初中数学“认识封闭”突破策略研究

    周小峰

    [摘? 要] 学习中，学生常会对某特定问题或知识产生固定的认识，形成认识封闭现象. 为了突破这种现象，文章从认识封闭的形成原因出发，提出突破认识封闭的策略有：学会思考，完善认知结构;变式教学，优化学生思维;关联行为，培养学习习惯.

    [关键词] 认识封闭;思维;教学

    认识封闭是指本可以用某些知识或方法解决当前问题，却认为自己无法解决这个问题的现象，亦可理解为“将不会当做不能”的思想认识. 认识封闭现象普遍存在于初中数学教学中，很多时候我们没有觉察到它对学习的影响，只是单纯地认为所有解题障碍都是因为学习能力差. 为此，教师应全方位地认识学习中存在的问题，从不同的角度去审视与发现问题的根源，充分认识封闭的体系与突破方法.

    认识封闭产生的原因

    1. 认知结构不够完善

    认知结构的不完善，是致使认识封闭的前提. 新课标明确提出：“要帮助学生全方位地理解数学教材，构建完整的认知结构[1]. ”然而放眼当下，学生的数学认知结构并不完善. 究其主要原因还在于教师缺乏构建学生认知结构的意识，忽视学生数学认知水平提高的因素，使得学生无法从根本上理解知识的发生、发展与形成过程. 学生只是掌握了碎片化的知识，而无法将知识进行融会贯通，串联成一个完整的知识体系.

    2. 学生思维有待发展

    思维的有待发展，是导致认识封闭的基本条件. 初中阶段学生的身心特征决定了其思维以经验型为主，对实际事物缺乏感性的认识. 学生往往对新颖、奇特或自己感兴趣的材料有较强的接受能力，但对一些抽象的定理、公式、法則等不那么容易接受. 部分学生的思维仍停留于机械性的识记方面，无法深刻理解一些数学概念、定理或法则所蕴含的真正意义. 由此可见，初中阶段学生思维的敏捷性、深刻性、理解性与创造性等方面均有待发展.

    3. 学习习惯有所欠缺

    学习习惯差，是认识封闭产生的关键因素. 学习习惯与学生的认知发展有着直接的联系. 教师在课堂中一样地授课，学生接收到的内容却千差万别. 经研究，这与学生的不良学习习惯有着直接关系. 同样的课堂学习，有学生笔记工整、清晰，也有学生没有笔记;有学生在课堂上积极发言、勇于质疑，也有学生从不举手发言，也从不提出任何问题;有学生保质保量地完成课后作业，也有学生能拖则拖，作业永远不能及时完成.

    突破认识封闭的策略

    学生因以上各种因素导致遇到实际问题时懒于思考，缺乏探究与钻研精神，出现认识封闭的现象. 其实，认识封闭并不是真正的能力差，只是自认为难以解决当前问题，并非真的无法解决. 只要教师从思想上辩证地认识到认识封闭的存在，通过一定的方法必能突破这种障碍，使得问题顺利解决.

    1. 学会思考，完善认知结构

    认知结构的不完善是导致认识封闭的前提因素. 为此，教师应引导学生学会思考，鼓励学生在思考中完善认知结构，以突破认识封闭. 从数学认知学的研究范畴来看，所谓的思考是指用数学的思维方式对世间万物进行分析与思考，要从想、做、说等角度出发，运用关联、构建、内化与整合等方法完善学生的认知结构. 学会思考能帮助学生实现教学目标，并掌握数学抽象、推理与建模的能力，从而有效地突破认识封闭.

    例1 如图1所示，将Rt△ABC按照图示方法进行折叠，折叠后使得点A重合于点C，DE为折痕. （1）求证：△ECB为一个等腰三角形;（2）如图2所示，将△ECB沿着它的对称轴EF进行折叠，此时原△ABC恰好被折叠成两个完全重合的叠加矩形（包含一个△ABC的内接矩形和一个拼接而成的矩形），问图3的正方形网格中△ABC可否得出类似的叠加矩形？若能，请在图3中画出折痕. （3）如图4所示，以正方形网格中的BC为一边，画一个顶点在格点上的△ABC，使得该三角形依照以上方法折叠而成的叠加矩形为正方形. （4）思考：依照以上方法折叠而成的图形为叠加正方形，需要哪些必备条件？

    本题中的问题（1）和问题（2）涉及的是组块问题，问题（3）则属于自变行为，而问题（4）已经深入共变内容了. 这就要求学生要有一定的思考能力，通过前两个原型定向问题逐渐深入思考，将问题的共性特征逐渐内化到自己的认知结构中，变成自己的认知. 此过程可将从无序的折纸到有定义组合的折纸视为思维的困境，从学习困境驱动论的角度来看，适当的思维困境能促进学习者深加工学习材料，进而完善认知.

    学会思考是数学学习的基本素养. 从认知心理学来说，知识的获得与迁移都是从外部认知逐渐转化为内部思维的，而内部思维的形成主要体现在完整的认知结构与动作映像[2]，即实现“外部输入—思维内化—映像输出”的过程. 学生在学会思考中日趋完善自己的认知结构，并逐渐突破认识封闭，更好地解决相关问题.

    2. 变式教学，优化学生思维

    数学教学不仅要关注学生对知识与技能的掌握程度，更重要的是要关注学生思维的优化过程. 为了激发学生思维的活跃性，教师应给学生创造更多探索与体验数学的机会，以激发学生的潜能，促使学生形成高阶的思维品质. 变式教学、一题多解、多解一题等均能有效地优化学生的思维，让学生在良好的思维品质中突破认识封闭，实现数学能力的成长.

    例2 如图5所示，折叠锐角三角形ABC纸片，使得点A落在BC边上的点D处，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，且BC∥EF，连接DE，DF，AD. （1）求证：线段EF是△ABC的中位线;（2）试证线段BC与AD之间的关系;（3）若AB=AC，请判断四边形AFDE的形状，并证明.

    变式1：如图6所示，△ABC为一个钝角三角形纸片，折叠该三角形，使得点A落于BC延长线上的点D处，折痕与线段AB相交于点E，与线段AC相交于点F，且BC∥EF，连接DE，CE与DF，已知CB=2CD. （1）本图中一共有几个等腰三角形？（2）假设AC=BC，请判断四边形ECDF的形状，并证明.

    变式2：如图7所示，△ABC為一个等边三角形，折叠这个三角形，使得点A落在BC边上的点D处，已知BD∶DC=m∶n，若折痕为MN，试求AM∶AN的值.

    本题对原题进行有条理、有层次的变式，让学生通过试题的变化来发现解决此类问题的本质，达到触类旁通、融会贯通的教学成效. 这种方式使得每个学生都能找到解题的突破口，即有利于不同水平层次学生的认知发展，又能有效地优化学生的思维，促使学生数学思维的成长与学力的提升，为突破认识封闭奠定了坚实的基础.

    3. 关联行为，培养学习习惯

    关联是指将碎片式的零散知识或一些不具确定性的经验联系到一起，抽象出具体的特征[3]. 数学学习中的关联行为是培养数学学习习惯的基础，良好的习惯从诸多关联中逐渐产生. 关联数学知识，可通过同化、顺应与重组来实现. 良好的习惯一旦形成，对学生的学习与可持续发展将产生深远的影响，同时对认识封闭的突破具有举足轻重的作用.

    例3 因式分解：x4-4=（x2+2）（x2-2）.

    本题在有理数范围内，大家都知道无法再继续分解. 但是，当后期遇到算术平方根的内容之后，会涉及无理数的相关知识，只要变化数的研究范围，会发现x4-4=（x2+2）·（x+ ）（x- ），这是学习中形成的顺应性思考习惯. 当然，本题还会在未来的高中阶段碰到新的知识关联.

    学生将学习过程中遇到的一些知识点进行关联、整合，串联后形成自己认知的行为是促进学习的基本手段，亦是突破认识封闭的必经之路. 通过关联行为，形成良好的学习习惯使得学生终身受益.

    总之，当学生在学习中遇到难以解决的问题时，我们不要单纯地认为他们没有解决这个问题的能力，而应变化教学手段，引导学生通过自主思考、激活思维、关联相关知识，以突破认识封闭带来的解题障碍. 教师只有从主观上察觉到认识封闭的存在，才能有效突破这层障碍，提升数学核心素养.

    参考文献：

    [1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

    [2] 杨翠蓉，周成军. 布鲁纳的“认知发现说”与建构主义学习理论的比较研究[J]. 苏州教育学院学报，2004（2）.

    [3] 宋万言，粟小妮. “实数的概念”：折纸、拼图中发现，计算、比较中构建[J]. 初中数学教与学，2017（12）.