理论联系实际 深度探析试题

    石光泽

    [摘? 要] 随着教育改革的不断推进，现如今的中考题也越来越“活”，有些试题还充满生活气息. 这就要求学生在掌握知识的基础上，要将所学知识与生活实际相结合，通过理论联系实际分析问题并解决问题. 文章以一道试题为例，从该题的亮点赏析、思想渗透和教学启示三方面进行分享，以期给同行们带来启发.

    [关键词] 教学启示;试题;问题

    波利亚曾经说过：“数学的学习关键在于善于解题. ”数学教学的重要任务之一是通过提高学生的解题能力，有效地发展学生的数学思维. 为了考查学生的知识掌握情况，检验学生的分析、推理、思维以及解题等综合能力，考试中常会出现一些灵活的试题，让不少学生望而却步. 其实，在遇到解题障碍时，只要学会换个角度进行思考，不拘泥于一种方法，深究问题的本源，一定能找到解题的办法. 教师可从多角度出发研究试题，充分演绎出经典例题的生命力，以让学生迸发出智慧的火花，拓展思维，形成良好的数学思想. 本文以一道考题为例，谈谈由本题的教学启示，与同行共勉.

    ■ 原题呈现

    某科研中心规划建一幢员工宿舍楼，因实验过程中有辐射产生，需考虑两项配套工程：①宿舍楼到实验室中间修建一条直路;②对新建宿舍楼做防辐射处理. 已知实验室到宿舍楼的直线距离x千米与防辐射费用y万元之间的关系式为：y=a■+b（0≤x≤9），当实验室与宿舍楼的直线距离为1千米时，所需的防辐射费用为720万元;实验室与宿舍楼的直线距离为9千米或大于9千米时，辐射的影响极小，忽略不计，可以不进行防辐射处理. 假设修路的费用每公里为m万元，对应的工程费w=防辐射费+修路费.

    （1）实验室到宿舍楼的距离x=9千米时，防辐射的费用y=（？摇? ? ? ?）萬元，a=（? ? ? ? ），b=（? ? ? ?？摇）.

    （2）如果修路的费用每公里为90万元，求当宿舍楼到实验室的距离是多少千米时，配套工程费w最少？

    （3）若配套工程费低于675万元，且宿舍楼到实验室的距离小于9千米，求修路费用每公里m万元的最大值是多少.

    ■ 试题赏析

    1. 紧扣大纲，以教材为本

    乍眼一看，本题很有难度，甚至有超纲的嫌疑，试题中的函数含有根式，让不少学生望而却步. 仔细读题后，发现教材中也曾有类似题型出现，问题（1）是运用二元一次方程组来求函数关系式里未知的系数;问题（2）是根据已知条件，构建新的关系式，再求解. 由此可见，命题者是以教材为原型，加以生活场景的变化，让学生觉得试题既熟悉又陌生，虽不能用现成的函数模型来解题，但又觉得此题可解. 这就要求学生有扎实的知识基础，凸显了数学的实用价值，有效地考查了学生理论联系实际的实践能力. 本试题符合新课标所提倡的将数学学习与生活实际相联系的教育理念.

    本题紧扣教学大纲与教材原型，却又突破常规地加以变化，既考查了学生基本功的扎实性，又有效地强化了数学知识与技能的实际应用. 本题涉及的知识点有二元一次方程组与二次函数的性质等内容;考核的内容有建模、方程、转化与分类讨论等数学思想，有效地考查了学生的理解能力、思维能力、分析能力以及探究能力等. 这种设计，让一些只注重题海战术训练，不注重数学思想与解题技巧积累的学生感到无计可施.

    2. 突破思维定式，实现模型抽象

    试题呈现的函数和教材中呈现的函数模型有着明显的差别，这就要求学生通过探究、类比、抽象等方法，结合原有的认知结构，突破思维定式，实现模型抽象. 这也给教师提供了一个信息，在试题设计或教学活动中要引导学生经历“问题——探究——验证”的过程，让学生在活动中获得相关的知识与技能，积累经验的同时用心体会模型思想的本质，从而产生创新意识，有效地解决各类问题.

    3. 由浅入深，渗透模型思想

    命题者将问题由浅入深地进行设计，尽可能地降低起点，通过层层递进的方式让不同层次的学生得分，难度系数在0.4左右，具有选拔拉分的功能，适合作为考卷上的最后几题，起到把关作用，又具有渗透建模思想等作用. 如第（2）问中呈现的y万元与x千米的关系式y=a■+b（0≤x≤9），决定了w与x的函数关系式是非典型函数w=90x-360■+1080（0≤x≤9）. 学生通过观察、分析得出x=（■）2，原来的函数关系式被转化为w=90（■）2-360■+1080，如此就将一个陌生的函数转化成熟悉函数的模型. 问题（3）对学生的要求就更高了，需从题干中“配套工程费低于675万元”的条件抽象出关于m的不等式1080-■≤675.

    本题设计的灵魂就在于考查学生的建模思想，第（2）问的函数关系式若转化成功，此题简易;转化失败，此题难解. 参考教学大纲对不等式的教学要求，考虑到大部分学生的水平，若将关于m的不等式设计为一元一次不等式会显得更加合理.

    ■ 教学启发

    1. 边读边标，边标边思

    教师在引导学生解题时，可要求学生首先阅读试题，在读题、审题过程中圈出关键词或条件，思考这些关键词或条件的作用，据此能获得怎样的结论等，并在关键性词语或条件旁作简单的标注.

    如题中的“当宿舍楼到实验室的距离为1千米的时候，所需防辐射的费用为720万元”，此条件怎样转化成符号语言？作何标注？学生会意识到：当x=1时，y=720;再如题中“当宿舍楼到实验室的距离为9千米或大于9千米的时候，辐射的影响很小，可忽略不计”可标注什么？学生能很快明白当x≥9时，y=0.

    在教师的循循善诱下，学生看到问题（2）自然会添加标注“m=90”;看到问题（3）会添加标注“w≤675，x<9”. 如此清晰的标注会让未知量逐渐浮出水面，题中的一些数量关系也逐渐明朗，明显缩短学生解题的时间. 这种边读边标，边标边思的习惯一旦养成，对学生的可持续性发展具有显著作用.

    2. 问题引领，诱发思考

    爱因斯坦曾说：“学习的关键在于勤思考. ”问题作为思考的起点，具有指导学生思考方向的重要作用. 因此，有问题才能诱发学生的思考，在问题的引领下，学生才有正确的思考方向.

    如遇到问题（2）的时候，教师可先引导学生观察w=90x-360■+1080这个函数，思考此函数的变量部分可不可以转化成我们熟悉的某种形式，转化方法是什么？带着这样的问题，经思考发现x与■的关系是x=（■）2，故此问题可使用二次函数的模型来解決. 若设■=z，则函数关系式为w=90z2-360z+1080，w最小时z=2，x的值为4.

    问题（3）难度系数更大，主要体现在“w≤675且x<9”时能获得什么结论. 针对这个问题，教师可引导学生从正反两个方面进行思考.

    正面思考：根据w=mx-360■+1080和w≤675，得m≤-405■+360·■，到这一步学生就不知道后续如何求解了. 教师提示学生从化未知为已知的角度来解决问题，在教师的引导和学生思考中，就会发现这个问题与问题（2）竟然有异曲同工之处. 若设■=t，则-405■+360■转化为-405t2+360t，所以当t=■时，有最大值为80，此时x=■，m≤80.

    同时，还可以引导学生利用数形结合的思想来考虑这个问题：若一条抛物线的开口向上，函数值小于等于675，请思考与m有关的结论;或画直线w=675，考虑这条直线和抛物线的交点，学生经思考后发现此题的关键因素是w的最大值不超过675万元.

    反面求解：教师引导学生思考当w≥675且x<9时，m的取值范围如何. 根据这个问题，大多数学生能获得“因m大于0，所以w≥675”的结论. 想保证w的最小值大于等于675，即w关于■的函数图像的顶点纵坐标大于等于675，获得关于m的不等式，即m≥80，之后回归到原问题可得w≤675时m≤80的结论.

    3. 即时检验，及时反思

    解题后即时检验是解题的重要环节之一，也是重要的学习习惯之一. 检验是保证解题正确性的基本手段，而反思是提炼解题方法的重要措施.

    此题容易出错的部分主要在解1080-■≤675得m≤80后，先要验证不等式的解是否正确，再思考其意义. 当学生获得m≤80后，可引导学生思考m≤80虽符合w≤675，但它是否符合题目中的其他要求？

    通过对这个问题的思考，发现m的取值范围还需满足x<9这个条件，再进行检验：当m≤80时，■=■=■，即x=■<9，符合题中要求.

    一道好的考题既是教材知识的浓缩，又是引领学生复习前进的指挥棒. 教师提炼考题中的亮点与精髓，引导学生理解解决问题的方法，能促使学生获得解决问题的数学思维. 学生在这样的教学活动中能不断积累解题经验，感悟数学本质，提高数学核心素养.？摇