是必须掌握的重要数学思想，是解决很多实际问题的有力工具. 比如，组合问题由于情形复杂，很伤脑筋，但方程能帮助我们有序思考，化难为易. 下面介绍一个利用方程解决一个组合问题的实例，并引出一段趣话.
2 实例
设计一种方法.
(1)把一个正方形，不重复不遗漏地分成8个正方形(正方形的大小可以不同)；
(2)又问如何按要求分成31个正方形；
(3)把一个正方体分成55个立方体.
分析与解 利用方程有序地思考，并从简单的情形中找到模式. 最自然的想法莫过于把正方形一分为四，再任意选取一个一分为四，如此操作，得到的正方形个数为1，4，7，10，等等. 这是一个等差数列，不难得到31个正方形. 但这种做法不能形成模式，不能迁移到对问题(1)的解决. 我们要寻的是一般规律，不仅对分成8、31个正方形适用，也要对分成若干个正方形也适用. 这样问题才算圆满解决了. (1)不妨设，待分割的正方形的面积为S，S显然在1，4，9，…，n2中取值. 显然割成的小正方形的大小、个数均未知. 1.不妨设单位正方形有x个，边长为2的正方形有y个，则有方程x+y=8
x+4y=S，经计算无论S取何值，y都没有整数解，从而这种分割方式不存在. 分割方式不存在只是说明了这种组合不存在，方程还是个好帮手. 2.不妨设单位正方形有x个，边长为3的正方形有y个，则有x+y=8
x+9y=S，经计算当S=16时，x=7，y=1. 如图1，任意选出一个边长为3的正方形，剩下的便是7个正方形了. 3.考虑一般情形，设边长为m的正方形有x个，边长为的正方形有y个，则x+y=8
mx+ny=S，适当选取m，n，S的值，使x，y为整数，就是一种组合方式. 4.若分解成的正方形有三种型号，有单位正方形x个、边长为2的正方形y个、边长为3的正方形z个，则x+y+z=8
x+4y+9z=S，当S=25时，有一组解x=4，y=3，z=1，即把边长为5的大正方形分成4个单位正方形，3个边长为2的正方形，1个边长为3的正方形. 5.一般情形则是分解成的小正方形的型号不定，个数不定，最后归结为一个不定方程. (2)按上述算法，可把边长为8的大正方形分解成20个单位正方形，11个边长为2的正方形；或25个单位正方形，3个边长为2的正方形，3个边长为3的正方形. 分割组合的方式不唯一. (3)按上述算法，不妨设，待分割的立方体的体积为V，分解成了x个单位立方体，y个边长为2的立方体，则x+y=55
x+8y=V，当V=125时，x=45，y=10，即把边长为的5的立方体分解成45个单位立方体，10个边长为2的立方体.
3 趣话
波利亚说：“一个有意义题目的求解，为解此题所花的努力和由此得到的见解，可以打开通向一门新科学，甚至通向一个科学新纪元的门户.”[2]此言不虚，上述实例可以作注. 对上述实例中的分割结果作点约束，就得到正方分割：把正方形或矩形分割成边长不等的小正方形. 1936年，英国剑桥大学三一学院的四名学生塔特(Tutle)、斯通(Stone)、布鲁克斯(Brooks)和史密斯(smith)，同时对正方分割问题发生了兴趣并开始了各自漫长而成功的探索历程. 几十年过去了，当年的大学生通过对正方形的研究，后来都成了蜚声数坛的组合数学专家和图论专家. 他们的研究成果被成功运用电子、化学、建筑学、运筹学、通讯科学和计算机等多种学科，成为造福人类的有力工具[3]. 说来也巧，他们当年研究这个问题时，也用到了方程这个工具. 方程思想实在奇妙.
解数学题是一个创造过程，解难题是比较大的创造、解容易的题也是小的创造，关键是如何走上创造的道路. 著名物理学家、诺贝尔奖获得者费曼多次说，正因为看到了cos20°cos40°cos80°=18，觉得很是奇怪，大大激发了他学习数学的兴趣. 这个题目对他的影响，他一直难忘. 一个人在学生时代的旨趣，对其一生将产生难以估量的影响. 我们在做习题训练时，若多做些探究、引申推广，学会从多种角度看问题，定会打开一扇门，开辟一片属于我们自己的领域.
参考文献
[1] 张景中.把高等数学变得更容易[J].高等数学研究，2007，(6).
[2] [美]乔治·波利亚，欧阳绎译.数学和发现[M].北京：科学出版社，1982.
[3] 张远南.未知中的已知[M].上海：上海科学普及出版社，1990.
作者简介：徐章韬，湖北京山人，华东师范大学数学系博士研究生，主要研究教师教育、数学史与数学教育和竞赛数学. 发表学术论文40余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
1 引言
我们生活的世界充满着未知因素，方程正是已知通往未知的桥梁，是人们认识物质运动规律的好帮手. 方程的历史源远流长，可以追溯到公元2000多年. 所谓“古典代数”主要是研究方程的解法的. 历史上，方程曾经是代数研究的中心课题，方程的解法曾作为代数的基本特征，而被长期保留. 直到17世纪，法国哲学家、数学家笛卡还认为：“一切问题可以转化成数学问题，一切数学问题可以转化成代数问题，一切代数问题可以化成方程求解的问题. ”当代数学大师陈省身曾谈到什么是好的数学，什么是不好的数学时，特别提到方程永远是好的数学. 中科院院士张景中先生成功地用导数定义了导数，使导数概念变得更容易[1]. 方程的理论与方法是科学大厦的坚实基础. 对于新的一代，方程的思想是必须掌握的重要数学思想，是解决很多实际问题的有力工具. 比如，组合问题由于情形复杂，很伤脑筋，但方程能帮助我们有序思考，化难为易. 下面介绍一个利用方程解决一个组合问题的实例，并引出一段趣话.
2 实例
设计一种方法.
(1)把一个正方形，不重复不遗漏地分成8个正方形(正方形的大小可以不同)；
(2)又问如何按要求分成31个正方形；
(3)把一个正方体分成55个立方体.
分析与解 利用方程有序地思考，并从简单的情形中找到模式. 最自然的想法莫过于把正方形一分为四，再任意选取一个一分为四，如此操作，得到的正方形个数为1，4，7，10，等等. 这是一个等差数列，不难得到31个正方形. 但这种做法不能形成模式，不能迁移到对问题(1)的解决. 我们要寻的是一般规律，不仅对分成8、31个正方形适用，也要对分成若干个正方形也适用. 这样问题才算圆满解决了. (1)不妨设，待分割的正方形的面积为S，S显然在1，4，9，…，n2中取值. 显然割成的小正方形的大小、个数均未知. 1.不妨设单位正方形有x个，边长为2的正方形有y个，则有方程x+y=8
x+4y=S，经计算无论S取何值，y都没有整数解，从而这种分割方式不存在. 分割方式不存在只是说明了这种组合不存在，方程还是个好帮手. 2.不妨设单位正方形有x个，边长为3的正方形有y个，则有x+y=8
x+9y=S，经计算当S=16时，x=7，y=1. 如图1，任意选出一个边长为3的正方形，剩下的便是7个正方形了. 3.考虑一般情形，设边长为m的正方形有x个，边长为的正方形有y个，则x+y=8
mx+ny=S，适当选取m，n，S的值，使x，y为整数，就是一种组合方式. 4.若分解成的正方形有三种型号，有单位正方形x个、边长为2的正方形y个、边长为3的正方形z个，则x+y+z=8
x+4y+9z=S，当S=25时，有一组解x=4，y=3，z=1，即把边长为5的大正方形分成4个单位正方形，3个边长为2的正方形，1个边长为3的正方形. 5.一般情形则是分解成的小正方形的型号不定，个数不定，最后归结为一个不定方程. (2)按上述算法，可把边长为8的大正方形分解成20个单位正方形，11个边长为2的正方形；或25个单位正方形，3个边长为2的正方形，3个边长为3的正方形. 分割组合的方式不唯一. (3)按上述算法，不妨设，待分割的立方体的体积为V，分解成了x个单位立方体，y个边长为2的立方体，则x+y=55
x+8y=V，当V=125时，x=45，y=10，即把边长为的5的立方体分解成45个单位立方体，10个边长为2的立方体.
3 趣话
波利亚说：“一个有意义题目的求解，为解此题所花的努力和由此得到的见解，可以打开通向一门新科学，甚至通向一个科学新纪元的门户.”[2]此言不虚，上述实例可以作注. 对上述实例中的分割结果作点约束，就得到正方分割：把正方形或矩形分割成边长不等的小正方形. 1936年，英国剑桥大学三一学院的四名学生塔特(Tutle)、斯通(Stone)、布鲁克斯(Brooks)和史密斯(smith)，同时对正方分割问题发生了兴趣并开始了各自漫长而成功的探索历程. 几十年过去了，当年的大学生通过对正方形的研究，后来都成了蜚声数坛的组合数学专家和图论专家. 他们的研究成果被成功运用电子、化学、建筑学、运筹学、通讯科学和计算机等多种学科，成为造福人类的有力工具[3]. 说来也巧，他们当年研究这个问题时，也用到了方程这个工具. 方程思想实在奇妙.
解数学题是一个创造过程，解难题是比较大的创造、解容易的题也是小的创造，关键是如何走上创造的道路. 著名物理学家、诺贝尔奖获得者费曼多次说，正因为看到了cos20°cos40°cos80°=18，觉得很是奇怪，大大激发了他学习数学的兴趣. 这个题目对他的影响，他一直难忘. 一个人在学生时代的旨趣，对其一生将产生难以估量的影响. 我们在做习题训练时，若多做些探究、引申推广，学会从多种角度看问题，定会打开一扇门，开辟一片属于我们自己的领域.
参考文献
[1] 张景中.把高等数学变得更容易[J].高等数学研究，2007，(6).
[2] [美]乔治·波利亚，欧阳绎译.数学和发现[M].北京：科学出版社，1982.
[3] 张远南.未知中的已知[M].上海：上海科学普及出版社，1990.
作者简介：徐章韬，湖北京山人，华东师范大学数学系博士研究生，主要研究教师教育、数学史与数学教育和竞赛数学. 发表学术论文40余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
