用探究方法求满足某条件的点
徐 强
探究类问题是近年来中考中的一个热点和亮点之一，由于解决这类问题既要有较强的想象能力，也要有基础知识和基本技能灵活运用的应变能力(迁移能力)，有时还需加上一定的猜想能力. 因此，在解题时，稍有不慎，往往就会出现漏解或错解. 那么，如何完整合理地解决这类问题呢?本文就列举关于满足某条件的点的探究题为例，谈点探究方法，供参考.
1 作弧探究法
例1 在等边△ABC所在的平面内，同时满足△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形的点P的个数有几个?
解 根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等性质，所以在如图1中，分别画出线段AB、BC、AC的中垂线，则三条中垂线的交点就是符合条件的一个P1点，再以A为圆心，以AC长为半径画弧与直线AP1交于P2，与直线CP1交于P3，与直线P1A交于P4. 同样，以点B、点C分别为圆心，以AC长为半径，画弧后则又可得到符合条件的另6个点. 因此，满足题中条件的点有10个.
例2 如图2，正方形ABCD所在平面上有点P，(如图中所画的点P1)使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，问具有这样性质的点P有多少个?在图中画出来.
解 在图中分别过正方形对边中点作直线EF、GH，再以点A、点C分别为圆心，以正方形ABCD的边长为半径画弧，则可得正方形内部与两条对边中点的连线交点P2、P3、P4、P5，在两条直线外部可得交点P6、P7、P8、P9. 因此，具有这样性质的点P共有9个.
例3 直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有个.
A.4 B.5 C.7 D.8
解 先作出直线y=x-1在坐标轴中的图像. 如图3，因为A(0，-1)，B(1，0)，所以OA=OB，则点O处就是满足条件的点C，另外，以点B为圆心，AB长为半径时，画弧与坐标轴相交的有三个C2、C3、C4；同样以点A为圆心，AB长为半径画弧又可得另三个交点C5、C6、C7. 因此，满足条件的点C最多有7个，故选C.
2 分类讨论法
图4例4 如图4，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M、N、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，小明发现：当动点M运动到(-1，1)时，y轴上存在点P(0，1)，此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形，在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M，请你写出其它符合条件的点P的坐标.
解 由题意，根据小明的发现，当M运动到(-1，1)时，ON=1，MN=1，因为MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，(0，0)就是符合条件的一个P点. 又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M(x，2x+3)，则有-x=-(2x+3)，解得x=-3，所以点P坐标为(0，-3).
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M(x，2x+3)，则有-x=-12(2x+3)，化简得-2x=-2x-3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点.
又当点M在第二象限，MN为斜边时，这时NP=MP，∠MNM=45°，设点M(x，2x+3)，则OP=ON，而OP=-12MN，所以有-x=-12(2x+3)，解得x=-34，这时点P的坐标为(0，34).
因此，其他符合条件的点P坐标是(0，0)，(0，34)，(0，-3).
3 推理论证法
例5 如图5，矩形ABCG(AB
解 此题实质是直线BD与以AE为直径的圆的位置关系问题.
连结AE，并设矩形长为a，宽为b，由勾股定理，则AE=(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 . 所以此圆半径长为12AE，即122a2+2b2. 因为圆心到直线BD的距离等于梯形ABDE的中位线长，即12(a+b)，比较2a2+2b2与(a+b)的大小，只要比较2a2+2b2与(a+b)2的大小. 因为2a2+2b2-(a+b)2=(a-b)2. 因为a≠b，且a>b，所以(a-b)2>0，则BD与以AE为直径的圆有两个交点，即使∠APE为直角的点P的个数是2个，故应选C.
例6 如图6，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2-x-6与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. 如果点M在y轴右侧的抛物线上. S△AMO=23S△COB，那么点M的坐标是.
解 因为y=0时，x2-x-6=0，解这方程得x1=-2，x2=3. 所以A(-2，0)，B(3，0). 所以OA=2，OB=3，又由y=x2-x-6，当x=0时，y=-6，所以OC=6. 因为OC⊥OB，S△AMO=23S△COB，所以S△AMO=23×12OC. OB=6，设M(x璏，y璏). 则S△AMO=12×OA×|y璏|=6，因为点M在抛物线上，所以当y璏=-6时，有x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=1或x璏=0(已有点C，不合题意，舍去)，所以M1(1，-6).
又当y璏=6时，x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=4或x璏=-3(不合题意，舍去)，所以M2(4，6).
因此，符合条件的点M有(1，-6)和(4，6).
4 综合法
例7 在劳技课上，老师请同学们在一张长为17厘米，宽为16厘米的长方形纸上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上)，请你帮助同学们画出示意图，并计算剪下的等腰三角形的面积.
解 因为等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，另两个顶点又在长方形边上，17>10，16>10，所以如图7①就是符合条件的一种情况，这时三角形的面积为S△=12×10×10=50(cm2).
又当等腰三角形一腰与长方形双重合量，如图7②，因为AD=17，所以ED=7，因为EF=10，由勾股定理得DF=51，所以S△=12×10×51=551(cm2).
同样，AE落在AB边上时，以点E为圆心，以10cm长为半径画弧，与BC边交于点F，则△AEF就是符合条件的三角形，此时三角形面积为12AE·BF，因为BE=6，EF=10，所以BF=8，所以S△=12×10×8=40(cm2)(如图7③).
由此看来，找三角形可转化为一边先确定，再找出符合条件的另一个顶点.
作者简介：徐强，1978年10月，中教二级，大学本科，主要研究初中数学的解题方法的总结以及怎样培养学生的探究.归纳等各种数学思想.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
探究类问题是近年来中考中的一个热点和亮点之一，由于解决这类问题既要有较强的想象能力，也要有基础知识和基本技能灵活运用的应变能力(迁移能力)，有时还需加上一定的猜想能力. 因此，在解题时，稍有不慎，往往就会出现漏解或错解. 那么，如何完整合理地解决这类问题呢?本文就列举关于满足某条件的点的探究题为例，谈点探究方法，供参考.
1 作弧探究法
例1 在等边△ABC所在的平面内，同时满足△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形的点P的个数有几个?
解 根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等性质，所以在如图1中，分别画出线段AB、BC、AC的中垂线，则三条中垂线的交点就是符合条件的一个P1点，再以A为圆心，以AC长为半径画弧与直线AP1交于P2，与直线CP1交于P3，与直线P1A交于P4. 同样，以点B、点C分别为圆心，以AC长为半径，画弧后则又可得到符合条件的另6个点. 因此，满足题中条件的点有10个.
例2 如图2，正方形ABCD所在平面上有点P，(如图中所画的点P1)使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，问具有这样性质的点P有多少个?在图中画出来.
解 在图中分别过正方形对边中点作直线EF、GH，再以点A、点C分别为圆心，以正方形ABCD的边长为半径画弧，则可得正方形内部与两条对边中点的连线交点P2、P3、P4、P5，在两条直线外部可得交点P6、P7、P8、P9. 因此，具有这样性质的点P共有9个.
例3 直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有个.
A.4 B.5 C.7 D.8
解 先作出直线y=x-1在坐标轴中的图像. 如图3，因为A(0，-1)，B(1，0)，所以OA=OB，则点O处就是满足条件的点C，另外，以点B为圆心，AB长为半径时，画弧与坐标轴相交的有三个C2、C3、C4；同样以点A为圆心，AB长为半径画弧又可得另三个交点C5、C6、C7. 因此，满足条件的点C最多有7个，故选C.
2 分类讨论法
图4例4 如图4，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M、N、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，小明发现：当动点M运动到(-1，1)时，y轴上存在点P(0，1)，此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形，在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M，请你写出其它符合条件的点P的坐标.
解 由题意，根据小明的发现，当M运动到(-1，1)时，ON=1，MN=1，因为MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，(0，0)就是符合条件的一个P点. 又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M(x，2x+3)，则有-x=-(2x+3)，解得x=-3，所以点P坐标为(0，-3).
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M(x，2x+3)，则有-x=-12(2x+3)，化简得-2x=-2x-3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点.
又当点M在第二象限，MN为斜边时，这时NP=MP，∠MNM=45°，设点M(x，2x+3)，则OP=ON，而OP=-12MN，所以有-x=-12(2x+3)，解得x=-34，这时点P的坐标为(0，34).
因此，其他符合条件的点P坐标是(0，0)，(0，34)，(0，-3).
3 推理论证法
例5 如图5，矩形ABCG(AB
解 此题实质是直线BD与以AE为直径的圆的位置关系问题.
连结AE，并设矩形长为a，宽为b，由勾股定理，则AE=(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 . 所以此圆半径长为12AE，即122a2+2b2. 因为圆心到直线BD的距离等于梯形ABDE的中位线长，即12(a+b)，比较2a2+2b2与(a+b)的大小，只要比较2a2+2b2与(a+b)2的大小. 因为2a2+2b2-(a+b)2=(a-b)2. 因为a≠b，且a>b，所以(a-b)2>0，则BD与以AE为直径的圆有两个交点，即使∠APE为直角的点P的个数是2个，故应选C.
例6 如图6，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2-x-6与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. 如果点M在y轴右侧的抛物线上. S△AMO=23S△COB，那么点M的坐标是.
解 因为y=0时，x2-x-6=0，解这方程得x1=-2，x2=3. 所以A(-2，0)，B(3，0). 所以OA=2，OB=3，又由y=x2-x-6，当x=0时，y=-6，所以OC=6. 因为OC⊥OB，S△AMO=23S△COB，所以S△AMO=23×12OC. OB=6，设M(x璏，y璏). 则S△AMO=12×OA×|y璏|=6，因为点M在抛物线上，所以当y璏=-6时，有x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=1或x璏=0(已有点C，不合题意，舍去)，所以M1(1，-6).
又当y璏=6时，x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=4或x璏=-3(不合题意，舍去)，所以M2(4，6).
因此，符合条件的点M有(1，-6)和(4，6).
4 综合法
例7 在劳技课上，老师请同学们在一张长为17厘米，宽为16厘米的长方形纸上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上)，请你帮助同学们画出示意图，并计算剪下的等腰三角形的面积.
解 因为等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，另两个顶点又在长方形边上，17>10，16>10，所以如图7①就是符合条件的一种情况，这时三角形的面积为S△=12×10×10=50(cm2).
又当等腰三角形一腰与长方形双重合量，如图7②，因为AD=17，所以ED=7，因为EF=10，由勾股定理得DF=51，所以S△=12×10×51=551(cm2).
同样，AE落在AB边上时，以点E为圆心，以10cm长为半径画弧，与BC边交于点F，则△AEF就是符合条件的三角形，此时三角形面积为12AE·BF，因为BE=6，EF=10，所以BF=8，所以S△=12×10×8=40(cm2)(如图7③).
由此看来，找三角形可转化为一边先确定，再找出符合条件的另一个顶点.
作者简介：徐强，1978年10月，中教二级，大学本科，主要研究初中数学的解题方法的总结以及怎样培养学生的探究.归纳等各种数学思想.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
