基于数学核心素养的单元复习课设计

    [摘? 要] 单元复习课的上法有多种，如结构图式的知识点梳理、以思想方法为主线的设计. 文章基于数学核心素养的理念设计了一节“一元一次方程”的复习课，并浅析此节课中如何通过三个问题体现对应的核心素养.

    [关键词] 数学核心素养;一元一次方程;单元复习

    近年来，“核心素养”成为教育领域探讨的“热词”. 在教育部2014年印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中，首次提出“核心素养体系”概念. 同时，普通高中课程标准修订，也将核心素养作为重要的育人目标. 那么，何为数学核心素养？高中数学课程标准修订组定义的数学核心素养：是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的、具有数学特征的关键能力和思维品质[1] . 通俗地说，就是把所学的数学知识都遗忘后还能留下来的东西，或者说从数学的角度看问题，用理性思维思考问题，以及用清晰准确的语言表述问题.

    高中阶段的数学核心素养可抽象成六个关键词：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[1] . 而《义务教育数学课程标准（2011年版）》中关于数学核心素养提到了八个词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想[2] . 无论是高中阶段的六个词还是义务教育阶段的八个词，其本质都是一样的，而且义务教育阶段的八个词经过适当排序后也能和高中阶段的六个词完全对应，这里就不再赘述了. 数学核心素养要靠教育者去落实，而最终与学生对接的是一线教师，所以，教师在常态课的设计中需要把数学核心素养考虑进去，尤其在复习课的设计上更应该注重这一点. 笔者基于数学核心素养设计了一节“一元一次方程”的复习课，现将实录的过程及几点思考整理出来，不当之处，请批评指正.

    课堂实录

    师：什么是方程？什么是一元一次方程？

    生1：含有未知数的等式叫方程.

    生2：含有一个未知数并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程.

    师：请你举一个一元一次方程的例子.

    生3：3x=5.

    生4：x-6=1.

    生5：1000x+200=-3.

    师：这样的例子能举完吗？

    生（齐）：举不完.

    师：那能不能找一个一般的等式代表所有的一元一次方程？试试看！

    生6：mx+n=a.

    师：m，n，a有什么要求吗？

    生6：都是常数.

    师：很好. 还有补充的吗？

    生7：我觉得m≠0.

    师：为什么？

    生7：如果m=0，就不是一元一次方程了.

    师：回答得非常好！这里老师再补充一点，既然n和a都是常数，那么就可以合并同类项了，于是可以得到一元一次方程的一般形式——mx+n=0（m≠0）. （教师板书一般形式）

    问题1 ？摇解方程： =1- .

    师：请同学们在学习单上解“问题1”的方程.

    （教师来回巡视，试图找那些解错的例子）

    生8： =1- ，3（2x-1）=1-（4x-1）…

    师：谁来评价一下生8的解法？

    生9：我觉得他的解法是错的，第一步常数项“1”漏乘6.

    师：那你能给生8解释一下为什么“1”要乘6吗？

    生9：第一步去分母的依据是等式的性质——等式两边同时乘6，所以每一项都要乘6.

    师：我想生8应该明白了，非常好，请坐！下面我们来看一下下面这位同学的解法.

    生10： =1- ，3（2x-1）=6-4x-1…

    师：谁来评价一下生10的解法？

    生11：我觉得他的解法是错的，第一步中（4x-1）是一个整体，作为减数要加括号.

    师：分析得非常好！我们再来看下面这位同学的解法.

    生12： =1- ，3（2x-1）=6-（4x-1），6x-3=6-4x+1，6x+4x=6-3+1…

    生13：我觉得他的解法是错的，第三步等号左边的-3移项后没有变号.

    师：说得很好. 大家从解决这个方程的过程中可以回忆出解一元一次方程的步骤，以及在解方程过程中哪些地方比较容易出错.

    （教师板书解一元一次方程的步骤）

    师：本题的答案是x=1. 它是一元一次方程吗？它与原方程有何关系？

    生14：它和原方程都是一元一次方程.

    师：回答正确！还有补充的吗？

    生15：x=1是原方程的解.

    师：很好！其实，解一元一次方程就是将方程变成“x=a”的形式.

    师：为什么要学习一元一次方程？

    生16：因为它能够帮助我们解决实际问题.

    师：是的，因为方程是刻画现实世界的一种十分有效的模型.

    问题2？摇 请编写一个能用方程70x+50（120-x）=6300解决的实际问题（不需要求解）.

    师：大家独立思考3分钟后在学习单上写下来，然后小组交流.

    （小组交流，教师巡视、旁听）

    生17：小明买了两种水果，共120千克，其中苹果70元/千克，橘子50元/千克，总共花去6300元. 小明买了多少千克苹果？

    师：根据生17编写的问题能够列出此方程，但老师老觉得哪里不对劲，你们看出来了吗？

    （部分同学偷笑）

    生18：苹果和橘子没有这么贵.

    师：是的. 作为一名中学生，我们应该学会用数学的眼光观察世界，所以對于一些生活中的数据，我们要有一个大概的认识. 谁能帮忙修改一下？

    生19：小明买了两种商品，共120个，其中A商品70元/个，B商品50元/个，总共花去6300元. 小明买了多少个A商品？

    师：这下可以了. 还有小组有其他的情境吗？

    生20：甲、乙两车从同一地点沿着相反的方向运动，某时刻两车相距6300米. 已知甲车的速度是70米/秒，乙车的速度是50米/秒，两车共用时120秒，求甲车用了多长时间.

    师：这个行程问题描述得很好. 老师在巡视的时候还发现很多同学写了不一样的情境，其实我们常见的实际问题的情境就几大类——销售、行程、工程、调配等，而每一类问题都有一些相应的分析方法，如销售问题常通过表格进行分析，行程问题常通过线段图进行分析.

    （教师板书表格、线段示意图的大致框架）

    师：接下来我们来看最后一个问题.

    问题3 ？摇旅行社组织甲、乙两个旅游团到游乐场游玩. 已知两个旅游团的总人数为120，其中甲旅游团的人数不超过60，游乐场规定一次性购票60张以上可享受团队票. 门票价格如下：

    旅行社计算后发现，如果甲、乙两旅游团分开购买，总共要花费6300元. 求甲、乙两旅游团报名的人数.

    师：请同学们先独立思考，有思路后再举手.

    （除了几个同学有点想法而外，其余同学呈苦思冥想状）

    师：我们先根据条件逐步分析.

    师：从“两个旅游团的总人数为120”中，你能得到什么？

    生（齐）：甲旅游团人数+乙旅游团人数=120.

    师：从“甲旅游团的人数不超过60”中呢？

    生21：甲旅游团人数小于或等于60.

    师：从“甲、乙两旅游团分开购买，总共要花费6300元”中呢？

    生21：甲旅游团费用+乙旅游团费用=6300元.

    师：设甲旅游团有x人，则乙旅游团有（120-x）人. 下面请同学们继续思考.

    生22：70x+50（120-x）=6300.

    师：有不同的意见吗？

    生23：70x+60（120-x）=6300.

    师：这两位同学的解法有何不同？

    生24：若甲旅游团的人数不少于20，则乙旅游团的人数不多于100，此时为生23的方程;若甲旅游团的人数少于20，则乙旅游团的人数多于100，此时为生22的方程.

    生25：上述说法都不正确，我认为第二个方程不需要考虑，因为解出的答案为负数.

    师：这种情况下解出的答案不合题意，但真的不需要考虑吗？

    生（齐）：要考虑.

    师：是的，我们应该按照生24的思路考虑两种情况，分别列出方程，然后舍去不符合题意的解.

    （教师板书例题正解，强调分类讨论思想）

    最后，让学生回忆本节课的要点，并由教师从知识与思想方法两个方面做出总结，结束本节课.

    几点思考

    1. 问题1：“数学运算”——“量”上求精简

    运算能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提到的八个核心词之一，有着非常重要的地位. 运算能力也是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等教学目标实现的基本条件. 近年来，初中生的运算能力存在普遍下滑的趋势，为了扭转这一局面，各地中考开始加强对运算能力的考查，其目的是让教师在平时的课堂上注重对学生运算能力的培养.

    对于“一元一次方程”的复习课，教师都能意识到这节课的重点之一是加强数学运算能力，于是不少人在本节复习课上设置了多个不同形式的一元一次方程作为例题，再配上多个形式相当的方程作为同步练习. 表面上看，学生将一元一次方程的解法系统地复习了一遍，但这毕竟是复习课，这样的“题海战术”学生早已厌倦，效果堪忧. 而本节课只在“问题1”中要求学生解一个方程，不是过去幻灯片上一下出现多个方程的形式，所以学生会用心地“呵护”这仅有的方程，于是发现犯低级错误的情况减少了. 但在讲评的时候笔者发现学生依然会出现“漏乘”“移项没变号”等错误. 出现这些错误的同学并不是简单的粗心，而是算理模糊，所以这个环节要慢下来，要让其他同学指出错误的根源，让出错的同学能够在其他同学讲解的过程中慢慢厘清算理，从而提高解方程的正确率.

    2. 问题2：“数学建模”——“实”上求突破

    数学建模就是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程. 数学建模考查的是学生用数学知识解决实际问题的能力. 整个建模过程有助于培养学生用数学的视角提出问题、用数学的思维分析问题，以及用数学的语言表达问题的能力.

    “一元一次方程”复习课的第二道“大菜”是用方程解决实际问题. 以往笔者都是从销售、行程、工程及调配等类型中挑选一题或者两题作为例题来讲解，这种用方程模型解决问题的方式是发展学生“数学建模”能力的一种有效方式. 而本节课是在此基础上做了一个突破——给定一个一元一次方程，让学生来补充相应的情境. 这个突破不仅在于知识点的突破，还在于考查了学生对生活的观察和思考. 比如，课堂上生17就举了一个从数学角度计算没有问题，却不符合实际生活的买水果例子. 再比如行程问题，学生在做一般的行程问题时通常都觉得不太容易，于是教师在讲解的时候反复强调要通过线段示意图来分析，不过还是有许多学生不会这样做. 所以，在给定一个一元一次方程，让学生补充行程情境的情况下，由于难度加大，便逼着学生通过画线段图进行分析.

    3. 问题3：“综合素养”——“新”上求发展

    当今社会，各行各业都在追求“创新”，教师教学同样需要创新，课件设计更需要创新. 笔者在设计“一元一次方程”复习课时，总会思考一个问题——为什么要学习一元一次方程？其中一个重要的答案就是课堂上学生的回答——为了解决实际问题. 而这些实际问题除了课本上、习题册上出现的各类情境问题外，还包含真正的“实际问题”. 如每逢“双11”，商家都会推出一系列打折满减活动;再比如“问题3”给出的团购门票问题等，这些都是日常生活中常见的可以利用方程解决的例子. 从这个意义上讲，“问题3”的设置是“新”，但并不止于此：表格的加入可以锻炼学生的数据分析能力;解法的不唯一考查的是学生的分类思想. 细心的同学还会发现，“问题3”列出的方程似曾相识——就是“问题2”中的方程，这样的处理使得整节课的结构更加完整.

    参考文献：

    [1]史宁中，王尚志. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

    [2]中华人民共和国教育部. 义務教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.