∞点的性质在复积分计算中的应用研究

    杨勇 刘思含 黄玲艳 杨学凤 赵艳辉

    

    

    

    摘要：本文根据留数定理和相关结论，主要讨论以下沿闭曲线的积分问题：当闭曲线围成的区域内被积函数的孤立奇点个数较多或者极点的阶数较高时，通过无穷远点的留数简化计算。并简化了文献[5]—[6]中的相应结论，使其更方便于理解和应用。

    关键词：复积分;无穷远点;孤立奇点;留数定理

    解析函数是《复变函数论》研究的中心问题，而与函数解析相对立的概念是函数的奇点，其中的孤立奇点是解析函数的奇点中最简单也最重要的一种类型，在孤立奇点的去心邻域内，以解析函数的洛朗展式为工具可以很好地研究该解析函数的性质。由于函数f（z）在点∞总是无意义的，所以点∞总是f（z）的奇点。若点∞是f（z）的孤立奇点，则通过其在去心邻域内的洛朗展式可以讨论函数在无穷远处的性质，其中一个重要的结论是函数f（z）在点∞的留数是其洛朗展式中负一次幂的系数的相反数。根据留数定义可以把沿闭曲线的曲线积分问题转化为求孤立奇点处的留数问题。

    关于留数的计算，一般的《复变函数论》教材都有详细的讨论。在文献[1]—[3]中对一些特殊函数的留数问题进行了讨论，得到了相应的计算方法;在文献[4]中介绍了沿闭曲线的积分可用柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等方法计算;而在文献[5]—[6]则讨论了含点∞的区域的柯西积分公式和留数定理。

    本文根据留数定理和相关结论，主要讨论以下沿闭曲线的积分问题：当闭曲线围成的区域内被积函数的孤立奇点个数较多或者极点的阶数较高时，通过无穷远点的留数简化计算。并简化了文献[5]-[6]中的相应结论，使其更方便于理解和应用。

    1 有关引理和定义

    4 结论

    根据复合闭路定理，定理1-3的区域D和边界C可以有更一般的形式：即区域D是扩充复平面上含点∞的区域，其边界C由有限条互不包含且互不相交的周线C1，C2，…，Cn组成，即C=C1+C2+…+Cn，结论也成立。

    ∞处的函数性质能够将复杂的复积分计算问题转化为求某个函数值的问题，从而大大精简了运算的过程和减轻了计算积分的难度。

    参考文献：

    [1]沈艳微，李金枝.留数定理及其应用[J].黑龙江科技信息，2016，（01）：34.

    [2]马建清.一类分式的留数计算方法[J].高等函授学报.（自然科学版），2012，25（06）：49-50.

    [3]廖为.孤立奇点处留数的计算方法[J].科技创新与生产力，2012，（12）：105-106.

    [4]孙宝山.沿闭曲线积分的计算方法探讨[J].科技经济导刊，2016，（33）：204.

    [5]赵天玉，魏晶，陈忠.含无穷远点区域的柯西积分公式及其推广[J].長江大学学报（自科版），2015，12（28）：1-4+91.

    [6]王见勇.无穷远点的留数计算及留数定理的推广[J].高等数学研究，2004，7（01）：22-24+53.

    [7]钟玉泉.复变函数论[M].高等教育出版社，2013（8）.