数学专业学生学习微分几何的困因及教学策略
铁勇
摘 要：微分几何是数学专业一门重要的专业课程，它对于逐步提高几何思维和空间想象能力和一定的计算证明能力起到了一定的促进作用，然而学生学习微分几何存在学习困惑。通过详细分析数学专业学生学习微分几何的困因，提出了一定的改变现状的教学策略。
关键词：数学专业学生；微分几何：困因；教学策略
1 引言
微分几何是综合性大学数学系各专业重要的专业课，也是应用性很强的一门数学课程。微分几何课的目的一方面使学生锻炼空间想象能力和抽象思维能力，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，另一方面培养学生理论联系实际和分析问题、解决问题的能力。然而学生学习微分几何存在学习困惑。解决学生学习该课程的困惑有重要的现实意义。本文通过详细分析数学专业学生学习微分几何的困因，提出了一定的教学策略，为数学专业学生学习微分几何课程提供一点学习参考，以及针对教学提供一些教学建议。
2 数学专业学生学习微分几何的困因
2.1 对微分几何学习存在认识的偏见
微分几何是微积分原理渗透到空间几何知识和理论形成的专业课程，鉴于其几何的知识背景，课程内容会涉及很多不同的概念，这些概念的计算公式也会相应呈现。因此，当学生学习到一定的时候，会认为只要记住公式就能懂得解题的方式。往往会把中学时候的初等几何的学习方法融入到微分几何的学习中，片面地认为公式是贯穿整个知识的主要问题，从而不能摆脱以记忆公式为主的学习几何的学习方式。另外，微分几何知识中存在一些复杂的空间几何问题，因为空间几何更多的穿插着很多不规则的曲线和曲面，鉴于个人的空间想象能力的局限，就会产生学习困惑，以至于倾向于单纯的知识和公式的记忆模式。
2.2 习题训练缺乏主动性和积极性
微分几何的内容中充斥着很多需要计算和解答的问题，这就需要学生动手进行认真的演算。然而，由于学生对学习存在认识的偏见，往往有些学生懒于动手演算，他们认为只要记住公式，计算一般不会有问题。他们忽略了重要的问题就是，有些没有发现的问题往往存在于计算和推演的过程中。数学的学习在某种程度上告诉我们，发现问题有时候比解决问题更重要。因此，只有动手认真演算，才能发现一个计算问题可能会牵扯到哪些相关学科的知识，或是存在什么样的难点和疑问。而这样的学习方式在课堂教学和课后的作业中被淡化了。学生对习题训练更多是缺乏主动性和积极性。
2.3 课堂教学中提问呈现的思维惰性
在课堂教学中，教师引导解决一个微分几何问题。比如：给出一定的条件，求解动点的轨迹。学生往往不知道条件如何进行有效地整合。这就显示出所学知识的模糊，以及思维的惰性。当遇到困惑时，短时间的思考不能形成有效的求解方式，此时学生就会凸显出思维的惰性，即不愿意再过多地去思考条件与所求问题之间的关联。对于一个问题的思考，往往不知道思考的出发点是什么，如何去找。对问题的困惑的认知程度就会逐步形成思考和学习的困惑，久而久之就会潜意识地形成思维的惰性，阻碍学生的思维积极性。
3 教学策略与方法
3.1 突出传授数学思想和学习方法
突出传授数学思想和数学方法。了解学生学习特点和困难，注重引导和启发，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。在课堂教学中尽可能把握微分几何各种内容之间的内在联系，揭示课程学习的主要问题。把数学中的各种数学思想方法融合到教学方式和教训内容中，激发学生的空间想象能力和对所学知识的领悟能力。微分几何突出的是应用微积分的原理去解决空间几何问题的一种方式，因此，在教学中要不断回顾微积分所学知识的一般原理，引导学生整合有效的资源，循序渐进地学习微分几何的相关知识，提高个人的学习能力和思维能力。
3.2 加强有效的课堂教学互动
通过有效地互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣。课堂上对于微分几何知识和问题的有效探讨，可以调动学生的学习积极性，比如：针对空间基本三棱形得到的密切平面、法平面和从切平面，在求解各自方程时候，不仅要讲解平面的平面的构造，更要引导学生理解构造的方式，即如何构造，为什么要这样构造。只有理解这些问题，然后进行方程的推导，得到同一平面的不同的求解方程，促进学生理解各类方程的推导原理，而不是单纯记忆相应的公式。一方面，学生在互动中理解了课堂内容和求解问题的方法，另一方面调动了学生学习微分几何的积极性，提高了学生的理解能力。
3.3 注重学生学习的引导和启发
在教学中要始终抓住基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧，重视课堂互动并引导学生分析问题，注意培养学生的独立思考能力。结合以前所学的数学分析、解析几何、复变函数以及中学所学知识（如平面几何、立体几何、平面解析几何），引导学生比较与区别，促使学生将抽象的微分几何知识渗透到其它数学知识中，從而起到启发学生深入思考的效果。微分几何主要有曲线论和曲面论两大内容，在教学中，要不断引导学生注重在学习微分几何知识的过程中，尽可能理解相关概念定义的来源及其构造。面对众多的知识点和方程、定理和公式，只有理解相关原理，才能有效把握这些问题的实质，从而促进真正有效的记忆。
参考文献
[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社， 2011： 39-40.
[2] 陈鼎兴.数学思维与方法——研究式教学[M].南京：东南大学出版社，2011：61-62.
摘 要：微分几何是数学专业一门重要的专业课程，它对于逐步提高几何思维和空间想象能力和一定的计算证明能力起到了一定的促进作用，然而学生学习微分几何存在学习困惑。通过详细分析数学专业学生学习微分几何的困因，提出了一定的改变现状的教学策略。
关键词：数学专业学生；微分几何：困因；教学策略
1 引言
微分几何是综合性大学数学系各专业重要的专业课，也是应用性很强的一门数学课程。微分几何课的目的一方面使学生锻炼空间想象能力和抽象思维能力，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，另一方面培养学生理论联系实际和分析问题、解决问题的能力。然而学生学习微分几何存在学习困惑。解决学生学习该课程的困惑有重要的现实意义。本文通过详细分析数学专业学生学习微分几何的困因，提出了一定的教学策略，为数学专业学生学习微分几何课程提供一点学习参考，以及针对教学提供一些教学建议。
2 数学专业学生学习微分几何的困因
2.1 对微分几何学习存在认识的偏见
微分几何是微积分原理渗透到空间几何知识和理论形成的专业课程，鉴于其几何的知识背景，课程内容会涉及很多不同的概念，这些概念的计算公式也会相应呈现。因此，当学生学习到一定的时候，会认为只要记住公式就能懂得解题的方式。往往会把中学时候的初等几何的学习方法融入到微分几何的学习中，片面地认为公式是贯穿整个知识的主要问题，从而不能摆脱以记忆公式为主的学习几何的学习方式。另外，微分几何知识中存在一些复杂的空间几何问题，因为空间几何更多的穿插着很多不规则的曲线和曲面，鉴于个人的空间想象能力的局限，就会产生学习困惑，以至于倾向于单纯的知识和公式的记忆模式。
2.2 习题训练缺乏主动性和积极性
微分几何的内容中充斥着很多需要计算和解答的问题，这就需要学生动手进行认真的演算。然而，由于学生对学习存在认识的偏见，往往有些学生懒于动手演算，他们认为只要记住公式，计算一般不会有问题。他们忽略了重要的问题就是，有些没有发现的问题往往存在于计算和推演的过程中。数学的学习在某种程度上告诉我们，发现问题有时候比解决问题更重要。因此，只有动手认真演算，才能发现一个计算问题可能会牵扯到哪些相关学科的知识，或是存在什么样的难点和疑问。而这样的学习方式在课堂教学和课后的作业中被淡化了。学生对习题训练更多是缺乏主动性和积极性。
2.3 课堂教学中提问呈现的思维惰性
在课堂教学中，教师引导解决一个微分几何问题。比如：给出一定的条件，求解动点的轨迹。学生往往不知道条件如何进行有效地整合。这就显示出所学知识的模糊，以及思维的惰性。当遇到困惑时，短时间的思考不能形成有效的求解方式，此时学生就会凸显出思维的惰性，即不愿意再过多地去思考条件与所求问题之间的关联。对于一个问题的思考，往往不知道思考的出发点是什么，如何去找。对问题的困惑的认知程度就会逐步形成思考和学习的困惑，久而久之就会潜意识地形成思维的惰性，阻碍学生的思维积极性。
3 教学策略与方法
3.1 突出传授数学思想和学习方法
突出传授数学思想和数学方法。了解学生学习特点和困难，注重引导和启发，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。在课堂教学中尽可能把握微分几何各种内容之间的内在联系，揭示课程学习的主要问题。把数学中的各种数学思想方法融合到教学方式和教训内容中，激发学生的空间想象能力和对所学知识的领悟能力。微分几何突出的是应用微积分的原理去解决空间几何问题的一种方式，因此，在教学中要不断回顾微积分所学知识的一般原理，引导学生整合有效的资源，循序渐进地学习微分几何的相关知识，提高个人的学习能力和思维能力。
3.2 加强有效的课堂教学互动
通过有效地互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣。课堂上对于微分几何知识和问题的有效探讨，可以调动学生的学习积极性，比如：针对空间基本三棱形得到的密切平面、法平面和从切平面，在求解各自方程时候，不仅要讲解平面的平面的构造，更要引导学生理解构造的方式，即如何构造，为什么要这样构造。只有理解这些问题，然后进行方程的推导，得到同一平面的不同的求解方程，促进学生理解各类方程的推导原理，而不是单纯记忆相应的公式。一方面，学生在互动中理解了课堂内容和求解问题的方法，另一方面调动了学生学习微分几何的积极性，提高了学生的理解能力。
3.3 注重学生学习的引导和启发
在教学中要始终抓住基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧，重视课堂互动并引导学生分析问题，注意培养学生的独立思考能力。结合以前所学的数学分析、解析几何、复变函数以及中学所学知识（如平面几何、立体几何、平面解析几何），引导学生比较与区别，促使学生将抽象的微分几何知识渗透到其它数学知识中，從而起到启发学生深入思考的效果。微分几何主要有曲线论和曲面论两大内容，在教学中，要不断引导学生注重在学习微分几何知识的过程中，尽可能理解相关概念定义的来源及其构造。面对众多的知识点和方程、定理和公式，只有理解相关原理，才能有效把握这些问题的实质，从而促进真正有效的记忆。
参考文献
[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社， 2011： 39-40.
[2] 陈鼎兴.数学思维与方法——研究式教学[M].南京：东南大学出版社，2011：61-62.
