深入等腰三角形，探究辅助线添加

    王键

    [摘? 要] 等腰三角形是基本的几何图形，具有一些特殊的几何特性，实际解题时可充分利用其性质特点来添加辅助线，构建模型简化解题过程. 文章将深入探究等腰三角形中辅助线添加的方法，开展教学实践反思，提出相应的建议.

    [关键词] 等腰三角形;辅助线;三线合一;截长补短;衍生

    等腰三角形是初中几何需重点掌握的特殊图形，含有众多的几何性质，中考常借助等腰三角形来考查学生的基础知识和基本技能. 虽图形结构特点较为简单，但实际考查时设问隐蔽、条件分散，不容易构建条件链，此时需要充分利用等腰三角形的性质特点来添加辅助线，本文将结合实例深入探究等腰三角形中辅助线添加的四种方法.

    辅助线添加方法探究

    等腰三角形属于轴对称图形，最为显著的性质有两个：一是“三线合一”，二是“等边对等角”. 而在实际解题时可以充分利用其性质特征来构建模型，从而转移条件，转化解题. 常见的方法有利用“三线合一”特性转化、截长补短构造全等、图形衍生构等边、平行添加构等腰.

    方法一：“三线合一”特性转化

    在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的高和中线相互重合，解题时可以充分利用其“三线合一”的性质特点，作底边上的中线或者高，从而转化问题中的几何条件，即由线段等长推导垂直关系或等角关系.

    例1? 在图1所示的△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，点D为边BC上的中点，点E和F分别位于AB和AC上，且BE=AF，试回答下列问题：

    （1）证明DE=DF;

    （2）证明DE⊥DF.

    分析? 根据题设信息可知△ABC为等腰直角三角形，且点D为底边上的中点，后续证明推理可利用“三线合一”定理，来作底边上的中线，利用定义反推其中的两线垂直和等角关系，进而完成证明.

    解? （1）连接AD，则AD为底边BC上的中线，由等腰三角形的“三线合一”可知AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. 又知∠A=90°，所以∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，则AD=BD，进而可证△BED≌△AFD，所以有DE=DF.

    （2）由（1）问可知△BED≌△AFD，进而可得∠BDE=∠ADF，所以∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF=90°，则∠EDF=90°，即DE⊥DF，证毕.

    評析? 利用等腰三角形“三线合一”添加辅助线，可实现等线段、等角、垂直关系三者之间的互化，为后续的模型构建打下基础. 在解析问题时应关注图形中的中点、平分线、垂直等特殊条件，充分联系等腰三角形性质作辅助线.

    方法二：截长补短构造全等

    在等腰三角形中含有一些特殊的线段关系，此时就可以通过截长补短的方式来求证线段之间的和差关系. 如截长法，在等腰三角形边长上截取一段线段，通过证明与另一边相等来解题.

    例2? 如图2所示，在△ABC中，已知∠CAB=∠CBA=45°，点E为BC的中点，且CN⊥AE，与AB相交于点N，试求证AE=CN+EN.

    分析? 要求解等腰三角形中的线段和差关系，可以通过截长补短的策略构造全等三角形，利用全等性质来进行线段转化.

    证明? 延长CN至点F，使得CF=AE，再连接BF，可证△CAE≌△BCF，所以∠ACE=∠CBF=90°，CE=BF. 又因为∠CBA=45°，所以∠FBN=∠EBN=45°. 点E为BC的中点，则CE=BE=BF，因为BE=BF，∠EBN=∠FBNBN=BN， ，所以△EBN≌△FBN.则NE=FN，可证AE=CN+EN.

    评析? 上述采用的是等腰三角形的“补短”方法，基本思路是通过延长线段来获得等长线段，然后利用其关系来证明三角形全等，进行等线段转化. “截长补短”方法实际上就是一种构形策略，其关键还是从中提取特殊图形或特殊关系.

    方法三：图形衍生构等边

    等腰三角形具有对称性，与等边三角形有一定的关联性，可以其中一边衍生出等边三角形，构造两个特殊图形的重叠特征. 通过添加辅助线的方式可将图形中的特殊关系串联为整体，有利于后续条件的转化.

    例3? 在图3所示的△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，点D位于三角形的内部，且∠DBC=10°，∠DCB=30°，试求∠DAB的度数.

    分析? 上述问题在等腰三角形中设定一点，并给出相关的角度，求∠DAB的度数可以采用图形衍生的方式构造等边三角形，利用等腰三角形与等边三角形之间的关系进行条件转化.

    解? 以BC为一边向上作等边三角形△A′BC，连接A′A，如图3所示. 由条件可证△A′BA≌△A′CA，所以∠BA′A=∠CA′A=30°. 进一步推理可知∠A′BA=∠A′BC-∠ABC=10°，∠A′BA=∠DBC， ∠A′AB=∠A′AC=140°，可证△A′BA≌△CBD，所以AB=DB，即△BAD为等腰三角形，其中∠ABD=40°，所以∠DAB=∠BDA=70°.

    评析? 上述在求解三角形的度数时采用了图形衍生的方式，借助等腰三角形添加辅助线构建了等边三角形，通过证明其中的三角形全等进行等角推导、角度转化. 图形衍生的过程实则就是特性构建的过程，可完成条件的递推转换.

    方法四：平行添加构等腰

    三角形中位线具有平行于第三边的特性，同时其中隐含了一组相似三角形，对于涉及等腰三角形的复合图形则可以作一腰上的平行线，构建出小的等腰三角形，实现边、角转移. 在作平行线时还需合理把握腰上的特殊点，利用特殊点来串联条件链.

    例4? 图4中的△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，点P由点B出发，沿着线段BA移动，同一时刻点Q由点C出发沿着线段AC的延长线移动. 已知点P和点Q两点移动的速度相同，PQ与BC的交点为D，试回答下列问题.

    （1）如图4，若点P为AB的中点，试证明PD=QD;

    （2）如图5，过点P作BC的垂线，设垂足为E，试分析在点P和点Q移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度不变的线段？如有请说明理由.

    分析? 上述属于几何动点问题，题干设定了点P和点Q的移动条件，在移动过程中由动点形成的图形特征一般，可通过作等腰三角形一腰上的平行线来构建小的等腰三角形，从而转化其中的特性.

    解? （1）点P为AB的中点，过点P作AC的平行线，与BC的交点设为F，由于点P和点Q同时出发且速度相同，则BP=CQ. 又知PF∥AQ，则∠PFB=∠ACB，∠DFP=∠DCQ. 因為AB=AC，则有∠B=∠ACB，所以∠B=∠PFB，进而可推PF=CQ. 结合上述条件可证△PFD≌△QCD，所以PD=QD.

    （2）由（1）问可知PB=FP，因为PE⊥BF，所以BE=EF. 已证△PFD≌△QCD，则FD=DC，所以有ED=EF+FD=BE+DC= BC，所以线段ED的长度为定值，即DE长度保持不变.

    评析? 平行添加构造相似等腰三角形的方式是基于中位线的性质定义而形成的一种特殊的模型构造方式，上述在实际构造时充分把握了腰上的中点，灵活利用两线平行完成全等证明. 实际上，所构等腰三角形与原三角形为相似关系，问题求解时还可利用两者的比例关系进行推理.

    问题探究解后反思

    添加辅助线是求解几何问题的有效方法，但解题时需要根据问题情境和几何特征来作辅助线. 上述是对等腰三角形中辅助线添加方法的深入探究，其中所呈现的四种方法对于拓展解题思路有着极大的帮助，下面进一步开展教学反思.

    1. 深入理解图形，把握图形特性

    等腰三角形是特殊的基本图形，其性质特征是几何综合题突破的基础，开展等腰三角形辅助线添加方法的探究，不仅可以提升学生作辅助线的能力，更重要的是使学生深刻认识图形，理解图形性质定理的深层内涵. 如其中的“三线合一”性质，表面上是三条不同类型的线段重合，实则是几何条件的互化，即由垂直关系递推等角、等线段关系. 因此教师在实际教学中要结合几何特性开展探究学习，使学生把握图形特性，形成以“定理”为基础的几何建模解题思维.

    2. 归纳几何模型，积累建模经验

    上述探究了等腰三角形四种添加辅助线的方式，实际上可将其视为四种常见的辅助模型，涉及全等模型、等腰模型、等边模型，这些模型为条件转化、思路构建带来了极大便利，因此实际解题时需要注重归纳几何模型，总结模型中的性质特征. 实际教学中，教师可以简单的模型为引入，引导学生解读探讨模型，然后开展模型拓展，形成相应的关联模型，还要注重引导学生总结模型构造的方法，积累建模经验，提升学生的解题能力.

    3. 渗透数学思想，提升综合素养

    等腰三角形辅助线添加的探究过程不仅是对几何特性的综合，同时也是思想方法的融合. 上述四种辅助线的添加方法中渗透了数学的模型思想、数形结合思想、化归转化思想，正是在三大思想的指导下完成了模型构造、条件转化、推理分析. 因此教学中需要借助问题来渗透思想方法，使学生逐步感知数学思想的内涵，体验思想方法在解题中的优势. 同时以思想方法教学为依托，提升学生的学科素养，促进学生综合能力的发展.