与弹簧有关的机械能守恒问题的剖析
宋国平
在中学阶段，“与弹簧有关的机械能守恒问题”对学生的综合分析能力有较高的要求。系统机械能守恒的条件是只有重力和系统内弹簧弹力做功。所以与弹簧相关的系统机械能守恒问题有必要深入剖析。 —、弹簧弹力的特点
1.具有连续性
弹簧弹力的表达式是F=kx，在弹性限度内，当x从零连续变化到最大值时，弹力也可以从零连续变化到弹性限度的最大值，且F随x均匀变化。因此弹簧弹力做功就可以用平均力求解，即W=Fxcosθ（此处指F指弹簧平均力的大小）
例1 如图1所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
（1）请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图象求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功；
（2）物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量。
解析 （1）F-x图象如图2所示。物块沿x轴从0点运动到位置x的过程中，弹力做负功：F-x图线下的面积等于弹力做功大小.（此处也可以理解为是用平均弹力求功）
2.弹力做功不改变机械能只有重力或弹力做功，系统机械能守恒。可以从以下四个方面进行理解：
（1）物体只受重力或弹力作用。
（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
（3）其他力做功，但做功的代数和为零。
（4）存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化。
功是能量转化的量度，能量的转化必有力做功。若只有重力、弹簧弹力做功，涉及转化的能量只有重力势能、弹性势能和动能，而重力势能、弹性势能和动能都属于机械能，所以在重力、弹力做功的时候，是把机械能内部的能量进行了转化。故系统机械能的总值是不变的，只是机械能的内部构成有所变化。
例2如图3所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于0点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到0点正下方B点，A、B两点间竖直高度差为h，物体到B点时速度为ν，则（ ）
A.由4到B重力做的功等于mgh
B.由A到B重力势能减少1/2mν2
C.由A到B小球克服弹力做功为mgh
D.小球到达位置B时弹簧的弹性势能mgh-1/2mν2
解析 重力做功W=mgh，与是否受其它力无关，因此A正确；从A下降到B的过程中，根据机械能守恒定律得：mgh=E弹+1/2mν2，重力势能的减小量就是mgh，因此B选项错误；而在这个过程中，克服弹力做的功等于弹性势能的增加量，即W克弹=mgh-1/2mν2；C错误，D正确.所以，本题答案为AD。
机械能包括动能、重力势能和弹性势能，动能属于运动物体的。重力势能属于地球和物体这个系统所共有的，弹性势能是由弹簧自身决定的，即由弹簧的形变量和弹簧的劲度系数决定，与外界其他因素无关，在例2中，物体在运动过程中机械能守恒吗？显然是不守恒的，因为在该系统中，存在重力势能、弹性势能和动能相互转化的。这三者之和是定值。而弹簧的弹性势能是增加的，所以物体的机械能不守恒，系统的机械能才守恒，即物体和弹簧组成的系统的机械能才守恒。 二、与弹簧的弹性势能有关的题型赏析
例3 如图4所示，将质量均为m厚度不计的两物块A、B用轻质弹簧相连接，现用手托着B物块于H高处，A在弹簧弹力的作用下处于静止后，将弹簧锁定。现由静止释放A、B两物块，B物块着地时速度立即变为零，与此同时解除弹簧锁定，在随后的过程中，当弹簧恢复到原长时A物块运动的速度为ν0，且过程中B物块恰能离开地面但不能继续上升。已知弹簧具有相同形变量时弹性势能也相同。求：
（1）B物块着地后，A在随后的运动过程中，A所受合外力为零时的速度ν1；
（2）从B物块着地到B物块恰能离开地面但不继续上升的过程中，A物块运动的位移△x；
（3）第二次用手拿着A、B两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B离地面的距离也为H，然后由静止同时释放A、B两物块，B物块着地后速度同样立即变为零。求第二次释放A、B后，B刚要离地时A的速度ν2.
解析 在该题中涉及多个状态，再加上两个物体和弹簧放在一起，易让学生眼花缭乱，但只要我们能分析到B开始落地瞬间和B刚好要离开而不能离开地面的两个状态的弹簧的弹性势能是一样的，则可迎刃而解。
（1）设A、B下落H高度时速度为ν，由机械能守恒定律得：
三、高考题中出现的与弹簧有关的机械能守恒的题目赏析
例4如图5所示，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动。质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端。现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块（ ）
A.最大速度相同
B.最大加速度相同
C.上升的最大高度不同
D.重力势能的变化量不同
解析 质量不同的两物块在弹簧弹力作用下做变速运动，根据牛顿第二定律及系统机械能守恒解决问题。
当弹簧的弹力和滑块重力沿斜面向下的分力大小相等时，滑块的加速度为零，速度达到最大。根据物体和弹簧组成的系统机械能守恒知：物块未离开弹簧且弹簧长度相等时，质量大的速度小，设质量大的速度达到最大时对应的弹簧长度为L，质量小的系统对应的该长度的速度肯定比质量大的大。而且弹簧继续伸长时，质量小的速度还能继续增大，质量大的则减小。因此，质量大的滑块的最大速度较小，选项A错误；刚撤去外力时，两滑块的加速度最大，根据牛顿第二定律得
由于两滑块的质量不同，故两滑块的最大加速度不同，选项B错误；整个过程中，弹簧的弹性势能全部转化为滑块的重力势能（物体最终离开弹簧），由于两滑块质量不同，故上升的最大高度不同，選项C正确；两滑块重力势能的变化量等于弹簧弹性势能的减少量，故重力势能的变化量相同，选项D错误。
在中学阶段，“与弹簧有关的机械能守恒问题”对学生的综合分析能力有较高的要求。系统机械能守恒的条件是只有重力和系统内弹簧弹力做功。所以与弹簧相关的系统机械能守恒问题有必要深入剖析。 —、弹簧弹力的特点
1.具有连续性
弹簧弹力的表达式是F=kx，在弹性限度内，当x从零连续变化到最大值时，弹力也可以从零连续变化到弹性限度的最大值，且F随x均匀变化。因此弹簧弹力做功就可以用平均力求解，即W=Fxcosθ（此处指F指弹簧平均力的大小）
例1 如图1所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
（1）请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图象求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功；
（2）物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量。
解析 （1）F-x图象如图2所示。物块沿x轴从0点运动到位置x的过程中，弹力做负功：F-x图线下的面积等于弹力做功大小.（此处也可以理解为是用平均弹力求功）
2.弹力做功不改变机械能只有重力或弹力做功，系统机械能守恒。可以从以下四个方面进行理解：
（1）物体只受重力或弹力作用。
（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
（3）其他力做功，但做功的代数和为零。
（4）存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化。
功是能量转化的量度，能量的转化必有力做功。若只有重力、弹簧弹力做功，涉及转化的能量只有重力势能、弹性势能和动能，而重力势能、弹性势能和动能都属于机械能，所以在重力、弹力做功的时候，是把机械能内部的能量进行了转化。故系统机械能的总值是不变的，只是机械能的内部构成有所变化。
例2如图3所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于0点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到0点正下方B点，A、B两点间竖直高度差为h，物体到B点时速度为ν，则（ ）
A.由4到B重力做的功等于mgh
B.由A到B重力势能减少1/2mν2
C.由A到B小球克服弹力做功为mgh
D.小球到达位置B时弹簧的弹性势能mgh-1/2mν2
解析 重力做功W=mgh，与是否受其它力无关，因此A正确；从A下降到B的过程中，根据机械能守恒定律得：mgh=E弹+1/2mν2，重力势能的减小量就是mgh，因此B选项错误；而在这个过程中，克服弹力做的功等于弹性势能的增加量，即W克弹=mgh-1/2mν2；C错误，D正确.所以，本题答案为AD。
机械能包括动能、重力势能和弹性势能，动能属于运动物体的。重力势能属于地球和物体这个系统所共有的，弹性势能是由弹簧自身决定的，即由弹簧的形变量和弹簧的劲度系数决定，与外界其他因素无关，在例2中，物体在运动过程中机械能守恒吗？显然是不守恒的，因为在该系统中，存在重力势能、弹性势能和动能相互转化的。这三者之和是定值。而弹簧的弹性势能是增加的，所以物体的机械能不守恒，系统的机械能才守恒，即物体和弹簧组成的系统的机械能才守恒。 二、与弹簧的弹性势能有关的题型赏析
例3 如图4所示，将质量均为m厚度不计的两物块A、B用轻质弹簧相连接，现用手托着B物块于H高处，A在弹簧弹力的作用下处于静止后，将弹簧锁定。现由静止释放A、B两物块，B物块着地时速度立即变为零，与此同时解除弹簧锁定，在随后的过程中，当弹簧恢复到原长时A物块运动的速度为ν0，且过程中B物块恰能离开地面但不能继续上升。已知弹簧具有相同形变量时弹性势能也相同。求：
（1）B物块着地后，A在随后的运动过程中，A所受合外力为零时的速度ν1；
（2）从B物块着地到B物块恰能离开地面但不继续上升的过程中，A物块运动的位移△x；
（3）第二次用手拿着A、B两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B离地面的距离也为H，然后由静止同时释放A、B两物块，B物块着地后速度同样立即变为零。求第二次释放A、B后，B刚要离地时A的速度ν2.
解析 在该题中涉及多个状态，再加上两个物体和弹簧放在一起，易让学生眼花缭乱，但只要我们能分析到B开始落地瞬间和B刚好要离开而不能离开地面的两个状态的弹簧的弹性势能是一样的，则可迎刃而解。
（1）设A、B下落H高度时速度为ν，由机械能守恒定律得：
三、高考题中出现的与弹簧有关的机械能守恒的题目赏析
例4如图5所示，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动。质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端。现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块（ ）
A.最大速度相同
B.最大加速度相同
C.上升的最大高度不同
D.重力势能的变化量不同
解析 质量不同的两物块在弹簧弹力作用下做变速运动，根据牛顿第二定律及系统机械能守恒解决问题。
当弹簧的弹力和滑块重力沿斜面向下的分力大小相等时，滑块的加速度为零，速度达到最大。根据物体和弹簧组成的系统机械能守恒知：物块未离开弹簧且弹簧长度相等时，质量大的速度小，设质量大的速度达到最大时对应的弹簧长度为L，质量小的系统对应的该长度的速度肯定比质量大的大。而且弹簧继续伸长时，质量小的速度还能继续增大，质量大的则减小。因此，质量大的滑块的最大速度较小，选项A错误；刚撤去外力时，两滑块的加速度最大，根据牛顿第二定律得
由于两滑块的质量不同，故两滑块的最大加速度不同，选项B错误；整个过程中，弹簧的弹性势能全部转化为滑块的重力势能（物体最终离开弹簧），由于两滑块质量不同，故上升的最大高度不同，選项C正确；两滑块重力势能的变化量等于弹簧弹性势能的减少量，故重力势能的变化量相同，选项D错误。
