直角建构 线段求值
薛钧东
【内容摘要】直角（垂直）为条件的线段求值问题经常在中考试题特别是压轴题中出现。该文结合初中数学新课程教学实践，以近几年中考中出现的相关试题为例，说明直角条件与勾股定理、相似三角形、三角形三边关系内在联系的意义建构，以说明线段求值问题的解题思路和方法。
【关键词】初中数学 平面几何 直角建构 线段求值
《义务教育数学课程标准》在教学建议中明确提出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。”①教师在日常教学中，不但应有效揭示数学知识的数学实质及其体现的数学思想，还应帮助学生理清相关知识之间的区别和联系。直角（垂直）是初中几何的重要内容之一，因为以直角为载体的试题可考查学生的多种能力，所以成为各地中考试题的热点之一，又因其具有很强的综合性，所以能增强中考试题的区分度。如，以直角（垂直）为条件的线段求值问题学生往往不知所措，不知直角与线段用什么知识联系起来，从而形成解题思维中断，导致解题思维障碍②。要帮助学生有效疏通障碍，就要让学生学会意义建构。所谓意义建构就是要指导学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律及该事物与其他事物间的内在联系达到深刻的理解，获得举一反三、融会贯通的教学效果。下面结合初中数学新课程教学实践，以近几年中考中出现的相关试题为例，说明直角条件与勾股定理、相似三角形、三角形三边关系内在联系的意义建构。
一、直角条件与勾股定理内在联系的意义建构
案例1：如图1，点O为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s。当点F到达点C（即点F与点C重合）时，两个点随之停止运动。在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F运动的时间为t（单位：s）。是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
图1
分析：假设存在实数t能使点B' 与O重合。由对称性可得△EBF≌△EOF，即OF=BF、OE=BE。但等线代换图上没有直接我们所需要的Rt△，此时可通过对称得到相等线段的一个端点（不是公共点）作另一线段的垂线段来构建我们所需的Rt△。即过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM= BC-BF =6-3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+ FM2=OF2，即52+（6-3t）2=（3t）2，解得t= 。同理：过点O作ON⊥AB 于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE= 10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2= OE2，即62+（5-t）2=（10-t）2，解得t=3.9。∵ ≠3.9，∴实数t不存在。
反思：关于直角三角形、矩形一次折叠问题在近几年的中考中频频出现，这类问题能考查学生的数学思维、空间想象和综合解题能力。快速正确解决这类问题的关键就是根据已知条件，通过直角（垂直）来建构合适的Rt△，并运用勾股定理建立只含一个字母的等式。案例1解决的关键是通过折叠得到的有公共端点相等线段的一个端点（不是公共点）作另一线段的垂线段来构建我们所需的Rt△，其特征是一边通过等线代换后能与另一边构成一条新的线段，再利用勾股定理构建方程来解决。
二、直角条件与相似三角形内在联系的意义建构
如图2，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠ACE =90°.可得△ABC∽△CDE（证明略）。这是常见的相似图形，因其形似大写的“K”，故称为“K型图”，当出现直角（垂直）条件且与折叠无关时，可通过构建K型图得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例这一性质就可快速求出线段的长。
图2
案例2：如图3，已知直线l：y=-x +2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）2 +k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）2+2-h（h>1）的顶点为D，两抛物线相交于点C。
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m①交点C的纵坐标可以表示为：_____或_____，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；②如图4，若∠ACD =90°，求m的值。
图3 图4
分析：（1）易得B（1，1），易证点D（h，2-h）在直线l上；
（2）①易知点C的纵坐标为（m -1）2+1或（m-h）2-h+2，可得（m-1）2+1=（m-h）2-h+2，即m= 。
②由于∠ACD=90°，通过直角顶点和两边端点作水平线和竖直线构建K型图，即过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，可得△ACE∽△CDF，推出AE：EC=CF：DF，又∵C（m，m2-2m+2），D（2m，2-2m），∴AE=m2-2m，DF=m2，CE= CF=m，可求出m= 。
反思：相似三角形是初中数学的重要组成部分，是初中几何中计算线段的主要方法之一，由于它综合其他知识点的能力很强，因此在历年的中考中已越来越突显了它的重要地位。具有直角（垂直）条件但不具有折叠特征的线段求值问题常可通过构建K型图得到相似三角形，再通过对应线段成比例来构建方程求解。若K型图直接在题目中呈现给我们，通过K型图很容易求出答案，但案例2并没直接给出K型图，一般可通过直角顶点的水平线或竖直线（直角两边在同侧）与过直角两边端点的竖直线或水平线构建K型图再进一步求解。
三、直角条件与三角形三边关系内在联系的意义建构
案例3：如图5，△ABC中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是______。
分析：此类问题的难点是不知从何下手，其关键在于抓住运动中不变的量。本题中定值AC恰为Rt△的斜边，则其中线也必为定值。因此，利用AC中点来构建适当的三角形，为本题提供了解题思路。故取AC中点D，连结OD、BD，计算得OD=2、BD= ，当OD+BD=OB时（即B、D、O在一条直线上），就可求得点B到原点O的最大距离是 。
图5
反思：三角形的三边关系是初中几何中主要的不等关系之一，求线段的最值问题也经常涉及到。解决该类问题的核心是构建恰当的三角形，其关键在于要抓住动点问题条件中提供的及其衍生得到的不变量。案例3这类斜边为定值的问题经常取斜边中点来建构三角形，其特征为两条边为定值，再利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求最值。
总之，解决直角载体有关的线段求值问题，关键在于根据题设特征，建构与相关知识点的内在联系，并快速找到解题思路，扫清思维障碍，节约解题时间。在解题教学中，教师应教会学生运用替代、转换、推理、演绎、建模等数学基本思想进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，获得进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，达到教是为了不教的目的。
【注释】
① 教育部. 义务教育数学课程标准[S]. 北京：北京师范大学出版社，2011.
② 吴亿峰. 智商、情商和潜智能开发[M]. 广东：广东高等教育出版社，2000：76.
（作者单位：江苏省苏州市第一中学分校）
【内容摘要】直角（垂直）为条件的线段求值问题经常在中考试题特别是压轴题中出现。该文结合初中数学新课程教学实践，以近几年中考中出现的相关试题为例，说明直角条件与勾股定理、相似三角形、三角形三边关系内在联系的意义建构，以说明线段求值问题的解题思路和方法。
【关键词】初中数学 平面几何 直角建构 线段求值
《义务教育数学课程标准》在教学建议中明确提出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。”①教师在日常教学中，不但应有效揭示数学知识的数学实质及其体现的数学思想，还应帮助学生理清相关知识之间的区别和联系。直角（垂直）是初中几何的重要内容之一，因为以直角为载体的试题可考查学生的多种能力，所以成为各地中考试题的热点之一，又因其具有很强的综合性，所以能增强中考试题的区分度。如，以直角（垂直）为条件的线段求值问题学生往往不知所措，不知直角与线段用什么知识联系起来，从而形成解题思维中断，导致解题思维障碍②。要帮助学生有效疏通障碍，就要让学生学会意义建构。所谓意义建构就是要指导学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律及该事物与其他事物间的内在联系达到深刻的理解，获得举一反三、融会贯通的教学效果。下面结合初中数学新课程教学实践，以近几年中考中出现的相关试题为例，说明直角条件与勾股定理、相似三角形、三角形三边关系内在联系的意义建构。
一、直角条件与勾股定理内在联系的意义建构
案例1：如图1，点O为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s。当点F到达点C（即点F与点C重合）时，两个点随之停止运动。在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F运动的时间为t（单位：s）。是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
图1
分析：假设存在实数t能使点B' 与O重合。由对称性可得△EBF≌△EOF，即OF=BF、OE=BE。但等线代换图上没有直接我们所需要的Rt△，此时可通过对称得到相等线段的一个端点（不是公共点）作另一线段的垂线段来构建我们所需的Rt△。即过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM= BC-BF =6-3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+ FM2=OF2，即52+（6-3t）2=（3t）2，解得t= 。同理：过点O作ON⊥AB 于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE= 10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2= OE2，即62+（5-t）2=（10-t）2，解得t=3.9。∵ ≠3.9，∴实数t不存在。
反思：关于直角三角形、矩形一次折叠问题在近几年的中考中频频出现，这类问题能考查学生的数学思维、空间想象和综合解题能力。快速正确解决这类问题的关键就是根据已知条件，通过直角（垂直）来建构合适的Rt△，并运用勾股定理建立只含一个字母的等式。案例1解决的关键是通过折叠得到的有公共端点相等线段的一个端点（不是公共点）作另一线段的垂线段来构建我们所需的Rt△，其特征是一边通过等线代换后能与另一边构成一条新的线段，再利用勾股定理构建方程来解决。
二、直角条件与相似三角形内在联系的意义建构
如图2，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BC，ED⊥CD，∠ACE =90°.可得△ABC∽△CDE（证明略）。这是常见的相似图形，因其形似大写的“K”，故称为“K型图”，当出现直角（垂直）条件且与折叠无关时，可通过构建K型图得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例这一性质就可快速求出线段的长。
图2
案例2：如图3，已知直线l：y=-x +2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）2 +k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）2+2-h（h>1）的顶点为D，两抛物线相交于点C。
（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
（2）设交点C的横坐标为m①交点C的纵坐标可以表示为：_____或_____，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；②如图4，若∠ACD =90°，求m的值。
图3 图4
分析：（1）易得B（1，1），易证点D（h，2-h）在直线l上；
（2）①易知点C的纵坐标为（m -1）2+1或（m-h）2-h+2，可得（m-1）2+1=（m-h）2-h+2，即m= 。
②由于∠ACD=90°，通过直角顶点和两边端点作水平线和竖直线构建K型图，即过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，可得△ACE∽△CDF，推出AE：EC=CF：DF，又∵C（m，m2-2m+2），D（2m，2-2m），∴AE=m2-2m，DF=m2，CE= CF=m，可求出m= 。
反思：相似三角形是初中数学的重要组成部分，是初中几何中计算线段的主要方法之一，由于它综合其他知识点的能力很强，因此在历年的中考中已越来越突显了它的重要地位。具有直角（垂直）条件但不具有折叠特征的线段求值问题常可通过构建K型图得到相似三角形，再通过对应线段成比例来构建方程求解。若K型图直接在题目中呈现给我们，通过K型图很容易求出答案，但案例2并没直接给出K型图，一般可通过直角顶点的水平线或竖直线（直角两边在同侧）与过直角两边端点的竖直线或水平线构建K型图再进一步求解。
三、直角条件与三角形三边关系内在联系的意义建构
案例3：如图5，△ABC中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是______。
分析：此类问题的难点是不知从何下手，其关键在于抓住运动中不变的量。本题中定值AC恰为Rt△的斜边，则其中线也必为定值。因此，利用AC中点来构建适当的三角形，为本题提供了解题思路。故取AC中点D，连结OD、BD，计算得OD=2、BD= ，当OD+BD=OB时（即B、D、O在一条直线上），就可求得点B到原点O的最大距离是 。
图5
反思：三角形的三边关系是初中几何中主要的不等关系之一，求线段的最值问题也经常涉及到。解决该类问题的核心是构建恰当的三角形，其关键在于要抓住动点问题条件中提供的及其衍生得到的不变量。案例3这类斜边为定值的问题经常取斜边中点来建构三角形，其特征为两条边为定值，再利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求最值。
总之，解决直角载体有关的线段求值问题，关键在于根据题设特征，建构与相关知识点的内在联系，并快速找到解题思路，扫清思维障碍，节约解题时间。在解题教学中，教师应教会学生运用替代、转换、推理、演绎、建模等数学基本思想进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，获得进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，达到教是为了不教的目的。
【注释】
① 教育部. 义务教育数学课程标准[S]. 北京：北京师范大学出版社，2011.
② 吴亿峰. 智商、情商和潜智能开发[M]. 广东：广东高等教育出版社，2000：76.
（作者单位：江苏省苏州市第一中学分校）
