对一道“黄金分割点”与相似问题的探究与思考

2024.02.07

施献

[摘? 要] “黄金分割点”与相似图形结合是中考常见的问题形式，可同时考查学生概念理解、知识应用、模型构建、问题转化能力. 挖掘问题模型、关注模型原理、深度拓展探究可有效提升学生的解题能力. 文章将对一道“黄金分割点”问题深入探究，并反思模型教学，提出相应的建议.

[关键词] 黄金比;相似;图形;比例线段;拓展;模型

黄金分割问题在生活生产中十分常见，实际上在中考中也会涉及，考查时常结合特殊图形，综合几何知识. 2020年徐州市中考压轴题同时涉及了黄金比与相似图形，具有极高的研究价值.

考题呈现

考题：（2020年江苏徐州中考卷第27题）我们知道：如图1，点B把线段AC分成两部分，如果 = ，那么称点B为线段AC的黄金分割点. 它们的比值为 .

（1）在图1中，若AC=20 cm，则AB的长为______cm;

（2）如图2，用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG. 试说明G是AB的黄金分割点;

（3）如图3，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P. 他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点. 请猜想小明的发现，并说明理由.

考题探究

1. 问题分析

第（1）问可将AC的长度代入比例式中，即可得到线段AB的长.

第（2）问需要证明点G是AB的黄金分割点，由黄金分割点的概念可知，需要满足 = ，则求出BG的长度即可. 设EA和CG的延长线相交于点M，根据折叠特性以及平行性质可得∠EMC=∠ECM，则△EMC为等腰三角形，可得EM=EC，由已知线段长可得EM长，在Rt△CMD中构建三角函数，可求得tan∠DMC的值，后续就可求得BG的长度，从而可证点G是AB的黄金分割点.

第（3）问探究线段关系与黄金分割点的联系，若PB=BC则可证△BAE≌△CBF，进而可得BF=AE，另外由两线平行可证△AEF∽△BPF，结合相似性质构建方程，可得和的比值，从而可证点E和F分别是对应线段的黄金分割点.

2. 过程详析

（1）由题意可得 = = ，已知AC=20 cm，则AB=? ×20 cm=10 -10 cm.

（2）延长EA和CG，设两线的交点为M，如图4所示. 已知四边形ABCD为正方形，则DM∥BC，可推知∠EMC=∠BCG. 由折叠特性可得∠ECM=∠BCG，可推知∠EMC=∠ECM，所以EM=EC. 因为DE=10，DC=20，则EC=10 =EM，DM=EM+DE=10+10 . 在Rt△CMD中，已知CD=20，DM=10+10 ，则tan∠DMC= = = =tan∠BCG. 在Rt△BCG中，已知BC=20，tan∠BCG= ，则BG=BC·tan∠BCG=10 -10. 所以 = = ，即点G为AB的黄金分割点.

（3）当PB=BC时，E，F恰好分别是AD，AB的黄金分割点，理由如下.

因为CF⊥BE，则∠BCF+∠CBE=90°，又知∠CBE+∠ABE=90°，所以∠ABE=∠BCF. 结合条件可证△BAE≌△CBF（ASA），由全等性质可得AE=BF. 设AE=BF=x，则AF=a-x，因为AD∥CP，则△AEF∽△BPF，由相似性质可得 = ，即 = ，所以x2+ax-a2=0，可解得x= 或x= （舍去），即BF=AE= ，所以 = = ，即E，F恰好分别是AD，AB的黄金分割点.

评析：上述是关于黄金分割点的几何综合题，问题采用知识探究的方式，第（1）问是基于概念的知识强化，第（2）问则是关于黄金分割点的几何模型构建，第（3）则是基于概念的拓展探究，其中涉及了三角形相似和全等证明，是对几何知识定理的深度综合.

模型探究

上述是初中数学常见的黄金分割点问题，其中第三问为核心之问，属于比例与黄金分割点问题，探究的本质是线段之间的比例关系，其中构建三角形相似是问题突破的关键，也是论证黄金分割点的核心定理. 上述属于相似型黄金分割模型，本质上是两条直线被三条平行线所截获得. 下面三步进行模型探究：模型提取→模型探源→模型拓展.

1. 模型提取

基于上述问题图像进行模型提取，如图5所示，该模型中△AEF∽△BPF，其中 = ，模型中的两条平行线段不参与比例构建，而AB和EP为相交关系，交点为F，可视为是三角形“反A”型相似的黄金分割模型.

2. 模型探源

将点E沿着EA方向移动至图6所示位置，再过点F作AE的平行线，与EP的交点设为点D，并将各线段分别延长，可得图6所示模型，故考题模型的原型为“平行线分线段”. 图中点F在AB线段上的位置不变，故其中的黄金分割关系固定，显然点D为线段EP的黄金分割点.

3. 模型拓展

基于“平行線分线段”可构建三角形“A”型相似的黄金分割模型，将AB平移至点E，并对图形进行截取，如图7所示. 图中△ADF的底边DF与△APB的底边PB相平行，显然△ADF∽△APB，由相似性质可得 = ，根据黄金分割点的定义可知，线段比值为，即点D和E分别是所在线段的黄金分割点，同时在该模型中平行线段本身没有参与比例构建.

拓展探究

“黄金分割点”是基于点在直线上的位置关系所构建的，实际上探索直线对图形的分割关系可构建“黄金分割线”，而在“黄金分割线”的两个端点中必然有一个为所在线段的“黄金分割点”，下面结合考题进行拓展探究.

问题：如图8所示，我们已了解点C将线段AB分为两部分，若 = ，则称点C为线段AB的黄金分割点. 校数学小组进行知识拓展探究，在辅导老师的引导下由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地对“黄金分割线”进行了定义：直线l将面积为S的图形分割为两部分，设两部分的面积分别为S1和S2，若 = ，则称直线l为该图形的黄金分割线.

如图9所示，在△ABC中，已知∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，试回答下列问题.

（1）证明：点D是线段AB的黄金分割点;

（2）证明：直线CD是△ABC的黄金分割线.

解析：首先需要理解题干关于“黄金分割线”的定义，然后参考解析“黄金分割点”的思路进行探究. 显然“黄金分割点”关注的是线段之间的比例关系，而“黄金分割线”的关注点为图形面积之间的比例关系，而结合面积公式可将其转化为线段乘积问题，进而完成证明.

（1）因为∠A=36°，AB=AC，则∠B=∠ACB=72°. 由于CD平分∠ACB，则∠ACD=∠DCB=36°，可推知∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，所以BC=DC=AD. 可证△BCD∽△BAC，由相似性质可得 = ，所以 = ，可证点D是线段AB的黄金分割点.

（2）可将△ABC视为是以AB为底，点C为顶点的三角形，设AB边上的高为h，则有S =? AD·h，S =? DB·h，S =? AB·h，则 = ， = . 由于点D是线段AB的黄金分割点，则 = ，所以 = ，由定义可证直线CD是△ABC的黄金分割线.

评析：上述是关于“黄金分割线”的新定义考题，其构建方式参考了“黄金分割点”，由三角形相似比例拓展到三角形面积比例. 构建面积模型，利用相似比例转化面积问题是解析的关键. 虽然考题的定义新颖，但其知识引导性极强，对于拓展思维有着一定的帮助.

解后反思

上述对黄金分割与图形相似进行了深入探究，通过探索考题模型，还原了模型的知识背景，同时基于模型进一步探究了“黄金分割线”，对于提升学生的数学思维有着一定的帮助，下面基于教学实践深入思考.

1. 关注概念的模型构建

“黄金分割点”是初中数学重要的概念，与生活实际有着很强的联系，在教学中要引导学生关注概念中的模型，结合模型理解知识本质. 以上述“黄金分割点”问题为例，实际上是关于线段长的特殊比例关系，与图形相似有着紧密的联系. 教学中应立足几何相似开展问题探究，关注模型的特征、性质，探索问题转化的基本策略.

2. 注重模型的拓展變式

“黄金分割点”模型考题十分常见，问题常以教材的基本概念为基础，结合几何图形综合构建，问题涉及相似性质、平行线性质、全等特性等几何知识，故问题的拓展性强. 教学中要关注模型的知识关联，引导学生开展知识拓展，结合考题进行深入探究，培养学生思维的发散性和创新性. 如上述基于“黄金分割点”的相似模型和关联概念进行深层拓展，探索了“黄金分割点”的“A型”相似模型以及“黄金分割线”.

3. 重视数学的思维发展

知识探究是发展学生思维、提升学生能力的重要方式，教学中要重视两方面内容：一是学生的思维活动，二是数学思想的渗透. 由于模型探究过程相对比较烦琐，需要经历问题引导、模型提取、本质探索、知识拓展等多个环节，探索过程的思维活动极为丰富，若不能合理引导，学生很容易陷入思维误区. 而数学思想是教学的重点，对于学生的素养提升极为关键，利用探究方式可取得良好的解题效果. 因此，探究教学中需合理设置数学活动，关注学生的思维发展，促进学生综合能力的提升.