体验思路突破,探究问题解法

    唐晓霞

    

    

    

    [摘? 要] 开展二次函数综合题探究可以强化学生知识,提升学生能力. 教学中建议以问题为依托,使学生体验思路突破的过程,开展解法拓展,归纳解题策略,让学生感悟类型问题的解法异同. 文章以一道二次函数综合题为例,开展解法探究,与读者交流.

    [关键词] 二次函数;动点;几何;面积;矩形

    ■ 问题呈现

    问题?如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴相交于点A和点B(点A在点B的左侧),直线l经过点A并与y轴的负半轴交于点C,与抛物线的另一交点为D,且CD=4AC,试回答下列问题.

    (1)求点A的坐标以及直线l的函数表达式.

    (2)设点E是直线l上方抛物线上的一个动点,连接AE,EC. 若△ACE面积的最大值为■,试求a的值.

    (3)设点P为抛物线对称轴上一点,点Q位于抛物线上,试分析以A,D,P,Q四点为顶点的四边形能否为矩形. 若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.

    ■ 思路突破

    问题中的三个小问较为典型,下面逐问探究.

    (1)抛物线的解析式的每一项均含有参数a,对解析式变形后可得y=a(x-3)(x+1),结合交点与解析式的关系可知抛物线与x轴的交点分别为(-1,0),(3,0),即A(-1,0),B(3,0). 可将直线l的函数表达式设为y=kx+b,求其表达式只需求出k,b的值即可. 题干条件给出CD=4AC,可联想相似比进行坐标转化求解.

    直线l经过点A,则有0=-k+b,即b=k,则直线l的函数表达式可简化为y=kx+k. 因为CD=4AC,所以点D的横坐标为4,纵坐标为5k,即点D的坐标为(4,5k). 又点D在抛物线上,将其坐标代入抛物线解析式,可解得k=a,所以直线l的函数表达式为y=ax+a.

    (2)该问设定点E为抛物线上一动点,属于二次函数中的面积最值问题. 可设出点E的坐标,采用面积割补法构建△ACE的面积模型,将问题转化为二次函数最值问题,从而确定a的值.

    如图2,設点E的坐标为(x,ax2-2ax-3a),过点E作y轴的平行线,与直线l交于点F,则点F的坐标为(x,ax+a). 计算可得EF=ax2-3ax-4a,又S■=S■-S■,代入线段长,化简后可得S■=■ax-■2-■a. 分析可知,当x=■时,△ACE的面积取得最大值-■a,则-■a=■,解得a=-■.

    (3)该问分析以A,D,P,Q为顶点的四边形能否为矩形,基本策略是“假设→论证”. 分析时需要利用矩形的性质,由边的垂直来提取其中的直角三角形,利用勾股定理建立线段长的关系. 分析可知,AD可以为矩形的一条边,也可以为矩形的一条对角线,因此需要进行分类讨论.

    联立直线l与抛物线的解析式,得ax2-2ax-3a=ax+a,解得x1=-1,x2=4,所以D(4,5a). 由抛物线的解析式可知其对称轴为直线x=1,因为点P在抛物线的对称轴上,所以可设P(1,m). 下面分两种情形进行讨论.

    ①若AD为矩形的一条边,如图3,则点Q的坐标为(-4,21a),m=21a+5a=26a,则P(1,26a). 因为四边形ADPQ为矩形,所以∠ADP=90°. 在△ADP中使用勾股定理,有AD2+PD2=AP2,代入线段长可得25+(5a)2+(1-4)2+(26a-5a)2=4+(26a)2,解得a =-■,所以此时点P的坐标为1,-■.

    ②若AD为矩形的一条对角线,如图4,由点A和点D的坐标,可推知AD的中点为■,■a,点Q的坐标为(2,-3a),则m=5a-(-3a)=8a. 所以P(1,8a). 因为四边形AQDP为矩形,所以∠APD=90°. 在△ADP中使用勾股定理,有AP2+PD2=AD2,代入线段长可得4+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=25+(5a)2,解得a=-■,此时点P的坐标为(1,-4).

    综上可知,以A,D,P,Q四点为顶点的四边形能成为矩形,此时点P的坐标为1,-■或(1,-4).

    ■ 方法拓展

    上述对一道二次函数综合题进行了解读与突破,其中第(2)问和第(3)问属于综合性极强的问题,联系了几何知识,其构建思路具有一定的参考价值,两问均属于二次函数中的经典问题,其解析策略灵活多样,下面深入探讨.

    1. 面积最值问题策略

    二次函数中的面积最值问题一般分两步进行突破:第一步,建模——建立关于几何面积的模型;第二步,代数分析——可利用函数性质、不等式性质. 上述第(2)问采用了面积割补法构建模型,但仅是将三角形转化为两个简洁的图形,从过程来看,还需求解两个三角形的面积. 对于该类问题,还可以采用面积铅垂法,即添加与坐标轴平行的辅助线,将其转化为两个共底三角形,于是简化面积模型.

    例1? (2019年海南中考改编)如图5,A(-5,0)和B(-4,-3)是抛物线y=ax2-bx+5上的两点,抛物线与x轴的另一交点为C.

    (1)试求抛物线的解析式;

    (2)点P是抛物线上不与点B和点C相重合的动点,设点P的横坐标为m,当点P在直线BC下方运动时,试求△PBC面积的最大值.

    解析?(1)利用点A和点B的坐标可求得抛物线的解析式为y=x2+6x+5.

    (2)由抛物线的解析式可求得点C的坐标为(-1,0). 过点P作y轴的平行线,与直线BC的交点设为Q,则△PBC的面积可以表示为S△PBC=■·PQ·xC-xB. 易知点P的坐标为(m,m2+6m+5),可推知Q(m,m+1),所以PQ=-m2-5m-4. 所以S△PBC=■(-m2-5m-4)=-■m+■2+■. 分析可知,当m=-■时,△PBC的面积取得最大值■.

    2. 矩形存在性问题策略

    二次函数中的矩形存在性问题需要充分利用矩形的特性,上述第(3)问结合勾股定理来构建解析方程,其核心是矩形对角线分割出的直角三角形,采用的是代数论证. 该类问题还可以利用矩形的对角线相等且平分来解析,其中的平分关系可联系中点坐标.

    例2?如图6,已知矩形OABC的顶点A(-3,0),过点C的直线y=-2x+4与x轴交于点D,二次函数y=-■x2+bx+c经过点B和点C.

    (1)试求二次函数的解析式.

    (2)若点P为CD的中点,分析二次函数上是否存在点M,使得以A,P,C,M为顶点的四边形为矩形. 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

    解析? (1)从函数图像关系可求得二次函数的解析式为y=-■x2-■x+4.

    (2)连接AC和MP,设交点为E. 假设四边形APCM为矩形,则点E为AC和MP的中点. 由A(-3,0)和C(0,4)可知AC=5,E-■,2. 由C(0,4)和D(2,0)可知P(1,2). 由中点坐标公式可得点M的坐标为(-4,2). 于是只需确保点M的坐标满足二次函数的解析式,即可论证四边形APCM为矩形的假设成立. 将x=-4代入y=-■x2-■x+4中,可解得y=2,所以存在点M(-4,2)使得以A,P,C,M为顶点的四边形为矩形.

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