问题解读剖析，解后反思教学

2024.01.12

陈小珑

[摘? 要] 二次函数是初中数学的重点内容，常以综合题的形式出现，并且问题的命制形式和考查方式对实际教学有导向作用. 开展问题探究可以引导学生辨析问题知识点，掌握思路的构建策略，提升学生的思维. 文章以一道函数与几何综合的试题为例，开展解后反思、教学思考，并提出相应的建议.

[关键词] 二次函数;几何;三角形相似;两直线平行

二次函数与几何综合是中考常见的压轴题，其解法具有一定的代表性，因此需要对解题思路的构建过程加以剖析. 实际解题时，建议采用“题干深剖，逐问解决;以点联面，几何建模”的策略，即关注题干信息，挖掘隐含条件，把握几何与函数的纽带作用，结合几何性质建立模型.

题干呈现，条件解读

问题? （2020年江苏南京市模考题改编）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x-3）（x+1）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，- ），连接AC和BC.

题干解读? 上述是二次函数与几何的综合题，给出了抛物线与坐标轴的交点. 分析抛物线的解析式后发现，其乘积形式透露了两个信息：一是与x轴的两个交点分别为（3，0），（-1，0）;二是两交点关于抛物线的对称轴对称，于是可以求出其对称轴为x=1. 后续解题时除了可以充分利用抛物线与坐标轴的交点外，还可以从点的坐标出发，推导直线解析式，由几何性质与点的坐标的关联构建方程.

逐问剖析，解法探究

该压轴题共分为三小问，各小问的条件相互独立，又具有一定的关联性，探究解法时需要对条件进行剖析，结合图像来构建解析思路.

第（1）问：试求抛物线的解析式.

该问求抛物线的解析式. 由y=a（x-3）（x+1）可知，实则是求a的值，故只需要将抛物线上异于A，B的点的坐标代入其中即可.

将C（0，- ）代入y=a（x-3）（x+1）中，可解得a= ，所以抛物线的解析式为y= （x-3）（x+1），即y= x2- x- .

第（2）问：抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点E是第二象限抛物线上的一个动点，且EF∥BC，直线EF与抛物线的另一交点为F. 设直线EF的解析式为y=kx+b. 如图1，直线y=kx+b与抛物线的对称轴交于点G，连接DG，如果△DGF∽△BDC，试求k和b的值.

该问的核心条件有两个：①EF∥BC，②△DGF∽△BDC. 对于条件①，需根据B，C的坐标，结合两直线平行来确定k的值;对于条件②，则需要关注“相似三角形对应点确定”这一条件，后续联系相似三角形的性质来确定E，F的坐标.

过点F作DG的垂线，垂足为H，如图2. 易知A（-1，0），B（3，0），所以直线BC的解析式为y= x- . 因为EF∥BC，所以k= . 由抛物线的对称轴为x=1可知D（1，0），所以CD= =2. 所以CD=BD=2. 在Rt△COD中，因为OD=1，OC= ，所以tan∠ODC= . 所以∠ODC=60°，∠CDB=120°. 因为△DGF∽△BDC，所以DG=FG，∠DGF=120°. 设DG=FG=2m（m>0），在Rt△FGH中，有∠HGF=60°，则HG= FG=m，HF= m. 所以F（1+ m，3m）. 因为点F在抛物线上，将其坐标代入抛物线的解析式y= ·（x-3）（x+1）后，可解得m1= ，m2= （舍去），故F（5，4 ）. 将点F的坐标代入EF的表达式y= x+b后可解得b= .

综上可知，k= ，b= .

第（3）问：变更第（2）问的条件，将“直线y=kx+b与抛物线的对称轴交于点G，连接DG，如果△DGF∽△BDC”替换为“直线y=kx+b与y轴交于点M，与直线y= x交于点N”，如图3，如果满足 - = ，试求b的值.

该问是变更问题（2）的部分条件，则问题的两个核心条件变为：①EF∥BC，② - = . 同样地，由条件①可求出k= ;对于条件②，可对其适当变形，得到 - =1，对于其中的斜直线，可以采用“化斜为直”的策略，分别过相关点作y轴的垂线，显然可以根据相似三角形的性质建立平行直线之间的线段关系，后续只需借助点的坐标来构建方程求解即可.

分别过F，N，E三点作y轴的垂线，垂足分别为P，Q，S，如图4. 联立y= x与直线EF的表达式y= x+b，可得N b， b;联立直线EF的表达式与抛物线的表达式，化简后可得x2-3x-3- b=0，其中E，F的横坐标就是方程的两个解，可分别设为x1和x2. 由韦达定理可得x1+x2=3，x1·x2=-3- b. 因为ES∥NQ∥FP，所以△MNQ∽△MES，△MNQ∽△MFP. 由相似性質可得 = = ， = = ，又 - =1，所以 - =1. 所以 · =-1，可解得b=2 .

解后反思，拓展变式

上述是对一道几何与二次函数相结合的压轴题的逐问剖析，所呈现的分析思路、模型构建和计算推理过程具有一定的研究价值. 完成解法探究后有必要进一步开展解后反思.

1. 反思问题的突破关键

本题共三个小问，其中第（2）问和第（3）问为核心之问，呈现了抛物线与几何的综合. 第（2）问求直线解析式的系数，突破的关键是对两个几何条件的分析与转化;如何将两直线平行和三角形相似关系转化为相应的函数关系，上述从直线斜率、三角函数视角完成了解答. 第（3）问同样求直线解析式的系数，但条件变更为多条线段长度的代数关系，突破的关键是如何利用该关系转化为点坐标之间的关联，上述采用的是“化斜为直”的策略，结合相似三角形来实现. 因此，解决函数与几何的综合题时，需要关注问题的核心条件，从函数与几何的综合视角来探索突破的关键点.

2. 反思与归纳问题的解法

深入分析上述综合题，可将第（2）问视为函数背景下的三角形相似问题. 对于该类问题，解析时需要充分利用相似三角形的特性，从两大视角来构建思路：一是基于相似三角形的对应边成比例，结合点的坐标构建线段比例关系;二是把握相似三角形的对应角相等，从几何视角进行拓展分析，引入三角函数，结合直角三角形构建线段比值关系. 而第（3）问则可视为函数背景下的线段比值问题，实则是根据几何线段关系来转化代数式，同样有多种方法，包括三角形相似时的对应边比例式、直角三角形的勾股定理、三角函数比例式等，在实际求解时需要充分利用点的坐标.

3. 思考问题的拓展方向

本题属于函数与几何的综合题，其中涉及直线与抛物线相交、两直线平行、三角形相似等知识，从相似、线段比例等视角进行了考查，实际上还可以围绕动点，从几何面积、特殊三角形的视角进行函数与几何的综合，充分拓展学生的思维.

（1）变式方向1：几何面积

问题：点E是第二象限抛物线上一个动点，且EF∥BC，直线EF与抛物线的另一交点为F，设直线EF的解析式为y=kx+b，点G是直线EF上一个动点，若△BCG的面积为10，试求直线EF的解析式.

思路点拨：点B和点C的坐标已知，于是BC的长固定，结合EF∥BC可确定k的值. 同时可将△BCG视为以BC为底、点G为顶点的三角形，则高为点G到直线BC的距离，由面积为10可确定高的值，再由距離公式即可确定b的值，从而确定直线EF的解析式.

（2）变式方向2：特殊三角形

问题：点E是第二象限抛物线上一个动点，且EF∥BC，直线EF与抛物线的另一交点为F，设直线EF的解析式为y=kx+b，连接EB，FB，若△EFB是以EF为底边的等腰三角形，试求直线EF的解析式.

思路点拨：同样地，由EF∥BC可确定k的值，由条件可知BE=BF，则点B在EF的垂直平分线上，于是可用参数b表示出点E和点F的坐标，并求出EF的中点H的坐标，显然BH⊥EF，则有kEF·kBH=-1，从而可解出b的值，求出直线EF的解析式.

教学思考，学习建议

1. 培养学生的图形分离意识

对于函数与几何的综合题，图形线条较为繁杂，如果不能根据条件排除干扰，很容易陷入思维误区，造成推理、演算不畅，因此，教学中教师需要培养学生的图形分离意识，引导学生掌握从复合图形中分离图形的方法. 解题教学中需要分两步进行：第一步，读题，理解图形构建的过程;第二步，提取图形，结合问题中的几何条件，进行核心图形分离，如相似三角形、直角三角形等. 教学中可引导学生熟悉常见的几何模型，提升图形分离与提取的意识.

2. 引导学生开展知识综合

“整合知识，构建体系”是中考复习的重要阶段，尤其是以函数为核心来进行知识关联探究，如上述所涉及的三角形相似、两直线平行、三角函数等，这些知识均具有极强的综合性. 教学中，教师有必要引导学生从基本的定理、定义入手，把握知识关联，整理出条理清晰的知识网络，并结合具体问题总结相应的分析思路. 为追求良好的学习效果，教师可以结合知识进行综合练习、拓展练习，设置相应的检测环节，以强化知识应用.