数形结合思想在高中数学教学中的有效运用

    姚绮

    

    

    

    摘 要：提升课堂教学效益以及发展学生的数学核心素养是每一位高中数学教师坚持不懈的努力方向。实践证明，数形结合思想在高中数学课堂教学过程中的巧妙运用能够大幅提升课堂教学效益和全面发展学生的核心素养。在借鉴相关理论研究成果的基础上，结合高中数学教学的实际，浅显论述数形结合思想在高中数学教学过程中的有效运用。

    关键词：数形结合;高中数学;有效运用

    一直以来，数形结合既被当作是一种重要的数学思想，又被视作是一种常用的数学方法。之所以说是一种重要的数学思想，是因为数形结合就是将抽象的数学语言、符号等与其反映的图形有机地结合起来，从而促进代数与几何，抽象思维与形象思维的有机结合。之所以说是一种常用的数学方法，是因为通过直观图形的观察与分析，能够化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得以解决。

    相比于初中阶段的数学知识而言，高中数学知识在广度上有所拓展，在深度上有所延伸，在难度上有所提升。也正因为如此，高中学生在数学学习方面的困难明显增多。对于高中数学教师来说，为了引领高中学生摆脱数学学习困境，必须化抽象为直观，化直观为精确。鉴于此，教师正好可以巧妙地运用数形结合思想。下面笔者将在借鉴相关理论研究成果的基础上，紧密结合自身的教学实际，浅显论述数学结合思想在高中数学教学过程中的有效运用。

    一、数形结合释概念

    准确透彻地理解数学概念是学生学好数学的必要前提。然而，在高中数学教学过程中，面对各种各样抽象的数学概念，学生总是一知半解。学生对于数学概念理解得不够透彻、深入、全面，那么，他们也就很难准确无误、灵活自如地运用数学概念解决各种实际问题。

    聚焦学生学习数学概念的过程，不难发现：部分学生之所以对数学概念一知半解，最主要的原因是数学概念比较抽象，而学生的抽象思维能力又不尽如人意。显而易见，在短期内提升学生的抽象思维能力是不现实的。既然在短期内提升学生的抽象思维能力不现实，那么，教师就要想方设法将原本抽象的数学概念形象化。为了将抽象的数学概念形象化，教师不妨恰如其分地运用数形结合思想。

    “任意角”是人教版A版高中数学必修四“三角函数”这一章中的一部分内容。在这部分内容中有诸多概念需要学生准确透彻地理解，如，“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”和“旋转定义角”等。

    例如，在讲解“正角”“负角”和“零角”的概念时，教师就可以巧妙地融入数形结合思想。通常情况下，我们将按照逆时针方向旋转所成的角称之为正角。在学生理解了正角的概念之后，教师可以进一步启发：什么是负角呢？什么是零角呢？

    这时候，学生就可以完全自主利用数形结合的思想理解负角的概念了。因为正角是按照逆时针方向旋转所成的角，所以负角就是按照顺时针方向旋转所成的角。而在一个任意角中，如果这个任意角的任何一条射线没有做任何旋转，那么，这样的角就被称之为零角。

    再以“算法初步”这一章内容为例，理解算法的基本概念是这一章中的教学重点。关于算法的概念，学生并不陌生。简单来说，在四则混合运算中先算括号里面的，再算括号外面的，先乘除，后加减等都属于算法的基本概念。另外，像乘法口诀和珠算口诀等都属于算法的具体体现。再复杂一些，比如说，求解一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式以及求解线性方程组等属于算法的范畴。算法，说到底，就是做某一件事情的具体步骤和基本程序。因此，从广义上来说，菜谱也可以称之为菜肴的算法，电视机的操作说明书也可以称之为电视机的算法，乐谱则可以称之为乐曲的算法等。算法还可以用自然语言来描述，通常情况下，为了使得算法的程序和步骤表现得更为直观，教师可以指导学生以数形结合的方式理解算法的概念，如图所示：

    比如说，为了让学生更为准确透彻地理解“函数单调性”这一概念，教师同样可以指导学生巧妙利用数形结合思想，即函数图象。数形结合思想的巧妙运用不仅有助于培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，还有助于学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。

    可见，正是因为形象直观的图像，让学生对于增函数和减函数的概念有了更为准确透彻的理解。

    在引领学生学习数学概念的过程中，得益于数形结合思想恰如其分的运用，教师能够将原本抽象的数学概念变得形象具体，进而让学生更深、更透、更全地理解数学概念。

    二、数形结合破难点

    突破课堂教学难点是每一位教师绞尽脑汁努力的方向。在突破课堂教学难点的过程中，因为受到教师教学方法的限制以及学生思维能力的束缚，所以课堂教学难点的突破会遭遇重重困难。为了更好地突破课堂教学难点，对于教师来说，必须想方设法优化自身教学方法;对学生而言，必须千方百计突破自身的思维束缚。

    有鉴于此，在高中数学教学过程中，教师要在紧扣教材教学内容的前提下，准确无误地确定教学难点。围绕教材难点，教师可以巧妙地运用数形结合思想优化自身教学方法以及摆脱学生的思维束缚。如此这般，数形结合思想就会成为突破高中数学课堂教学难点的一大利器。

    比如说，在教学人教版A版高中数学必修四“任意角的三角函数”这部分内容的时候，教师在深入挖掘教材教学内容的基础上，准确无误地确定了这节课的教学难点，即利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的集合形式表示出来。

    从这个角度来讲，数形结合思想就好比是一种利器，能够在突破课堂教学难点的过程中披荆斩棘，最终引领学生突破难点，准确透彻地理解相关知识。

    三、数形结合理思路

    正所谓“养兵千日，用兵一时。”对于高中学生而言，无论是学习数学概念，还是理解数学公式，其最终目的都是能够准确无误、灵活自如地运用这些数学概念和数学公式解答各种数学题目。而在解答各种数学题目的过程中，学生的解题思路至关重要。如果学生的解题思路含糊不清、模棱两可，那么，学生在解答的过程中肯定也会困难重重。反之，如果学生的解题思路脉絡清晰、步骤清楚，那么，学生的解题效率自然也会得到大幅提升。

    那么，教师究竟应该怎样指导学生理清解题思路呢？实践证明，在高中数学教学过程中，教师恰如其分地运用数形结合思想能够帮助学生理清解题思路。而一旦学生理清了解题思路，准确解答相关题目也就成了水到渠成的事情。

    比如说，教师在引领学生解答“与方程有关的问题”时，就可以指导学生恰当地利用数形结合思想。

    毫无疑问，当学生熟练掌握利用数形结合思想理清解题思路这种方法之后，学生的解题速度与准确率就能够得到明显提升。

    四、数形结合梳知识

    数学知识之间是纵横交错、环环相扣、紧密联系的。在高中数学学习过程中，如果学生能够脉络清晰地梳理各种数学知识，那么，学生对于相关数学知识的理解就会更加准确、更加全面、更加透彻。不仅如此，以脉络清晰地梳理各种数学知识为契机，学生综合运用这些数学知识解决各种实际问题的能力也就能够得到不断提升。

    基于高中学生想要脉络清晰地梳理各种数学知识的现实需要，高中数学教师要想方设法指引学生找准梳理数学知识的“梳子”。而事实上，数形结合的思想正是高中学生梳理数学知识的一把梳子。之所以这样说，是因为学生巧妙地运用数形结合思想能够将各种各样的数学知识脉络清晰、层次分明地展现出来。

    以高中数学“不等式”这部分内容为例，教师可以围绕“不等式”勾勒一张数形结合图。在这张数形结合图中，“不等式”是核心关键词，围绕“不等式”这一核心关键词又可以发散出“不等式的性质”“一元二次不等式”“简单的线性规划”和“基本不等式”等一级关键词。围绕这些一级关键词又可以发散出二级关键词。如围绕“简单的线性规划”又可以发散出“可行域”“目标函数”和“应用题”等二级关键词。

    再以“概率”这部分内容为例，在教师的指导下，学生可以将“概率”作为核心关键词。围绕这一核心关键词，学生可以继续延伸出“随机事件的概率”“古典概型”“几何概型”“离散型随机变

    量”“条件概率和事件的独立性”和“正态分布”等一级关键词。而围绕“随机事件的概率”这个一级关键词又可以延伸出“随机事件的概率”“概率的定义”和“概率的基本性质”等二級关键词。

    还比如说，在学生系统学习完“三角函数”这部分内容的时候，教师可以布置一项课后复习作业，即让学生用数形结合思想归纳与梳理这部分知识的要点以及各部分知识之间的关系。“三角函数”这部分内容主要包括“任意角的概念、终边相同角、象限角、区间角、角度制和弧度制、任意角的三角函数、三角函数图象与性质、诱导公式、符号法则、三角函数线、弧长与扇形面积公式、同角函数关系以及三角恒等变换等”，具体可以用下图表示：

    显而易见，数形结合思想在梳理数学知识过程中的巧妙运用，有助于学生找准各个数学知识点之间的联系，有助于学生更深、更全、更透地理解相关数学知识。

    五、数形结合激兴趣

    歌德说：“哪里没有兴趣，哪里就没有记忆。”学生对于所学知识的兴趣决定着他们学习的实效性。对于高中学生而言，如果他们在学习数学的过程中对相关数学知识缺乏浓厚的兴趣，那么，他们的学习效益肯定会不太理想。相反，如果高中学生对于数学知识产生了浓厚的兴趣，那么，他们学习数学的实效性自然也会得到显著提升。

    实践证明，数形结合是激发高中学生数学学习兴趣的一种有效途径。数形结合之所以能够激发学生学习数学的浓厚兴趣，主要是因为数形结合能够将原本抽象的数学知识形象化。形象化的数学知识能够极大地激发高中学生的浓厚兴趣。

    比如说，在教学人教A版高中数学必修四“同角三角函数的基本关系”这部分内容的时候，教师可以巧妙地利用数形结合思想激发学生学习这部分内容的兴趣。

    教师利用数形结合思想可以引领学生兴致勃勃地总结与归纳同角三角函数的基本关系，具体如下：（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系;（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数的平方和下面顶点上的三角函数值的平方，有平方关系;（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积，可演化为商数关系。就这三层关系，教师可以指导学生运用数形结合思想清晰地展现出来，具体如下图：

    很显然，相比于让学生直接用语言文字总结同角三角函数的基本关系而言，数形结合思想的恰当运用能够切实激发学生学习这部分内容的浓厚兴趣。不仅如此，数学结合思想的恰当运用还能够显著降低学生学习新知的难度，进而促进学生更为条理清晰地梳理同角三角函数的基本关系。

    在解答这道题目的过程中，教师引导学生用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数，这正是数形结合思想的具体表现。当学生运用函数图象这种数形结合思想解答各种复杂方程的时候，就会对解答复杂方程产生浓厚的兴趣。因为兴趣浓厚，所以学生原本解答复杂方程的畏难情绪也就会消失殆尽。用函数图象讨论方程解的个数，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数图象，图象的交点个数即为方程解的个数。

    由此可见，数形结合思想在高中数学教学过程中的有效运用不仅将原本抽象的数学知识形象化，将原本复杂的知识简单化，还能够切实激发高中学生学习数学的浓厚兴趣。这样一来，在浓厚兴趣的推波助澜下，学生的学习实效性自然会得到显著提升。

    综上所述，数形结合思想在高中数学教学过程中的巧妙运用有助于学生释概念、破难点、理思路、梳知识和激兴趣。当然，为了更好地发挥数形结合思想在高中数学教学中的这些作用，教师一定要找准在高中数学教学过程中融入数形结合思想的切入点，即教师要将数形结合思想与高中数学相关知识恰如其分、贴切入微地结合起来。如此这般，数形结合思想才能够成为提升高中数学课堂教学效益和发展高中学生数学核心素养的有力推手。

    参考文献：

    [1]侯招琴.数形结合思想在高中数学教学中的有效运用[J].吉林教育，2017（31）：74-80.

    [2]朱伦.数形结合走出数学的迷宫：论数形结合思想在高中数学教学实践中的有效运用[J].考试周刊，2018（41）：99.