概率论解题方法的一点思考

    朱少平 王珍

    摘 要：概率论习题对于很多同学尤其是初学者来说感觉太难，结合教学实践，通过具体的例子对若干解题方法和技巧予以阐述。

    关键词：概率论；解题

    概率论是一门研究随机现象数量规律的课程，和其它数学类课程相比较，诸多概念都要抽象得多。而对概率论习题，历来形成一种片面的看法--太难，尽管有趣，可不容易掌握规律。甚至于刚开始这门课程的学习尚未入门便有此见，在一定程度上影响了我们的教学。从根本上说，概率论的习题同其它任何一门数学课程一样并不困难，只是由于这门学科的独特性--处理随机现象，在处理的方法上和其它数学学科很不一样，更着重从概念与思路去解决问题，学生一下子掌握不了便很自然了。在教学实践中，总结了一些解概率习题的方法，归纳如下。

    1 巧用对称性

    在考虑古典概型时，我们着眼于要使样本的处于对称的地位，对称性的应用在古典概型中是很广泛的，下面举一些运用对称性的例子。

    例1：n对夫妇任意排成一列，求每一位妻子都排在她的丈夫前面的概率。

    解：以Ai记事件"第i对夫妇丈夫排在妻子的后面"，这时即要求P（A1A2…An）。首先根据对称性，P（Ai）=，因为对每一对夫妇来说，要么妻子在前要么丈夫在前，这两者等可能发生。此外，还可以进一步得到A1，A2，…，An是相互独立的，这是因为我们没有任何理由可以断定其中某对夫妇丈夫与妻子的先后位置可以影响到其他的夫妇丈夫与妻子的先后位置。于是有P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）=。或许有人对A1，A2，…，An是相互独立的这一事实不放心，可以用排列组合直接计算。排列的总数是（2n）！，为了计算有利样本点数，可以首先考虑n个丈夫的排列，一共有n！种可能，然后将排在第一位的那位丈夫的妻子放入队伍，很显然她只有一种可能的位置--排在最前面。接着把排在第二位的丈夫的妻子放进队伍，由于她丈夫前面已有两人，因此她有3种可选择的位置。对排在第三位的丈夫的妻子来说进入队伍有5种可选择的位置。依次下去，考虑最后那一位丈夫的妻子，进入队伍有2n-1个可供选择的位置，这样有利样本点总数是n！（2n-1）！！=n！×（1·3·5…（2n-1）），于是所要求的概率是=。这个结果与前面的一致，但是这种做法不容易想到，并且计算复杂。前一种做法充分考虑了概率论的概念，使得计算简单，显然优越得多。

    例2：某数学家有两盒火柴，每盒都有n根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根。问当他发现一盒空而另一盒还有r（0≤r≤n）根的概率是多少？

    解：由对称性，只要计算事件A="发现甲盒空而乙盒还有 根"的概率，所求概率是这个概率的2倍。首先计算样本空间样本点的个数，因为每次都是等可能地取甲盒或乙盒，共取了2n-r+1次，故样本空间中共有22n-r+1个样本点。事件A的发生可分两段考察，前2n-r次中甲盒恰好取到n次，且次序不论，最后一次必定取到甲盒，这样才发现甲盒已空，这种样本点共有2n-r

    n个，因此P（A）=2n-r

    n/22n-r+1。故所求概率为p=2P（A）=2n-r

    n/22n-r。

    例3：一个质点从平面上某点开始，等可能地向上下左右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n次游动后，质点回到出发点的概率。

    解：由于每次都是等可能地向四个方向随机游动，所以经过2n次游动后，样本空间总的样本点数为42n。假设所求事件为An，则若要质点过2n次游动后回到出发点，An要满足上下游动次数相等、左右游动的次数也相等，若左、右移动各k次，则上、下移动各n-k次，共2n次，这类样本点共有（2n）！/k！k！n-k！n-k！个，将k自0至n累加即得事件An所含样本点数NA，其中N==2n

    n，则所求概率为P

    A=2n

    n/4。

    2 运用逆事件公式

    在计算概率时要充分利用概率的性质，牢牢掌握求逆事件的概率公式P

    =1-PA 。

    例4：掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于出现反面次数的概率是多少。

    解：设A表示事件"出现正面次数多于出现反面次数"，显然当n为奇数时，正面次数与反面次数不可能相等，因此A的逆事件就是"反面次数多于正面次数"。根据对称性，也就是说正、反面可以互换，P

    =1-PA=。当n为偶数时，正、反面次数可能相等可能不等，且相等的概率为n

    /2，仍用前面的办法可算得PA=1-n

    /2。

    在解决上述问题时，如果没有充分考虑逆事件的概率公式这样一个有力的工具，若要得到上述解法恐怕很困难。

    3 整值随机变量的数学期望

    整值随机变量 的数学期望

    EX=n·PX=n

    =PX=1+PX=2+…+PX=n+…

    +PX=2+…+PX=n+…

    +…

    +PX=n+…

    +…

    =PX≥1+X≥2+…+PX≥n+…

    即有EX=PX≥n

    例5：甲、乙两人进行比赛，每局甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p=q，比赛进行到有一人连胜两局为止，以X表示比赛的局数，求平均比赛多少局。

    解：题设即求E（X）。若直接求X的分布列并不困难：PX=2k+1=pq+pq=pq，k≥0；PX=2k=

    P

    +qpqk-1，k≥1。后面求期望时涉及到的级数求和会比较麻烦。改用P（X≥n）就可避免这种麻烦。由于X≥n表示到n-1局为止，没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，于是PX≥1=1，PX≥2k+1=2pq，k≥1，

    PX≥2k=pq+pq=pq，k≥1

    故EX=1+2pq+pq=3pq=-1=。

    4 结束语

    在概率论课程教学中，钻研解题方法有利于教师的教和学生的学，有助于教学质量的提高和学生数学素养的培养。

    参考文献：

    [1]茆诗松等，概率论与数理统计教程[M]，高等教育出版社，北京，2004.

    [2]李贤平，概率论基础（第三版）[M]，高等教育出版社，北京，2010.

    [3]孙荣恒，应用概率论（第二版）[M]，科学出版社，北京，2001.

    基金项目：江西省教改项目（JXJG-13-9-9）